Συναρτήσεις 1–1 – Συναρτήσεις επί

Δύο ειδικές ιδιότητες που μπορεί να έχει μια συνάρτηση είναι να είναι 1–1 («ένα προς ένα») ή επί. Όταν ικανοποιεί και τις δύο ταυτόχρονα, γίνεται ιδιαίτερα «ιδιαίτερη» – αντιστρέψιμη! 🎯

Συνάρτηση 1–1

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ είναι ένα προς ένα (1–1), όταν αντιστοιχίζει διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού σε διαφορετικά στοιχεία του πεδίου τιμών:

\forall x_1, x_2 \in A \text{ με } x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

Ή ισοδύναμα (με αντιθετοαντιστροφή):

f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

Η ισοδυναμία των δύο διατυπώσεων

Η δεύτερη διατύπωση ( $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ ) είναι η αντιθετοαντιστροφή της πρώτης και είναι πιο χρήσιμη στις αποδείξεις.

Τι δεν λέει ο ορισμός

Ο ορισμός δεν απαιτεί να ισχύει:

x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)

γιατί αυτό ισχύει αυτόματα για κάθε συνάρτηση (είναι μέρος του ορισμού της συνάρτησης).

Γεωμετρική ερμηνεία της 1–1

Έλεγχος 1–1 γραφικά

Μια συνάρτηση $f$ είναι 1–1 αν και μόνο αν κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα $x$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε το πολύ ένα σημείο. ━

Αιτιολόγηση: Αν μια οριζόντια ευθεία $y = c$ τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία $(x_1, c)$ και $(x_2, c)$ με $x_1 \neq x_2$ , τότε $f(x_1) = c = f(x_2)$ , δηλαδή η $f$ δεν είναι 1–1.

Παραδείγματα 1–1

Παράδειγμα 1: Γραμμική συνάρτηση

Άσκηση: Δείξε ότι $f(x) = 4x + 3$ , $x \in \mathbb{R}$ είναι 1–1.

Απόδειξη: Έστω $f(x_1) = f(x_2)$ . Τότε:

4x_1 + 3 = 4x_2 + 3 \Rightarrow 4x_1 = 4x_2 \Rightarrow x_1 = x_2

Άρα η $f$ είναι 1–1. ✅

Παρατήρηση

Κάθε γραμμική συνάρτηση $f(x) = ax + b$ με $a \neq 0$ είναι 1–1. Η γραφική παράσταση είναι μια μη οριζόντια ευθεία, οπότε καμία οριζόντια ευθεία δεν την τέμνει σε περισσότερα από ένα σημεία.

Παράδειγμα 2: $f(x) = x^2$

Η $f(x) = x^2$ στο $\mathbb{R}$ :

Αντιπαράδειγμα: $f(-2) = 4 = f(2)$ , αλλά $-2 \neq 2$ . ⛔ Άρα δεν είναι 1–1.

Αλγεβρικά: Από $f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1^2 = x_2^2 \Leftrightarrow (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ ή $x_1 = -x_2$ . Η δεύτερη περίπτωση δεν αποκλείεται, άρα δεν είναι 1–1.

Η ίδια συνάρτηση στο $(0, +\infty)$ :

Τώρα $x_1 + x_2 > 0$ , άρα η περίπτωση $x_1 = -x_2$ (που θα έδινε $x_1 + x_2 = 0$ ) απορρίπτεται.

Έτσι $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ και η $f$ είναι 1–1 στο $(0, +\infty)$ . ✅

Σημασία του πεδίου ορισμού

Το αν μια συνάρτηση είναι 1–1 εξαρτάται από το πεδίο ορισμού της. Η ίδια συνάρτηση μπορεί να μην είναι 1–1 σε ένα σύνολο, αλλά να είναι σε υποσύνολό του.

Παράδειγμα 3: $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Στο $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ : Αν $x_1 \neq x_2$ , τότε $\dfrac{1}{x_1} \neq \dfrac{1}{x_2}$ (προφανώς). ✅ Είναι 1–1.

Παράδειγμα 4: Παραβολή με άξονα συμμετρίας

$f(x) = (x - 2)^2 + 1$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Αντιπαράδειγμα: $f(1) = 1 + 1 = 2 = f(3)$ , αλλά $1 \neq 3$ . ⛔ Όχι 1–1.

Γενικό πρότυπο

Οι παραβολές $f(x) = (x - h)^2 + k$ δεν είναι 1–1 στο $\mathbb{R}$ , αλλά είναι 1–1 σε κάθε μονότονο κλάδο τους: $(-\infty, h]$ ή $[h, +\infty)$ .

Συνάρτηση επί

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ ονομάζεται επί όταν το σύνολο τιμών και το πεδίο τιμών ταυτίζονται:

f(A) = B

Ισοδύναμα: για κάθε $y \in B$ , υπάρχει τουλάχιστον ένα $x \in A$ ώστε $f(x) = y$ .

\forall y \in B, \exists x \in A : f(x) = y

Διαισθητικά

Μια συνάρτηση είναι «επί» όταν «καλύπτει ολόκληρο» το πεδίο τιμών. Δεν υπάρχει στοιχείο του $B$ που να μένει «χωρίς πρότυπο».

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = x^2$ .

Σύνολο τιμών: $f(\mathbb{R}) = [0, +\infty) \neq \mathbb{R}$ . Όχι επί. ⛔

Παράδειγμα 2: $f : \mathbb{R} \to [0, +\infty)$ με $f(x) = x^2$ .

Τώρα το πεδίο τιμών είναι $[0, +\infty)$ και το σύνολο τιμών είναι επίσης $[0, +\infty)$ . Είναι επί. ✅

Το επί εξαρτάται από το πεδίο τιμών!

Αν έχεις τη δυνατότητα να «προσαρμόσεις» το πεδίο τιμών στο σύνολο τιμών, η συνάρτηση γίνεται αυτόματα επί. Γι' αυτό πάντα προσέχουμε ποιο είναι το δηλωμένο πεδίο τιμών.

Ότι δεν είναι επί

Όταν μια συνάρτηση δεν είναι επί, υπάρχει $y \in B$ που δεν είναι εικόνα κανενός $x \in A$ :

\exists y \in B : y \neq f(x), \forall x \in A

Σύγκριση 1–1 και επί

Ιδιότητα	1–1	επί
Συνθήκη	Διαφορετικά $x$ → διαφορετικά $f(x)$	Κάθε $y \in B$ είναι εικόνα
Γραφικά	Οριζόντια γραμμή τέμνει το πολύ σε ένα σημείο	Κάθε οριζόντια γραμμή στο $B$ τέμνει σε τουλάχιστον ένα σημείο
Εξαρτάται από	Πεδίο ορισμού	Πεδίο τιμών

Στο σχήμα

1–1: «δεν γίνεται "συγχώνευση"»
επί: «το $B$ καλύπτεται ολόκληρο»
1–1 και επί: τέλεια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία (βλ. επόμενη ενότητα για αντίστροφη)

Παρατηρήσεις για το άθροισμα και γινόμενο

Προσοχή στις πράξεις!

Αν οι $f, g : A \to \mathbb{R}$ είναι 1–1, τότε:

Το άθροισμα $f + g$ δεν είναι πάντοτε 1–1.
Το γινόμενο $fg$ δεν είναι πάντοτε 1–1.

Αντιπαράδειγμα: $f(x) = x + 3$ , $g(x) = 2 - x$ (και οι δύο 1–1).

(f + g)(x) = 5 \text{ (σταθερή! δεν είναι 1–1)}

(fg)(x) = (x + 3)(2 - x) = -x^2 - x + 6

Για το γινόμενο: $(fg)(-1) = (2)(3) = 6 = (fg)(0) = (3)(2)$ . ⛔ Δεν είναι 1–1.

Γενική στρατηγική ελέγχου

Για έλεγχο 1–1

Μέθοδοι ελέγχου 1–1

Μέθοδος 1 (απόδειξη): Υποθέτουμε $f(x_1) = f(x_2)$ και καταλήγουμε στο $x_1 = x_2$ .

Μέθοδος 2 (αντιπαράδειγμα): Βρίσκουμε δύο διαφορετικά $x_1, x_2$ με $f(x_1) = f(x_2)$ για να δείξουμε ότι δεν είναι 1–1.

Μέθοδος 3 (γραφικά): Έλεγχος οριζόντιας γραμμής.

Μέθοδος 4 (λύση ως προς $x$ ): Αν το $f(x) = y$ δίνει μοναδική λύση $x$ για κάθε $y$ , τότε 1–1.

Για έλεγχο επί

Μέθοδος ελέγχου επί

Υπολόγισε το σύνολο τιμών $f(A)$ .
Σύγκρινε με το πεδίο τιμών $B$ .
Αν $f(A) = B$ : επί. ✅
Αν $f(A) \subsetneq B$ : όχι επί. ⛔

Παραδείγματα ρητών συναρτήσεων 1–1

$f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ , $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

Έλεγχος 1–1: $f(x_1) = f(x_2)$ :

\frac{x_1 - 1}{x_1 + 1} = \frac{x_2 - 1}{x_2 + 1}

(x_1 - 1)(x_2 + 1) = (x_2 - 1)(x_1 + 1)

x_1 x_2 + x_1 - x_2 - 1 = x_1 x_2 + x_2 - x_1 - 1

2x_1 = 2x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2

Άρα 1–1. ✅

Παραδείγματα που δεν είναι 1–1

$f(x) = |x - 3| + 1$

$f(2) = 1 + 1 = 2$ και $f(4) = 1 + 1 = 2$ . ⛔

$f(x) = \cos x$ (συν $x$ )

$\cos(0) = 1 = \cos(2\pi)$ . ⛔ (Στο $\mathbb{R}$ . Αλλά στο $[0, \pi]$ είναι 1–1.)

Σύνοψη

Να θυμάσαι

1–1: Ένα-προς-ένα αντιστοίχιση. «Διαφορετικά inputs ↔ διαφορετικά outputs».
Επί: Γεμίζει όλο το πεδίο τιμών. «Κάθε output έχει input».
Ελέγχουμε 1–1 με έλεγχο οριζόντιας γραμμής ή αλγεβρικά.
Ελέγχουμε επί συγκρίνοντας σύνολο τιμών με πεδίο τιμών.
Συνάρτηση 1–1 και επί → αντιστρέψιμη (επόμενη ενότητα!).

Σχήματα γραφικών παραστάσεων (1–1 vs όχι 1–1, επί vs όχι επί) στις σελίδες 150–156 του PDF. 📖