Πεδίο ορισμού – Σύνολο τιμών πραγματικής συνάρτησης

Όταν μια συνάρτηση δίνεται με τύπο και δεν αναφέρεται ρητά το πεδίο ορισμού της, εννοούμε σιωπηρά ότι αυτό είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ για το οποίο ο τύπος βγάζει πραγματικά νόημα. 🎯

Τι αναζητούμε;

Τρεις βασικές περιπτώσεις

Ακολούθησε τον «χρυσό κανόνα» των τριών περιπτώσεων:

1. Πολυωνυμική συνάρτηση 📐

Αν η $f$ είναι πολυωνυμική, δηλαδή:

τότε ορίζεται για κάθε πραγματικό $x$:

Παραδείγματα:

• $f(x) = x^2 - 2x$: $D_f = \mathbb{R}$
• $g(x) = 3x + 1$: $D_g = \mathbb{R}$

2. Ρίζα (τετραγωνική ή άρτιας τάξης) 🌳

Αν στον τύπο εμφανίζεται ρίζα (τετραγωνική $\sqrt{\ }$ ή άρτιας τάξης), τότε το υπόριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό:

Παραδείγματα:

• $f(x) = \sqrt{2 - x}$: Απαιτούμε $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$. Άρα $D_f = (-\infty, 2]$.
• $g(x) = \sqrt{x^2 - 1}$: Απαιτούμε $x^2 - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -1$ ή $x \geq 1$. Άρα $D_g = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

3. Κλασματική συνάρτηση (πηλίκο) ➗

Αν υπάρχει κλάσμα, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός:

Παραδείγματα:

• $f(x) = \dfrac{2x}{x - 3}$: Απαιτούμε $x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$. Άρα $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
• $g(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$: Απαιτούμε $x^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 1$. Άρα $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Σύνθετα παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Ρίζα στον αριθμητή, «απλό» $x$ στον παρονομαστή

Περιορισμοί:

• Υπόριζο: $x + 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -5$
• Παρονομαστής: $x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$

Συνδυάζουμε: $D_k = [-5, 2) \cup (2, +\infty)$.

Παράδειγμα 2: Ρίζα στον παρονομαστή

Εδώ η ρίζα είναι στον παρονομαστή, οπότε πρέπει ταυτόχρονα να είναι ορισμένη και μη μηδενική:

Άρα $D_l = (5, +\infty)$.

Παράδειγμα 3: Ρίζα με απόλυτο

Απαιτούμε $4 - |1 - 2x| \geq 0 \Leftrightarrow |1 - 2x| \leq 4 \Leftrightarrow -4 \leq 1 - 2x \leq 4$

Άρα $D_m = \left[-\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{2}\right]$.

Εύρεση του συνόλου τιμών

Ο γενικός αλγόριθμος έχει δύο βήματα:

Παράδειγμα 1: Γραμμική συνάρτηση

$f(x) = 2x$, $x \in \mathbb{R}$.

Περιορισμός: $\dfrac{y}{2} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow y \in \mathbb{R}$.

Άρα $R_f = \mathbb{R}$.

Παράδειγμα 2: Γραμμική με περιορισμένο πεδίο

$g(x) = 2x$, $x \in [-2, 2]$.

$x = \dfrac{y}{2}$, απαιτούμε $-2 \leq \dfrac{y}{2} \leq 2$, δηλαδή $-4 \leq y \leq 4$.

Άρα $R_g = [-4, 4]$.

Παράδειγμα 3: Ρητή συνάρτηση

$f(x) = \dfrac{2x}{x+1}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Επίλυση ως προς $x$:

Απαιτούμε $x \neq -1$:

Άρα το μόνο που εξαιρούμε είναι $y = 2$: $R_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Παράδειγμα 4: Ρίζα

$g(x) = \sqrt{x + 4}$, $D_g = [-4, +\infty)$.

Περιορισμός: $y^2 - 4 \geq -4 \Leftrightarrow y^2 \geq 0$ ✓ (πάντα αληθές).

Μαζί με $y \geq 0$: $R_g = [0, +\infty)$.

Παράδειγμα 5: Τετραγωνικό τριώνυμο

$h(x) = x^2 - 4x + 3$, $D_h = \mathbb{R}$.

2ος τρόπος (κανονική μορφή):

Επειδή $(x - 2)^2 \geq 0$, έχουμε $h(x) \geq -1$, με ισότητα όταν $x = 2$.

Άρα $R_h = [-1, +\infty)$. 📈

Σύνολο τιμών τμηματικής συνάρτησης

Για τμηματική συνάρτηση:

Παράδειγμα:

• 1ος κλάδος: $x \leq 1 \Rightarrow y = x - 2 \leq -1$. Σύνολο: $(-\infty, -1]$.
• 2ος κλάδος: $x > 1 \Rightarrow y = x^2 > 1$. Σύνολο: $(1, +\infty)$.

Συνολικό σύνολο τιμών: $R_k = (-\infty, -1] \cup (1, +\infty)$.

Ειδικά παραδείγματα με σύνθεση ιδιοτήτων

$f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$, $x \in \mathbb{R}$

$x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 3 \geq 3 \Rightarrow \sqrt{x^2 + 3} \geq \sqrt{3}$.

Άρα $R_f = [\sqrt{3}, +\infty)$.

$h(x) = |x - 1|$, $x \in \mathbb{R}$

$|x - 1| \geq 0$ με ισότητα για $x = 1$.

Άρα $R_h = [0, +\infty)$.

$\theta(x) = 2|x - 1| + 3$, $x \in \mathbb{R}$

$|x - 1| \geq 0 \Rightarrow 2|x - 1| \geq 0 \Rightarrow 2|x - 1| + 3 \geq 3$.

Άρα $R_\theta = [3, +\infty)$.

Σύνοψη μεθοδολογίας

Τα σχετικά σχήματα γραφικών παραστάσεων βρίσκονται στις σελίδες 121–124 του PDF. 📈