Γράφημα – Γραφική παράσταση συνάρτησης

Αν και οι όροι γράφημα και γραφική παράσταση συχνά χρησιμοποιούνται εναλλακτικά στην καθημερινή γλώσσα, στα Μαθηματικά έχουν διακριτή σημασία. 📘

Γράφημα συνάρτησης

Ορισμός: Γράφημα

Γράφημα μιας συνάρτησης $f : A \to B$ είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών $(x, y)$ όπου $x \in A$ , $y \in B$ και $y = f(x)$ :

G = \{(x, y) \mid y = f(x),\ x \in A,\ y \in B\}

Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση $f$ με $f(1) = 8$ , $f(2) = 3$ , $f(5) = 4$ , $f(7) = 6$ και πεδίο ορισμού $\{1, 2, 5, 7\}$ :

G = \{(1, 8), (2, 3), (5, 4), (7, 6)\}

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Ορισμός: Γραφική παράσταση

Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ είναι η αναπαράσταση των διατεταγμένων ζευγών $(x, f(x))$ του γραφήματος σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 📈

Με άλλα λόγια:

Το γράφημα είναι αλγεβρικό (σύνολο σημείων).
Η γραφική παράσταση είναι γεωμετρική (σχήμα στο επίπεδο).

Χρήσιμη παρατήρηση

Το σύνολο των τετμημένων (x-συντεταγμένων) των σημείων της γραφικής παράστασης = πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Το σύνολο των τεταγμένων (y-συντεταγμένων) των σημείων της γραφικής παράστασης = σύνολο τιμών της συνάρτησης.

Διαφορετικά είδη γραφικών παραστάσεων

1. Διακριτή συνάρτηση

Αν το πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο σύνολο (π.χ. $\{1, 2, 5, 7\}$ ), η γραφική παράσταση αποτελείται από μεμονωμένα σημεία.

2. Συνεχής συνάρτηση

Αν το πεδίο ορισμού είναι διάστημα (π.χ. $[-3, 3]$ ), η γραφική παράσταση είναι μια καμπύλη (ή μέρος καμπύλης).

Σχήματα σελίδας 97–102 του PDF δείχνουν και τις δύο περιπτώσεις.

Ο έλεγχος της κατακόρυφης γραμμής

Πώς μπορούμε να ξεχωρίσουμε αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης;

Θυμήσου τη χρυσή αρχή της συνάρτησης: κάθε $x$ αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα $y$ .

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι αν φέρουμε μια κάθετη ευθεία από οποιοδήποτε σημείο του άξονα $x$ , αυτή πρέπει να τέμνει την καμπύλη σε ένα το πολύ σημείο.

Κριτήριο κατακόρυφης γραμμής

Μια καμπύλη στο καρτεσιανό επίπεδο είναι γραφική παράσταση συνάρτησης αν και μόνο αν κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει την καμπύλη σε το πολύ ένα σημείο.

Γιατί λειτουργεί αυτό;

Αν μια κατακόρυφη ευθεία $x = a$ τεμνόταν την καμπύλη σε δύο σημεία $(a, y_1)$ και $(a, y_2)$ με $y_1 \neq y_2$ , τότε θα είχαμε δύο διαφορετικές εικόνες για το ίδιο $x = a$ . Αυτό θα παραβίαζε τον ορισμό της συνάρτησης. ⛔

Παραδείγματα

Η ευθεία $y = 3x - 1$ : Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει την καμπύλη σε ακριβώς ένα σημείο. ✅ Συνάρτηση.
Ο κύκλος $x^2 + y^2 = 9$ : Η κατακόρυφη ευθεία $x = 0$ τέμνει τον κύκλο στα $(0, 3)$ και $(0, -3)$ . ⛔ Δεν είναι συνάρτηση.
Η παραβολή $y = x^2$ : Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει σε ένα σημείο. ✅ Συνάρτηση.
Η παραβολή $x = y^2$ : Η κατακόρυφη $x = 4$ τέμνει στα $(4, 2)$ και $(4, -2)$ . ⛔ Δεν είναι συνάρτηση.

Συνδυασμός γεωμετρίας και άλγεβρας

Ο έλεγχος της κατακόρυφης γραμμής συνδέει:

Την αλγεβρική απαίτηση «ένα $x$ ↔ ένα $y$ »
Με τη γεωμετρική παρατήρηση «το πολύ μία τομή»

Αναγνώριση πεδίου ορισμού και συνόλου τιμών από τη γραφική παράσταση

Δοθείσας της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$ :

Εύρεση πεδίου ορισμού $D_f$

«Προβάλλουμε» όλα τα σημεία της καμπύλης κάθετα προς τον άξονα $x$ . Το αποτέλεσμα της προβολής είναι το πεδίο ορισμού.

Εύρεση συνόλου τιμών $f(A)$

«Προβάλλουμε» όλα τα σημεία της καμπύλης κάθετα προς τον άξονα $y$ . Το αποτέλεσμα της προβολής είναι το σύνολο τιμών.

Παράδειγμα: Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ είναι ένα τμήμα της παραβολής $y = x^2$ με $x \in [-3, 3]$ :

Πεδίο ορισμού: $[-3, 3]$ (από την κάθετη προβολή στον άξονα $x$ )
Σύνολο τιμών: $[0, 9]$ (ελάχιστο στο $x = 0$ : $f(0) = 0$ , μέγιστο στα άκρα: $f(\pm 3) = 9$ )

Χρήσιμη μέθοδος

Αν δυσκολεύεσαι να δεις το σύνολο τιμών, τράβα νοητά οριζόντιες γραμμές σε διάφορα ύψη. Αν μια οριζόντια γραμμή τέμνει την καμπύλη, η τεταγμένη της ανήκει στο σύνολο τιμών.

Σχέσεις που ορίζουν (ή δεν ορίζουν) συνάρτηση

Παράδειγμα 1: $y = 3x - 1$ , $x \in \mathbb{R}$

Για κάθε $x$ , το $y$ υπολογίζεται μοναδικά. ✅ Συνάρτηση.

Παράδειγμα 2: $x^2 + y^2 = 9$ , $x \in [-3, 3]$

Επιλύοντας ως προς $y$ :

y^2 = 9 - x^2 \Leftrightarrow y = \pm\sqrt{9 - x^2}

Για κάθε $x \in (-3, 3)$ , υπάρχουν δύο τιμές του $y$ (θετική και αρνητική). ⛔ Δεν είναι συνάρτηση. (Είναι ο κύκλος ακτίνας 3.)

Εναλλακτική κίνηση

Αν αναγκαστούμε να δουλέψουμε με τον κύκλο ως σύνολο, μπορούμε να τον «χωρίσουμε» σε δύο ημικύκλια:

Άνω ημικύκλιο: $y = \sqrt{9 - x^2}$ (συνάρτηση ✅)
Κάτω ημικύκλιο: $y = -\sqrt{9 - x^2}$ (συνάρτηση ✅)

Παράδειγμα 3: $y^2 = x$ , $x \geq 0$

$y = \pm\sqrt{x}$ , δύο τιμές για κάθε $x > 0$ . ⛔ Δεν είναι συνάρτηση.

Σύνοψη

Τα must-know

Γράφημα = αλγεβρικό σύνολο ζευγών. Γραφική παράσταση = γεωμετρική απεικόνιση.
Οι τετμημένες των σημείων δίνουν το πεδίο ορισμού.
Οι τεταγμένες των σημείων δίνουν το σύνολο τιμών.
Κριτήριο κατακόρυφης γραμμής: κάθε κάθετη ευθεία πρέπει να τέμνει την καμπύλη σε το πολύ ένα σημείο.

Εφαρμογή σε πραγματικό πρόβλημα

Η συνάρτηση $h(t) = 20 - 4{,}9t^2$ για $t \in [0, +\infty)$ περιγράφει το ύψος από το έδαφος ενός αντικειμένου που πέφτει ελεύθερα από έναν βράχο ύψους 20 μέτρων.

Για $t = 0$ : $h(0) = 20$ (αφετηρία) 🏔️
Για $t = 1$ : $h(1) = 20 - 4{,}9 = 15{,}1$ μέτρα
Πότε χτυπάει στο έδαφος; Όταν $h(t) = 0$ :

20 - 4{,}9t^2 = 0 \Leftrightarrow t^2 = \frac{20}{4{,}9} \approx 4{,}08 \Leftrightarrow t \approx 2{,}02 \text{ sec}

Η γραφική παράσταση αποκαλύπτει καθαρά αυτήν τη «φυσική» συμπεριφορά (καμπύλη που κατέρχεται από τα 20 μέτρα στο 0). 🪂

Τα σχετικά σχήματα γραφικών παραστάσεων βρίσκονται στις σελίδες 97–105 του PDF. 📖