Αντίστροφη συνάρτηση

Μια συνάρτηση «μετασχηματίζει» τους αριθμούς. Η αντίστροφη κάνει ακριβώς την αντίστροφη δουλειά: «αναιρεί» τον μετασχηματισμό. 🔄

Η ιδέα με ένα παράδειγμα

Η συνάρτηση $f(x) = x + 5$ λέει: «πρόσθεσε 5 στον αριθμό». Η αντίστροφή της πρέπει να λέει: «αφαίρεσε 5». Γι' αυτό $f^{-1}(x) = x - 5$.

Έλεγχος:

✅

✅

Ο αυστηρός ορισμός

Η «διπλή συνεπαγωγή» σημαίνει ότι η σχέση «$f$ στέλνει το $a$ στο $\beta$» είναι ισοδύναμη με «$f^{-1}$ στέλνει το $\beta$ πίσω στο $a$».

Προϋπόθεση αντιστρεψιμότητας

Γιατί χρειάζεται 1–1;

Αν η $f$ δεν ήταν 1–1, θα υπήρχαν $x_1 \neq x_2$ με $f(x_1) = f(x_2) = \beta$. Τότε, ποια από τις δύο τιμές θα έδινε η «αντίστροφη» στο $\beta$; Η $x_1$ ή η $x_2$; Αμφισβήτηση της μοναδικότητας – η αντίστροφη δεν ορίζεται σωστά ως συνάρτηση! ⛔

Γιατί χρειάζεται επί;

Αν υπήρχε $\beta \in B$ που δεν ήταν εικόνα κανενός $x \in A$, τότε η «αντίστροφη» δεν θα ορίζονταν στο $\beta$ (αφού δεν υπάρχει το αντίστοιχο πρότυπο). ⛔

Ιδιότητες της αντίστροφης

«Τέχνασμα»: Αν δεν είναι επί, κάνε την επί

Αν $f : A \to B$ είναι 1–1 αλλά όχι επί, μπορούμε να «περιορίσουμε» το πεδίο τιμών στο σύνολο τιμών $f(A)$. Τότε η $f : A \to f(A)$ είναι και 1–1 και επί, άρα αντιστρέψιμη.

Μέθοδος εύρεσης αντίστροφης συνάρτησης

Παράδειγμα 1: $f(x) = 5x$

Η $f$ είναι 1–1 και επί από το $\mathbb{R}$ στο $\mathbb{R}$.

Εναλλάσσουμε:

Παράδειγμα 2: $f : [1, 5] \to [4, 16]$ με $f(x) = 3x + 1$

• 1–1: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 3x_1 + 1 = 3x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$ ✓
• Επί: $1 \leq x \leq 5 \Rightarrow 4 \leq 3x + 1 \leq 16$, άρα $f([1, 5]) = [4, 16]$ ✓

Εύρεση τύπου:

Εναλλάσσουμε:

Παράδειγμα 3: $f(x) = 2 - \sqrt{4 - x}$

Πεδίο ορισμού: $4 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4$, άρα $A = (-\infty, 4]$.

Έλεγχος 1–1: Αν $f(x_1) = f(x_2)$:

✅

Σύνολο τιμών: Για $x \leq 4$, $\sqrt{4 - x} \geq 0$, άρα $2 - \sqrt{4 - x} \leq 2$. Ελάχιστο $-\infty$, μέγιστο $2$. Άρα $f(A) = (-\infty, 2]$.

Εύρεση τύπου:

Απαιτούμε $2 - y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2$ ✓. Τετραγωνίζουμε:

Εναλλάσσουμε:

Γραφική συμμετρία

Απόδειξη

Αν το σημείο $A(a, \beta)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f$, τότε $f(a) = \beta$, οπότε $f^{-1}(\beta) = a$, δηλαδή το σημείο $A'(\beta, a)$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $f^{-1}$.

Τα σημεία $(a, \beta)$ και $(\beta, a)$ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία $y = x$. Αυτό ισχύει γιατί:

• Η ευθεία $y = x$ έχει κλίση 1.
• Το τμήμα που ενώνει τα $(a, \beta)$ και $(\beta, a)$ έχει κλίση $\dfrac{a - \beta}{\beta - a} = -1$, άρα είναι κάθετο στην $y = x$.
• Το μέσο του τμήματος είναι το $\left(\dfrac{a + \beta}{2}, \dfrac{a + \beta}{2}\right)$, που ανήκει στην $y = x$.

Άρα τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την $y = x$. ∎

Χαρακτηριστικό κριτήριο για αντίστροφες

Παράδειγμα ελέγχου

$f(x) = 5x + 10$, $g(x) = \dfrac{1}{5}x - 2$, και οι δύο $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

✅

✅

Άρα είναι αντίστροφες: $g = f^{-1}$.

Πότε δεν αντιστρέφεται η συνάρτηση;

Παράδειγμα: $g : [1, 5] \to [4, 20]$ με $g(x) = 3x + 1$

• Η $g$ είναι 1–1 (όπως πριν).
• Σύνολο τιμών: $g([1, 5]) = [4, 16]$, αλλά πεδίο τιμών $[4, 20]$. ⛔ Όχι επί.

Άρα η $g$ δεν αντιστρέφεται ως έχει. (Θα αντιστρεφόταν αν περιορίζαμε το πεδίο τιμών στο $[4, 16]$.)

Αντιστροφή τμηματικής συνάρτησης

Μπορούμε να αντιστρέψουμε τμηματικές συναρτήσεις, αν αντιστρέφουμε κάθε κλάδο ξεχωριστά (και αν η συνολική είναι 1–1).

Παράδειγμα:

Έλεγχος 1–1: Μέσα σε κάθε κλάδο, η συνάρτηση είναι μονότονη. Επιπλέον, για $x_1 < 0 < x_2$:

• $f(x_1) = 3x_1 - 1 < -1$
• $f(x_2) = 2x_2^2 + 1 \geq 1$

Τα διαστήματα τιμών δεν τέμνονται, άρα 1–1 συνολικά. ✅

Αντιστροφή κάθε κλάδου και κατάλληλα «ενοποίηση».

Σχόλια & Συμπεράσματα

Εφαρμογές

Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης είναι θεμελιώδης:

• Λογάριθμος: αντίστροφος της εκθετικής ($\ln$ vs $e^x$)
• Τετραγωνική ρίζα: αντίστροφη του τετραγώνου (στο $[0, +\infty)$)
• Τόξο-ημίτονο ($\arcsin$): αντίστροφο του ημιτόνου (στο $[-\pi/2, \pi/2]$)
• Κρυπτογραφία: χρήση δυσαντίστροφων συναρτήσεων για ασφάλεια! 🔐

Σχήματα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων και των αντίστροφών τους (συμμετρίες ως προς $y = x$) στις σελίδες 157–162 του PDF. 📖