Είδη συναρτήσεων

Οι συναρτήσεις δεν είναι όλες ίδιες! Ορισμένες έχουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά που τις κατατάσσουν σε συγκεκριμένες κατηγορίες. Η αναγνώριση του «είδους» μιας συνάρτησης μας διευκολύνει τόσο στον υπολογισμό όσο και στην πρόβλεψη της συμπεριφοράς της. 🎭

Σταθερή συνάρτηση

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ λέγεται σταθερή στο $A$ αν υπάρχει σταθερό στοιχείο $a \in B$ τέτοιο ώστε:

f(x) = a, \quad \forall x \in A

Χαρακτηριστικά

Όλα τα στοιχεία του $A$ έχουν την ίδια εικόνα.
Το σύνολο τιμών είναι μονοσύνολο: $f(A) = \{a\}$ .
Η γραφική παράσταση είναι οριζόντια ευθεία $y = a$ . ━

Παράδειγμα: $f(x) = 3$ , $x \in \mathbb{R}$ . Για κάθε τιμή του $x$ , το $f(x) = 3$ . 📏

Προσοχή στο πώς δίνεται ο τύπος

Μερικές συναρτήσεις «μεταμφιέζονται» ως σταθερές:

$f(x) = 2(x + 4) - 2x = 8$ : Σταθερή ✅
$f(x) = 2(x + 4) - 2x - 8 = 0$ : Σταθερή (μηδενική) ✅
$f(x) = 2(x + 4) - 8 = 2x$ : Όχι σταθερή ⛔

Ταυτοτική συνάρτηση

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to A$ λέγεται ταυτοτική στο $A$ αν:

f(x) = x, \quad \forall x \in A

Χαρακτηριστικά

Κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται στον εαυτό του.
Η γραφική παράσταση είναι η ευθεία $y = x$ (διχοτόμος πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου). ↗️

Παράδειγμα: $f(x) = (x - 1)^2 - x^2 + 3x - 1$ .

Αναπτύσσουμε: $f(x) = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 3x - 1 = x$ . ✅ Ταυτοτική.

Πολυωνυμική συνάρτηση

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ λέγεται πολυωνυμική όταν είναι της μορφής:

f(x) = a_\nu x^\nu + a_{\nu-1}x^{\nu-1} + \cdots + a_1 x + a_0

όπου $a_0, a_1, \ldots, a_\nu \in \mathbb{R}$ και $\nu \in \mathbb{N}_0$ .

Κατηγορίες ανάλογα με τον βαθμό

Βαθμός	Όνομα	Παράδειγμα
0	Σταθερή (μη μηδενική)	$f(x) = 5$
1	Γραμμική	$f(x) = 2x + 3$
2	Τετραγωνική	$f(x) = x^2 - 4x + 3$
3	Κυβική	$f(x) = x^3 - x$

Παγίδες

Η $g(x) = x^{-1} = \tfrac{1}{x}$ δεν είναι πολυωνυμική (ο εκθέτης πρέπει να είναι μη αρνητικός ακέραιος).
Η $h(x) = \sqrt{x}$ δεν είναι πολυωνυμική.
Η σταθερή $f(x) = 0$ είναι πολυωνυμική χωρίς βαθμό.

Ρητή συνάρτηση

Ορισμός

Μια συνάρτηση λέγεται ρητή αν είναι της μορφής:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

όπου $P(x), Q(x)$ πολυωνυμικές συναρτήσεις με $P(x)$ μη μηδενική και $Q(x)$ μη σταθερή.

Παράδειγμα: $f(x) = \dfrac{x^4 - 4x + 1}{x^2 + 3}$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Προσοχή στον παρονομαστή

Το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης εξαιρεί τις τιμές του $x$ που μηδενίζουν τον παρονομαστή $Q(x)$ .

Άρτιες συναρτήσεις

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ λέγεται άρτια όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει:

-x \in A \quad \text{και} \quad f(-x) = f(x)

Γεωμετρική ερμηνεία

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα των τεταγμένων (y). 🪞

Διαισθητικά: Αν φτιάξεις τη δεξιά πλευρά, η αριστερή είναι η «καθρεπτιασμένη» εικόνα.

Παραδείγματα:

$f(x) = x^4 + 1$ : $f(-x) = (-x)^4 + 1 = x^4 + 1 = f(x)$ ✅
$f(x) = \cos x$ (συν $x$ ): Άρτια ✅
$f(x) = |x|$ : Άρτια ✅
$f(x) = 3x^2 + 2x + 3$ : $f(-x) = 3x^2 - 2x + 3 \neq f(x)$ ⛔

Χρειάζεται συμμετρικό πεδίο ορισμού!

Για να είναι μια συνάρτηση άρτια, το πεδίο ορισμού της πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το 0.

Αντιπαράδειγμα: $f(x) = x^2$ με $x \in [-2, 8]$ . Το $3 \in [-2, 8]$ , αλλά $-3 \notin [-2, 8]$ . Οπότε δεν είναι άρτια (ακόμη κι αν ο τύπος «μοιάζει» άρτιος).

Περιττές συναρτήσεις

Ορισμός

Μια συνάρτηση $f : A \to B$ λέγεται περιττή όταν για κάθε $x \in A$ ισχύει:

-x \in A \quad \text{και} \quad f(-x) = -f(x)

Γεωμετρική ερμηνεία

Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ . 🎯

Διαισθητικά: Αν περιστρέψεις το σχήμα κατά 180° γύρω από το $O$ , επιστρέφει στον εαυτό του.

Παραδείγματα:

$f(x) = -x^3$ : $f(-x) = -(-x)^3 = x^3 = -(-x^3) = -f(x)$ ✅
$f(x) = x^3 + x$ : Περιττή ✅
$f(x) = \sin x$ (ημ $x$ ): Περιττή ✅
$f(x) = \tan x$ (εφ $x$ ): Περιττή ✅ (στο κατάλληλο πεδίο ορισμού)

Συνέπεια

Αν μια περιττή συνάρτηση $f$ ορίζεται στο $0$ , τότε αναγκαστικά $f(0) = 0$ (γιατί $f(-0) = -f(0)$ , άρα $f(0) = -f(0)$ , άρα $2f(0) = 0$ ).

Σύγκριση άρτιας και περιττής

Ιδιότητα	Άρτια	Περιττή
Συνθήκη	$f(-x) = f(x)$	$f(-x) = -f(x)$
Συμμετρία	ως προς $y$ -άξονα	ως προς $O(0,0)$
$f(0)$ (αν ορίζεται)	οτιδήποτε	$= 0$

Μια συνάρτηση μπορεί να είναι και τα δύο!

Η μοναδική συνάρτηση που είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή είναι η μηδενική: $f(x) = 0$ . Όλες οι άλλες είναι είτε το ένα είτε το άλλο (ή τίποτα από τα δύο).

Συναρτήσεις που δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές

Οι περισσότερες συναρτήσεις δεν εμπίπτουν σε καμία από τις δύο κατηγορίες! Παράδειγμα: $f(x) = x^2 + x$ .

Συνάρτηση πολλαπλού τύπου (τμηματική)

Ορισμός

Μια συνάρτηση ονομάζεται πολλαπλού τύπου (ή τμηματική) όταν παρουσιάζει διαφορετικό τύπο σε ξένα μεταξύ τους υποσύνολα του πεδίου ορισμού της.

Παράδειγμα 1: Η απόλυτη τιμή

f(x) = |x| = \begin{cases} x, & x \in [0, +\infty) \\ -x, & x \in (-\infty, 0) \end{cases}

Παράδειγμα 2:

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq -1 \\ x, & -1 < x \leq 1 \\ -1, & x > 1 \end{cases}

Για αυτήν:

$f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) = 8$ (πρώτος κλάδος, αφού $-4 \leq -1$ )
$f(0) = 0$ (δεύτερος κλάδος, αφού $-1 < 0 \leq 1$ )
$f(25) = -1$ (τρίτος κλάδος, αφού $25 > 1$ )

Πώς τη φτιάχνουμε γραφικά

Σχεδιάζουμε κάθε κλάδο ξεχωριστά, στο αντίστοιχο διάστημα. Στα όρια των διαστημάτων προσέχουμε αν το σημείο ανήκει ή όχι (συμπαγές ● ή κενό ○).

Παράδειγμα από την πραγματική ζωή 📞

Το κόστος ενός τηλεφωνήματος από Κύπρο στην Ελλάδα είναι €0{,}25020 ανά λεπτό (ή ανά μέρος λεπτού):

K(t) = \begin{cases} 0{,}25020, & 0 < t \leq 1 \\ 0{,}50040, & 1 < t \leq 2 \\ 0{,}75060, & 2 < t \leq 3 \\ \vdots \end{cases}

Η γραφική παράσταση είναι ένα «σκαλοπάτι» (step function). 🪜

Μετασχηματισμός συναρτήσεων με απόλυτα σε τμηματικές

Οι συναρτήσεις που εμπεριέχουν απόλυτα μπορούν να γραφούν ως τμηματικές:

Παράδειγμα: $f(x) = |x - 2|$ , $x \in \mathbb{R}$ .

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & x \geq 2 \\ -x + 2, & x < 2 \end{cases}

Γραφική παράσταση: Δύο ημιευθείες που σχηματίζουν «V» με κορυφή στο $(2, 0)$ . 📐

Σύνδεση με απόλυτα

Όλες οι συναρτήσεις που έχουν απόλυτα μέσα τους μετατρέπονται σε τμηματικές, διακρίνοντας τις περιπτώσεις ανάλογα με το πρόσημο της παράστασης που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο.

Σύνοψη

Τα «είδη» με μια ματιά

Σταθερή: $f(x) = a$
Ταυτοτική: $f(x) = x$
Πολυωνυμική: $f(x) = a_\nu x^\nu + \cdots + a_0$
Ρητή: $f(x) = \tfrac{P(x)}{Q(x)}$
Άρτια: $f(-x) = f(x)$ (συμμετρική ως προς $y$ -άξονα)
Περιττή: $f(-x) = -f(x)$ (συμμετρική ως προς $O$ )
Πολλαπλού τύπου: διαφορετικός τύπος σε διαφορετικά διαστήματα

Σχήματα γραφικών παραστάσεων (άρτιες, περιττές, τμηματικές) βρίσκονται στις σελίδες 108–115 του PDF. 📈