Πράξεις συναρτήσεων

Όπως συνδυάζουμε αριθμούς με πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.), μπορούμε να συνδυάζουμε και συναρτήσεις, φτιάχνοντας νέες συναρτήσεις από υπάρχουσες. ➕✖️

Οι τέσσερις βασικές πράξεις

Η σημασία του κοινού πεδίου ορισμού

Αν $A \cap B = \emptyset$, οι πράξεις δεν ορίζονται!

Παράδειγμα: $f(x) = \sqrt{x - 5}$ με $A = [5, +\infty)$ και $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ με $B = [-1, 1]$.

Το $A \cap B = \emptyset$, οπότε οι $f + g$, $f - g$, $fg$, $\tfrac{f}{g}$ δεν ορίζονται. ⛔

Επιπλέον πράξεις

Πολλαπλασιασμός με σταθερά

Για $a \in \mathbb{R}$:

με πεδίο ορισμού το $A$.

$\nu$-οστή δύναμη

Με διαδοχικό πολλαπλασιασμό:

Παράδειγμα: Αν $f(x) = 3x + 1$, $x \in [0, 3)$, τότε:

Αναλυτικό παράδειγμα 1

Δίνονται $f(x) = x^2 - 9$ και $g(x) = x + 3$ (και οι δύο με $D = \mathbb{R}$). Να ορίσουμε τις $f + g$, $fg$, $\dfrac{f}{g}$, $\dfrac{g}{f}$.

$f + g$

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$.

$fg$

$\dfrac{f}{g}$

Παρονομαστής: $g(x) = x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3$.

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

$\dfrac{g}{f}$

Παρονομαστής: $f(x) = x^2 - 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$.

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.

Αναλυτικό παράδειγμα 2: Διαφορετικά διαστήματα

Δίνονται $f(x) = 3x + 1$, $x \in [0, 3)$, $g(x) = 2x - 4$, $x \in (1, 5]$.

Κοινό πεδίο: $A \cap B = [0, 3) \cap (1, 5] = (1, 3)$.

$f - g$

$\dfrac{f}{g}$

Στο $(1, 3)$, απαιτούμε $g(x) \neq 0$:

Πεδίο ορισμού: $(1, 3) \setminus \{2\} = (1, 2) \cup (2, 3)$.

$\dfrac{g}{f}$

Απαιτούμε $f(x) \neq 0$: $3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\tfrac{1}{3}$.

Επειδή $-\tfrac{1}{3} \notin (1, 3)$, δεν χρειάζεται εξαίρεση!

Πεδίο ορισμού: $(1, 3)$.

Άθροισμα τμηματικών συναρτήσεων

Όταν οι συναρτήσεις είναι τμηματικές, διακρίνουμε περιπτώσεις σε όλα τα υποδιαστήματα.

Παράδειγμα:

Υπολογισμός $f + g$:

• Αν $x \in (-\infty, 4]$: $(f + g)(x) = x + 1 + 3 - x = 4$
• Αν $x \in (4, +\infty)$: $(f + g)(x) = -5 + 3 - x = -x - 2$

Άρα:

Τα ιδιαίτερα του πηλίκου

Για τη συνάρτηση $\dfrac{1}{f}$:

Παράδειγμα: Αν $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 3}$ με $A = \mathbb{R} \setminus \{3\}$:

• Βρίσκουμε τα $x$ με $f(x) = 0$: $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.
• Πεδίο ορισμού της $\tfrac{1}{f}$: $\mathbb{R} \setminus \{3, -2\}$.
• Τύπος: $\dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{x - 3}{x + 2}$.

Πράξεις με ρίζες

Παράδειγμα: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \sqrt{1 - x}$.

Πεδία ορισμού:

• $f$: $x \geq 0$, δηλαδή $A = [0, +\infty)$
• $g$: $1 - x \geq 0$, δηλαδή $B = (-\infty, 1]$
• $A \cap B = [0, 1]$

Υπολογισμοί:

Για το πηλίκο $\dfrac{f}{g}$: απαιτούμε $g(x) \neq 0$, δηλαδή $x \neq 1$.

Για το $\dfrac{g}{f}$: απαιτούμε $f(x) \neq 0$, δηλαδή $x \neq 0$.

Πρακτικές συνέπειες

Διαφορετικά πεδία ορισμού σε $f - g$ και $fg$

Παράδειγμα που δεν ορίζεται

$f(x) = \sqrt{x}$ με $A = [0, +\infty)$
$g(x) = \sqrt{-1 - x}$ με $B = (-\infty, -1]$

$A \cap B = \emptyset$. Άρα το $f + g$ δεν ορίζεται. ⛔

Σύνοψη

Τα σχετικά σχήματα γραφικών παραστάσεων πράξεων συναρτήσεων βρίσκονται στις σελίδες 132–139 του PDF. 📈