Ισότητα συναρτήσεων

Πότε θεωρούμε ότι δύο συναρτήσεις είναι «ίδιες»; Δυστυχώς δεν αρκεί να έχουν τον «ίδιο τύπο»! Η μαθηματική απάντηση είναι πιο αυστηρή και απαιτεί τρεις προϋποθέσεις. 🔍

Ο ορισμός της ισότητας

Ορισμός

Δύο πραγματικές συναρτήσεις $f_1 : A_1 \to B_1$ και $f_2 : A_2 \to B_2$ είναι ίσες αν και μόνο αν ισχύουν όλες οι παρακάτω προϋποθέσεις:

Ίδιο πεδίο ορισμού: $A_1 = A_2$
Ίδιο πεδίο τιμών: $B_1 = B_2$
Ίδιες τιμές παντού: $f_1(x) = f_2(x)$ , $\forall x \in A_1$

Συμβολίζουμε $f_1 = f_2$ .

Όλες οι συνθήκες είναι απαραίτητες!

Αν έστω μία από τις τρεις συνθήκες αποτύχει, οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες, ακόμη κι αν οι άλλες δύο ισχύουν.

Γιατί τόσες συνθήκες;

Ας δούμε παραδείγματα που αναδεικνύουν την αναγκαιότητα κάθε συνθήκης:

Παράδειγμα 1: Ίδιος τύπος, διαφορετικό πεδίο ορισμού

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = x^2$
$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $g(x) = x^2$

Δεν είναι ίσες, γιατί $\mathbb{N} \neq \mathbb{R}$ . Για παράδειγμα, το $g(1{,}5) = 2{,}25$ υπολογίζεται, αλλά το $f(1{,}5)$ δεν ορίζεται. ⛔

Παράδειγμα 2: Ίδιο πεδίο ορισμού, διαφορετικό πεδίο τιμών

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = x^2$
$g : \mathbb{R} \to [0, +\infty)$ με $g(x) = x^2$

Δεν είναι ίσες, γιατί $\mathbb{R} \neq [0, +\infty)$ , παρόλο που οι τύποι και οι τιμές συμπίπτουν. ⛔

Παρατήρηση

Το πεδίο τιμών είναι «πού μπορούν να πάνε» οι εικόνες. Ο πίνακας τιμών μπορεί να είναι ο ίδιος, αλλά αν ο «κάδος» είναι διαφορετικός, οι συναρτήσεις δεν ταυτίζονται.

Παράδειγμα 3: Ίδια πεδία, διαφορετικές τιμές

$f(x) = x + 2$ , $x \in \mathbb{R}$
$g(x) = 2x - 1$ , $x \in \mathbb{R}$

Για $x = 0$ : $f(0) = 2$ , $g(0) = -1$ . Διαφορετικές τιμές. ⛔

Πιο χαλαρό πλαίσιο: Πραγματικές συναρτήσεις

Ειδική περίπτωση

Όταν οι δύο συναρτήσεις έχουν $B_1 = B_2 = \mathbb{R}$ (και οι δύο είναι πραγματικές), για να είναι ίσες αρκεί να ισχύουν:

$A_1 = A_2$
$f_1(x) = f_2(x)$ , $\forall x \in A_1$

Σε αυτήν την περίπτωση, η συνθήκη των πεδίων τιμών ικανοποιείται αυτόματα.

Χρήσιμες απλοποιήσεις τύπων

Συχνά δύο συναρτήσεις γράφονται διαφορετικά αλλά ουσιαστικά είναι ίδιες. Με αλγεβρικές πράξεις αποκαλύπτουμε την ισότητα.

Παράδειγμα 1: Απλοποίηση με παραγοντοποίηση

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = x$
$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $g(x) = \dfrac{2x^3 + 2x}{x^2 + 1}$

Απλοποιώντας:

g(x) = \frac{2x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = 2x

Ωχ, αυτό ήταν $2x$ , όχι $x$ ! Για να γίνουν ίσες, θα έπρεπε $f(x) = 2x$ . Ας δούμε άλλο παράδειγμα σωστά:

$f(x) = x$
$g(x) = \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 + 2}$

g(x) = \frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 2} = x = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}

Ίδιο πεδίο ορισμού $\mathbb{R}$ , ίδιες τιμές. ✅ Ίσες.

Παράδειγμα 2: «Κρυφή» ισότητα στο πεπερασμένο σύνολο

$f : \{-1, 0, 1\} \to \mathbb{R}$ με $f(x) = 3x^4 + 5$
$g : \{-1, 0, 1\} \to \mathbb{R}$ με $g(x) = 3x^6 + 5$

Γενικά, $x^4 \neq x^6$ , αλλά στο συγκεκριμένο πεδίο ορισμού $\{-1, 0, 1\}$ :

$f(-1) = 3 + 5 = 8 = g(-1)$
$f(0) = 5 = g(0)$
$f(1) = 8 = g(1)$

Τυχαίνει οι τιμές να συμπίπτουν! ✅ Ίσες στο συγκεκριμένο πεδίο.

Περιορισμός και επέκταση συνάρτησης

Όταν έχουμε δύο συναρτήσεις με κοινό τύπο αλλά διαφορετικά πεδία ορισμού όπου το ένα περιέχει το άλλο:

Περιορισμός & Επέκταση

Αν $f_1 : A_1 \to \mathbb{R}$ και $f_2 : A_2 \to \mathbb{R}$ με $A_1 \subset A_2$ και $f_1(x) = f_2(x)$ για κάθε $x \in A_1$ :

Η $f_1$ λέγεται περιορισμός της $f_2$ στο $A_1$ .
Η $f_2$ λέγεται επέκταση της $f_1$ στο $A_2$ .

Παράδειγμα: $f(x) = x + 5$ , $x \in [0, 3]$ είναι περιορισμός της $g(x) = x + 5$ , $x \in [-2, 7]$ .

Η γραφική παράσταση της $f$ αποτελεί «μέρος» της γραφικής παράστασης της $g$ . 📏

Ισότητα στο κοινό πεδίο ορισμού

Όταν τα πεδία ορισμού δεν είναι ξένα αλλά δεν συμπίπτουν, μπορούμε να αναφερθούμε σε ισότητα στο κοινό πεδίο ορισμού τους.

Παράδειγμα:

$f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ με $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$
$g(x) = x + 3$ με $D_g = \mathbb{R}$

Απλοποιώντας: $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3$ για $x \neq 3$ .

Δεν είναι ίσες (διαφορετικά πεδία ορισμού).
Είναι ίσες στο κοινό πεδίο ορισμού $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . ✅

Κλασική παγίδα

Όταν απλοποιείς μια κλασματική παράσταση διαιρώντας με $(x - a)$ , ο περιορισμός $x \neq a$ μένει! Η απλοποιημένη έκφραση ισούται με την αρχική μόνο για $x \neq a$ .

Ιδιότητες ισότητας συναρτήσεων

Η σχέση «ίσες συναρτήσεις» ικανοποιεί τις κλασικές ιδιότητες μιας σχέσης ισοδυναμίας:

Τρεις βασικές ιδιότητες

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f, g, h$ :

Ανακλαστική: $f = f$
Συμμετρική: Αν $f = g$ , τότε $g = f$
Μεταβατική: Αν $f = g$ και $g = h$ , τότε $f = h$

Αυτές οι ιδιότητες μας επιτρέπουν να «μεταφέρουμε» την ισότητα μέσω διαδοχικών βημάτων.

Σημαντική σημείωση: Γραφικές παραστάσεις

Γραφικές παραστάσεις ίσων συναρτήσεων

Οι γραφικές παραστάσεις ίσων συναρτήσεων πάντα συμπίπτουν.

Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει απαραίτητα: δύο γραφικές παραστάσεις μπορεί να φαίνονται ίδιες, αλλά οι συναρτήσεις να έχουν διαφορετικά πεδία τιμών.

Παράδειγμα: Οι $f : [0, 3] \to \mathbb{R}$ με $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ και $g : [0, 3] \to \mathbb{R}$ με $g(x) = 4 - (1 - x)^2$ έχουν συμπίπτουσες γραφικές παραστάσεις. Ας ελέγξουμε αλγεβρικά:

g(x) = 4 - (1 - 2x + x^2) = 4 - 1 + 2x - x^2 = -x^2 + 2x + 3 = f(x)

✅

Παραδείγματα-παγίδες

Παράδειγμα 1: $\sqrt{x^2}$ vs $x$

$f(x) = \sqrt{x^2}$ vs $g(x) = x$

Είναι ίσες στο $\mathbb{R}$ ; Όχι! Έχουμε $\sqrt{x^2} = |x|$ :

Για $x \geq 0$ : $\sqrt{x^2} = x = g(x)$ ✓
Για $x < 0$ : $\sqrt{x^2} = -x \neq x$ ⛔

Είναι ίσες μόνο στο $[0, +\infty)$ .

Παράδειγμα 2: $\sqrt{x^2}$ vs $(\sqrt{x})^2$

$f(x) = \sqrt{x^2}$ με $D_f = \mathbb{R}$
$g(x) = (\sqrt{x})^2$ με $D_g = [0, +\infty)$

Τα πεδία ορισμού διαφέρουν. Για $x \geq 0$ :

\sqrt{x^2} = x = (\sqrt{x})^2

✓

Άρα ίσες μόνο στο κοινό πεδίο $[0, +\infty)$ .

Παράδειγμα 3: $(x - 2)|x|$ vs $x^2 - 2x$

$f(x) = (x - 2)|x|$
$g(x) = x^2 - 2x$

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Αν $x \geq 0$ : $f(x) = (x - 2)x = x^2 - 2x = g(x)$ ✓
Αν $x < 0$ : $f(x) = (x - 2)(-x) = -x^2 + 2x \neq g(x)$ ⛔

Ίσες μόνο στο $[0, +\infty)$ .

Μεθοδολογία ελέγχου ισότητας

Βήματα ελέγχου

Βρες το πεδίο ορισμού της κάθε συνάρτησης (με βάση τον τύπο).
Συνέκρινε τα δύο πεδία ορισμού. Αν διαφέρουν, βρες το κοινό τους για να ελέγξεις εκεί την ισότητα.
Συνέκρινε τα πεδία τιμών.
Για το κοινό πεδίο ορισμού, έλεγξε αλγεβρικά αν $f(x) = g(x)$ (με απλοποιήσεις, διακρίσεις περιπτώσεων, κ.λπ.).

Σχετικά παραδείγματα γραφικών παραστάσεων ίσων και άνισων συναρτήσεων βρίσκονται στις σελίδες 128–131 του PDF. 📖