Σύνθεση συναρτήσεων

Φαντάσου δύο «μηχανές»: η $f$ παίρνει έναν αριθμό και τον μετατρέπει σε άλλον. Η $g$ κάνει το ίδιο. Μπορούμε να τις συνδέσουμε σε σειρά ώστε η έξοδος της πρώτης να γίνει είσοδος της δεύτερης. Αυτή η διαδικασία λέγεται σύνθεση. 🔗

Ο ορισμός

Ορισμός

Αν $f : A \to \mathbb{R}$ και $g : B \to \mathbb{R}$ , ορίζεται μια νέα συνάρτηση $g \circ f : A' \to \mathbb{R}$ , με:

A' = \{x \in A \mid f(x) \in B\} \neq \emptyset

και:

(g \circ f)(x) = g(f(x))

που ονομάζεται σύνθεση της $f$ με την $g$ .

Διαβάζουμε το $g \circ f$ ως « $g$ μετά την $f$ »

Προσοχή στη σειρά: Στο $g \circ f$ , πρώτα εφαρμόζεται η $f$ , μετά η $g$ .

Συχνή παγίδα

Η σειρά στην έκφραση $g \circ f$ είναι αντίστροφη από τη σειρά εφαρμογής. Πρώτα διαβάζουμε $g$ , αλλά πρώτα εφαρμόζεται η $f$ !

Μηχανικά: $x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x))$

Γιατί χρειάζεται το ειδικό πεδίο ορισμού $A'$ ;

Για να ορίζεται το $g(f(x))$ , πρέπει:

Να μπορούμε να υπολογίσουμε το $f(x)$ : δηλαδή $x \in A$ .
Το $f(x)$ να είναι νόμιμη είσοδος για τη $g$ : δηλαδή $f(x) \in B$ .

Οι δύο αυτές προϋποθέσεις μαζί δίνουν:

A' = \{x \in A \mid f(x) \in B\}

Πώς βρίσκουμε το $A'$;

Ουσιαστικά λύνουμε ένα σύστημα δύο ανισώσεων/περιορισμών:

$x \in A$
$f(x) \in B$

Παραδείγματα υπολογισμού συνθέσεων

Παράδειγμα 1: Απλή σύνθεση

$f(x) = 2x - 3$ και $g(x) = x^2$ , και οι δύο με πεδίο ορισμού $\mathbb{R}$ .

$A' = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}$ , αφού η $f$ παίρνει πάντα πραγματικές τιμές.

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 3) = (2x - 3)^2, \quad x \in \mathbb{R}

Παράδειγμα 2: Περιορισμένο πεδίο

$f(x) = 2x - 3$ , $x \in [0, 4]$ και $g(x) = x^2$ , $x \in [-1, 3]$ .

Για το $A'$ απαιτούμε:

\begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ -1 \leq 2x - 3 \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ 1 \leq x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 3

Άρα $A' = [1, 3]$ και:

(g \circ f)(x) = (2x - 3)^2, \quad x \in [1, 3]

Παρατήρηση

Ο τύπος της σύνθεσης είναι ο ίδιος όπως στο Παράδειγμα 1, αλλά το πεδίο ορισμού διαφέρει! Παραδείγματος χάριν, το $(g \circ f)(0)$ δεν ορίζεται τώρα, γιατί $0 \notin [1, 3]$ . Αν προσπαθούσες να το υπολογίσεις, θα ζητούσες $g(f(0)) = g(-3)$ , αλλά το $-3 \notin [-1, 3]$ .

Παράδειγμα 3: Με ρίζες και κλάσματα

$f(x) = \sqrt{x - 4}$ , $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$ .

Πεδία ορισμού:

$f$ : $x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$ , άρα $A = [4, +\infty)$ .
$g$ : $x^2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ , άρα $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Σύνθεση $f \circ g$ :

Απαιτούμε $x \neq 0$ και $g(x) = \dfrac{1}{x^2} \geq 4$ :

\frac{1}{x^2} \geq 4 \Leftrightarrow 1 \geq 4x^2 \Leftrightarrow 4x^2 - 1 \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}

Μαζί με $x \neq 0$ : πεδίο ορισμού $\left[-\dfrac{1}{2}, 0\right) \cup \left(0, \dfrac{1}{2}\right]$ .

(f \circ g)(x) = \sqrt{\frac{1}{x^2} - 4} = \sqrt{\frac{1 - 4x^2}{x^2}}

Σύνθεση $g \circ f$ :

Απαιτούμε $x \geq 4$ και $f(x) \neq 0$ :

\sqrt{x - 4} \neq 0 \Leftrightarrow x - 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 4

Άρα $A' = (4, +\infty)$ και:

(g \circ f)(x) = \frac{1}{(\sqrt{x - 4})^2} = \frac{1}{x - 4}, \quad x > 4

Παράδειγμα 4: Όταν η σύνθεση δεν ορίζεται

$f(x) = \sqrt{x + 4}$ , $x \geq 0$ και $g(x) = \sqrt{1 - x}$ , $x \leq 1$ .

Απαιτούμε $x \geq 0$ και $\sqrt{x + 4} \leq 1$ :

\sqrt{x + 4} \leq 1 \Leftrightarrow x + 4 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq -3

Οι $x \geq 0$ και $x \leq -3$ δεν συναληθεύουν για καμία τιμή του $x$ . Άρα $A' = \emptyset$ και η $g \circ f$ δεν ορίζεται. ⛔

Η σύνθεση είναι μη αντιμεταθετική

Βασικό γνώρισμα

Γενικά: $g \circ f \neq f \circ g$

Η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική πράξη!

Παράδειγμα

$f(x) = x^2 + 1$ , $g(x) = 3x - 4$ , με $D_f = D_g = \mathbb{R}$ .

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (3x - 4)^2 + 1 = 9x^2 - 24x + 17

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(x^2 + 1) - 4 = 3x^2 - 1

Οι δύο συνθέσεις είναι εντελώς διαφορετικές! Για $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = 17$ , $(g \circ f)(0) = -1$ . ⛔

Πότε συμπίπτει;

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις όπου $f \circ g = g \circ f$ . Για παράδειγμα:

Αν $f(x) = 2x + 3$ και $g(x) = 4x + 9$ , θα βρεις ότι $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = 8x + 21$ .
Αν $g = f^{-1}$ , τότε $f \circ g = g \circ f = \mathrm{id}$ (η ταυτοτική).

Συνθέσεις με την ίδια συνάρτηση

Μπορούμε να συνθέσουμε μια συνάρτηση με τον εαυτό της: $f \circ f$ , $f \circ f \circ f$ , κ.ο.κ.

Παράδειγμα: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ , $x \neq 1$ .

Για το $f \circ f$ , απαιτούμε $x \neq 1$ και $f(x) \neq 1$ :

\frac{2x + 1}{x - 1} \neq 1 \Leftrightarrow 2x + 1 \neq x - 1 \Leftrightarrow x \neq -2

Άρα $D_{f \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$ .

Τύπος:

(f \circ f)(x) = \frac{2 \cdot \dfrac{2x+1}{x-1} + 1}{\dfrac{2x+1}{x-1} - 1} = \frac{\dfrac{4x + 2 + x - 1}{x - 1}}{\dfrac{2x + 1 - x + 1}{x - 1}} = \frac{5x + 1}{x + 2}

Χρήσιμη παρατήρηση

Το πεδίο ορισμού της $g \circ f$

Πάντα: $D_{g \circ f} \subseteq D_f$ (υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f$ ).
Αν $f(A) \subseteq B$ : $D_{g \circ f} = D_f$ (η σύνθεση ορίζεται για κάθε $x \in A$ ).

Αυτό βγάζει νόημα: για να κάνουμε το $g(f(x))$ , πρέπει τουλάχιστον να μπορούμε να υπολογίσουμε το $f(x)$ .

Εύρεση συνάρτησης από σύνθεση

Παράδειγμα: Βρες τη $f$ όταν $f(2x + 3) = 6x + 11$

Μέθοδος αντικατάστασης: Θέτουμε $t = 2x + 3 \Rightarrow x = \dfrac{t - 3}{2}$ .

f(t) = 6 \cdot \frac{t - 3}{2} + 11 = 3(t - 3) + 11 = 3t + 2

Άρα $f(x) = 3x + 2$ .

Παράδειγμα: Βρες τη $g$ όταν $f \circ g$ δίνεται

$f(x) = 2x - 1$ και $(f \circ g)(x) = x^2 - 2x + 3$ . Βρες τη $g$ .

(f \circ g)(x) = 2g(x) - 1 = x^2 - 2x + 3

2g(x) = x^2 - 2x + 4 \Leftrightarrow g(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{2}

Παράδειγμα με απόλυτα

Άσκηση: $f(x) = x + 5$ , $g(x) = |x|$ . Υπολόγισε το $(g \circ f)(-6)$ .

f(-6) = -6 + 5 = -1

(g \circ f)(-6) = g(f(-6)) = g(-1) = |-1| = 1

Σύνοψη

Βήματα για σύνθεση

Βρες τα πεδία ορισμού $A$ (της $f$ ) και $B$ (της $g$ ).
Για τη $g \circ f$ , απαίτησε:
- $x \in A$
- $f(x) \in B$
Λύσε τις ανισώσεις για να βρεις το κοινό σύνολο $A'$ .
Γράψε τον τύπο $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ , απλοποιώντας.
Αν το $A'$ είναι κενό, η σύνθεση δεν ορίζεται.

Must-remember

$g \circ f \neq f \circ g$ γενικά.
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ (πρώτα η $g$ , μετά η $f$ ).
Το πεδίο ορισμού της $g \circ f$ είναι πάντα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της $f$ .

Σχετικά σχήματα γραφικών παραστάσεων στις σελίδες 140–149 του PDF. 📖