Η έννοια της συνάρτησης – Αναπαραστάσεις συνάρτησης

Σε αυτήν την ενότητα θα δώσουμε τον αυστηρό ορισμό της συνάρτησης και θα δούμε τους πέντε διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αναπαρασταθεί. 🎯

Ο αυστηρός ορισμός

Ορισμός

Ονομάζουμε συνάρτηση $f$ από το μη κενό σύνολο $A$ στο μη κενό σύνολο $B$ μια αντιστοιχία (έναν κανόνα), όπου σε κάθε στοιχείο $x \in A$ αντιστοιχεί ένα και μόνον ένα στοιχείο $y \in B$ .

Συμβολίζουμε: $f : A \to B$ και γράφουμε $y = f(x)$ .

Ορολογία και συμβολισμοί

Όρος	Συμβολισμός	Επεξήγηση
Πεδίο ορισμού	$A$ ή $D_f$	Το σύνολο των $x$
Πεδίο τιμών	$B$	Το σύνολο στο οποίο «πέφτουν» οι εικόνες
Εικόνα του x	$f(x)$	Το στοιχείο του $B$ που αντιστοιχεί στο $x$
Σύνολο τιμών	$f(A)$ ή $R_f$	$\{f(x) \mid x \in A\}$

Πολύ σημαντικό

Το σύνολο τιμών $f(A)$ είναι υποσύνολο του πεδίου τιμών $B$ , δηλαδή:

f(A) \subseteq B

Δεν είναι απαραίτητα ίσα! Κάποια στοιχεία του $B$ μπορεί να μην είναι εικόνες κανενός στοιχείου του $A$ .

Η «χρυσή συνθήκη»

Δύο προϋποθέσεις για να έχουμε συνάρτηση:

Ύπαρξη: Κάθε $x \in A$ πρέπει να έχει εικόνα (κανένα στοιχείο δεν μένει «ορφανό»).
Μοναδικότητα: Η εικόνα αυτή πρέπει να είναι μοναδική (κανένα $x$ δεν αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά $y$ ).

Με ιδέα «βελοειδούς διαγράμματος»

Από κάθε σημείο του συνόλου $A$ ξεκινά ακριβώς ένα βέλος.
Κανένα σημείο δεν έχει δύο βέλη που φεύγουν από αυτό.
Στοιχεία του $B$ μπορεί να δέχονται πολλά βέλη (αυτό επιτρέπεται) ή κανένα (αυτό επίσης).

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Σε αυτήν την ενότητα εστιάζουμε σε μια ειδική κατηγορία συναρτήσεων:

$f$ συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής: $A \subseteq \mathbb{R}$
$f$ πραγματική συνάρτηση: $B \subseteq \mathbb{R}$

Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής ℝ→ℝ

Όταν και το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι υποσύνολα του $\mathbb{R}$ .

Σύμβαση: Όταν δεν αναφέρεται το πεδίο τιμών, θεωρούμε ότι είναι υποσύνολο του $\mathbb{R}$ .

Παράδειγμα: Για τη συνάρτηση $f(x) = x^2 + 2$ με $x \in [-1, 3]$ :

Πεδίο ορισμού: $[-1, 3]$
Σύνολο τιμών: $f([-1, 3]) = [2, 11]$ (υπολογίζεται βρίσκοντας το ελάχιστο και μέγιστο)
Εικόνες: π.χ. $f(0) = 2$ , $f(1) = 3$ , $f(3) = 11$

Οι πέντε αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης

Μια συνάρτηση μπορεί να «μιλήσει» σε εμάς με πέντε διαφορετικές «γλώσσες»:

1. Λεκτική αναπαράσταση 🗣️

Μια περιγραφή με λόγια του κανόνα της συνάρτησης.

Παράδειγμα: «Σε κάθε αριθμό από το σύνολο $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ αντιστοιχίζεται το τετράγωνό του μειωμένο κατά 3».

2. Βελοειδές διάγραμμα 🎯

Σχηματική αναπαράσταση με βέλη από το σύνολο $A$ στο $B$ . Κάθε στοιχείο του $A$ συνδέεται με ακριβώς ένα στοιχείο του $B$ .

Βλέπε σελίδα 93 και 94 του PDF για παραδείγματα βελοειδών διαγραμμάτων.

3. Τύπος 📐

Μια αλγεβρική έκφραση της μορφής $y = f(x)$ .

Παράδειγμα: $y = x^2 - 3$ , $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

Πλεονεκτήματα του τύπου

Επιτρέπει εύκολο υπολογισμό για κάθε $x$
Δίνεται συμπαγώς (σε μια γραμμή)
Επιτρέπει αλγεβρικούς χειρισμούς (π.χ. επίλυση εξισώσεων)

4. Γράφημα 🔢

Ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών:

G = \{(x, y) \mid y = f(x),\ x \in A,\ y \in B\}

Παράδειγμα: $G = \{(-2, 1), (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1)\}$

Διακριτές vs συνεχείς συναρτήσεις

Αν το πεδίο ορισμού είναι πεπερασμένο (π.χ. $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ), το γράφημα είναι σύνολο μεμονωμένων σημείων.
Αν το πεδίο ορισμού είναι διάστημα (π.χ. $[-1, 3]$ ), το γράφημα είναι καμπύλη.

5. Γραφική παράσταση 📈

Η γεωμετρική αναπαράσταση του γραφήματος σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (καρτεσιανό επίπεδο).

Πλεονεκτήματα: Μας δίνει τη «μεγάλη εικόνα»:

Σύνολο τιμών (από τον άξονα $y$ )
Συμμετρίες (άρτιες, περιττές)
Μονοτονία (που αυξάνει, πότε μειώνεται)
Μέγιστα & ελάχιστα

Σχήμα γραφικής παράστασης: σελίδα 95 του PDF.

Παράδειγμα: Μετάβαση μεταξύ αναπαραστάσεων

Ας δούμε τη συνάρτηση $f(x) = x^2 - 3$ με $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ σε όλες τις αναπαραστάσεις:

Πίνακας τιμών:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$1$	$-2$	$-3$	$-2$	$1$

Λεκτικά: «Ύψωσε τον αριθμό στο τετράγωνο και αφαίρεσε 3».

Τύπος: $y = x^2 - 3$ , $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ .

Γράφημα: $G = \{(-2, 1), (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1)\}$ .

Γραφική παράσταση: 5 σημεία στο επίπεδο.

Όλες ισοδύναμες

Οι πέντε αναπαραστάσεις δεν είναι ανταγωνιστικές – είναι συμπληρωματικές! Διαφορετικές αναπαραστάσεις αναδεικνύουν διαφορετικές ιδιότητες της ίδιας συνάρτησης.

Συμβολισμοί που θα συναντήσεις

$f : A \to B$ : η $f$ είναι συνάρτηση από το $A$ στο $B$
$x \mapsto f(x)$ : το $x$ αντιστοιχίζεται στο $f(x)$
$f : x \mapsto 2x + 1$ : η $f$ στέλνει το $x$ στο $2x + 1$
$D_f$ : πεδίο ορισμού
$R_f$ ή $f(A)$ : σύνολο τιμών

Σημαντικό σύμβολο

Στην έκφραση $f(x)$ , το $x$ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή (δίνουμε εμείς) και το $f(x)$ (συνήθως γράφεται $y$ ) είναι η εξαρτημένη μεταβλητή (υπολογίζεται από τη συνάρτηση).

Μικρές παγίδες που πρέπει να αποφεύγεις

Συχνά λάθη

Να μη συγχέεις το πεδίο τιμών ( $B$ ) με το σύνολο τιμών ( $f(A)$ ). Το δεύτερο είναι πάντα υποσύνολο του πρώτου.
Το $f(x)$ δεν είναι «το $f$ επί $x$ »! Είναι «η τιμή της $f$ στο $x$ ».
Μια σχέση όπως $x^2 + y^2 = 9$ δεν ορίζει αυτόματα συνάρτηση (βλ. επόμενες ενότητες για τον «έλεγχο κατακόρυφης γραμμής»).