Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος και Διαφοράς Δύο Γωνιών

Σε αυτή την ενότητα αναπτύσσουμε τους θεμελιώδεις τύπους που μας επιτρέπουν να εκφράζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς δύο γωνιών $α \pm β$ συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών των επιμέρους γωνιών $α$ και $β$ 🔢. Αυτοί οι τύποι αποτελούν την «καρδιά» της αναλυτικής Τριγωνομετρίας και οδηγούν -- ως πόρισμα -- στους τύπους διπλάσιας γωνίας.

Γιατί είναι σημαντικοί;

Επιτρέπουν τον υπολογισμό τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών όπως $75° = 45° + 30°$ χωρίς υπολογιστή.
Αποτελούν τη βάση για τις σειρές Fourier και την επεξεργασία σήματος.
Είναι το εργαλείο για την απλοποίηση πολύπλοκων τριγωνομετρικών παραστάσεων.
Οδηγούν φυσικά στους τύπους διπλάσιας και ημίσειας γωνίας, που χρησιμοποιούνται στον ολοκληρωτικό λογισμό 📈.

📘 Ημίτονο και Συνημίτονο Αθροίσματος/Διαφοράς

Συνημίτονο Διαφοράς (βασικός τύπος) 🌟

\boxed{συν(α - β) = συνα \cdot συνβ + ημα \cdot ημβ}

Απόδειξη (μέσω τριγωνομετρικού κύκλου) 📝

Τοποθετούμε σε τριγωνομετρικό κύκλο τις γωνίες $α$ και $β$ σε κανονική θέση. Θεωρούμε τα σημεία (δες σχήμα στη σελίδα 45 του PDF):

M_1(συνα, ημα), \quad M_2(συνβ, ημβ)

Βήμα 1: Με τον τύπο απόστασης δύο σημείων στο επίπεδο:

(M_1M_2)^2 = (συνα - συνβ)^2 + (ημα - ημβ)^2

Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα:

= συν^2α - 2συνασυνβ + συν^2β + ημ^2α - 2ημαημβ + ημ^2β

= \underbrace{(συν^2α + ημ^2α)}_{=1} + \underbrace{(συν^2β + ημ^2β)}_{=1} - 2συνασυνβ - 2ημαημβ

= 2 - 2(συνασυνβ + ημαημβ)

Βήμα 2: Εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $M_1 O M_2$ , όπου $OM_1 = OM_2 = 1$ (ακτίνες) και η γωνία στην κορυφή $O$ είναι $α - β$ :

(M_1M_2)^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot συν(α - β) = 2 - 2συν(α - β)

Βήμα 3: Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις:

2 - 2(συνασυνβ + ημαημβ) = 2 - 2συν(α - β)

\Rightarrow συν(α - β) = συνα \cdot συνβ + ημα \cdot ημβ \quad \blacksquare

Παρατήρηση

Η απόδειξη ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες $α, β$ (θετικές ή αρνητικές, μεγαλύτερες ή μικρότερες από $360°$ ). Τα σημεία $M_1, M_2$ ορίζονται πάντα στον μοναδιαίο κύκλο, ενώ ο νόμος συνημιτόνων ισχύει σε κάθε τρίγωνο.

Συνημίτονο Αθροίσματος

\boxed{συν(α + β) = συνα \cdot συνβ - ημα \cdot ημβ}

Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας ότι οι $συν$ και $ημ$ είναι άρτιες/περιττές συναρτήσεις αντίστοιχα ( $συν(-β) = συνβ$ , $ημ(-β) = -ημβ$ ):

συν(α + β) = συν(α - (-β)) = συνα \cdot συν(-β) + ημα \cdot ημ(-β)

= συνα \cdot συνβ - ημα \cdot ημβ \quad \blacksquare

Ημίτονο Διαφοράς

\boxed{ημ(α - β) = ημα \cdot συνβ - συνα \cdot ημβ}

Απόδειξη: Χρησιμοποιώντας τη συμπληρωματική σχέση $ημω = συν\left(\dfrac{π}{2} - ω\right)$ :

ημ(α - β) = συν\left(\frac{π}{2} - (α - β)\right) = συν\left(\left(\frac{π}{2} - α\right) + β\right)

= συν\left(\frac{π}{2} - α\right) \cdot συνβ - ημ\left(\frac{π}{2} - α\right) \cdot ημβ

= ημα \cdot συνβ - συνα \cdot ημβ \quad \blacksquare

Ημίτονο Αθροίσματος

\boxed{ημ(α + β) = ημα \cdot συνβ + συνα \cdot ημβ}

Απόδειξη: Ομοίως με το συνημίτονο αθροίσματος, αντικαθιστώντας $β$ με $-β$ :

ημ(α + β) = ημ(α - (-β)) = ημα \cdot συν(-β) - συνα \cdot ημ(-β) = ημα συνβ + συνα ημβ \quad \blacksquare

Συγκεντρωτικός πίνακας

Έκφραση	Τύπος
$ημ(α + β)$	$ημα συνβ + συνα ημβ$
$ημ(α - β)$	$ημα συνβ - συνα ημβ$
$συν(α + β)$	$συνα συνβ - ημα ημβ$
$συν(α - β)$	$συνα συνβ + ημα ημβ$

🧠 Μνημονικός κανόνας:

Στο ημίτονο: οι όροι «αλλάζουν ρόλο» (ημ·συν και συν·ημ), και το πρόσημο είναι ίδιο με το πρόσημο του αθροίσματος/διαφοράς.
Στο συνημίτονο: οι όροι «δεν αλλάζουν ρόλο» (συν·συν και ημ·ημ), και το πρόσημο είναι αντίθετο από το πρόσημο του αθροίσματος/διαφοράς.

Χαρακτηριστική Ταυτότητα 💡

ημ(α + β) \cdot ημ(α - β) = ημ^2α - ημ^2β = συν^2β - συν^2α

Πολύ χρήσιμη για την απόδειξη άλλων ταυτοτήτων.

📘 Εφαπτομένη και Συνεφαπτομένη Αθροίσματος/Διαφοράς

Εφαπτομένη Αθροίσματος 🎓

\boxed{εφ(α + β) = \frac{εφα + εφβ}{1 - εφα \cdot εφβ}}

με τους περιορισμούς: $συνα \neq 0$ , $συνβ \neq 0$ , $συν(α + β) \neq 0$ .

Απόδειξη 📝

Ξεκινούμε από τον ορισμό $εφω = \dfrac{ημω}{συνω}$ :

εφ(α + β) = \frac{ημ(α + β)}{συν(α + β)} = \frac{ημα συνβ + συνα ημβ}{συνα συνβ - ημα ημβ}

Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με $συνα \cdot συνβ$ (έγκυρο, εφόσον $συνα, συνβ \neq 0$ ):

= \frac{\dfrac{ημα συνβ}{συνα συνβ} + \dfrac{συνα ημβ}{συνα συνβ}}{\dfrac{συνα συνβ}{συνα συνβ} - \dfrac{ημα ημβ}{συνα συνβ}} = \frac{\dfrac{ημα}{συνα} + \dfrac{ημβ}{συνβ}}{1 - \dfrac{ημα}{συνα} \cdot \dfrac{ημβ}{συνβ}}

= \frac{εφα + εφβ}{1 - εφα \cdot εφβ} \quad \blacksquare

Εφαπτομένη Διαφοράς

\boxed{εφ(α - β) = \frac{εφα - εφβ}{1 + εφα \cdot εφβ}}

Αποδεικνύεται θέτοντας $-β$ στη θέση του $β$ στον τύπο αθροίσματος και χρησιμοποιώντας $εφ(-β) = -εφβ$ .

Συνεφαπτομένη Αθροίσματος και Διαφοράς

\boxed{σφ(α + β) = \frac{σφα \cdot σφβ - 1}{σφα + σφβ}}

\boxed{σφ(α - β) = \frac{σφα \cdot σφβ + 1}{σφβ - σφα}}

Απόδειξη για το άθροισμα:

σφ(α + β) = \frac{1}{εφ(α + β)} = \frac{1 - εφα εφβ}{εφα + εφβ}

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με $σφα \cdot σφβ$ :

= \frac{σφα σφβ - 1}{σφβ + σφα} \quad \blacksquare

Γεωμετρική εφαρμογή: γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Αν δύο ευθείες $(ε_1), (ε_2)$ έχουν κλίσεις $λ_1 = εφω_1$ και $λ_2 = εφω_2$ , τότε η γωνία $ω = ω_2 - ω_1$ που σχηματίζουν έχει εφαπτομένη:

εφω = \frac{λ_2 - λ_1}{1 + λ_1 λ_2}, \quad λ_1 λ_2 \neq -1

Αν $λ_1 = λ_2$ : παράλληλες ( $εφω = 0$ )
Αν $λ_1 λ_2 = -1$ : κάθετες ( $εφω$ δεν ορίζεται → $ω = 90°$ ) ⊥

Βλέπε σχήμα στη σελίδα 53 του PDF.

📘 Τύποι Διπλάσιας Γωνίας

Θέτοντας $β = α$ στους τύπους αθροίσματος, προκύπτουν οι τύποι διπλάσιας γωνίας.

Ημίτονο Διπλάσιας Γωνίας

\boxed{ημ2α = 2 \cdot ημα \cdot συνα}

Απόδειξη: $ημ2α = ημ(α + α) = ημα \cdot συνα + συνα \cdot ημα = 2ημα συνα$ ✓

Συνημίτονο Διπλάσιας Γωνίας (τρεις μορφές) 💎

\boxed{συν2α = συν^2α - ημ^2α = 1 - 2ημ^2α = 2συν^2α - 1}

Απόδειξη: Από τον τύπο αθροίσματος, $συν2α = συνα συνα - ημα ημα = συν^2α - ημ^2α$ .

Χρησιμοποιώντας $ημ^2α = 1 - συν^2α$ :

συν2α = συν^2α - (1 - συν^2α) = 2συν^2α - 1

Χρησιμοποιώντας $συν^2α = 1 - ημ^2α$ :

συν2α = (1 - ημ^2α) - ημ^2α = 1 - 2ημ^2α \quad \blacksquare

Γιατί τρεις μορφές για το συν2α;

Κάθε μορφή είναι χρήσιμη σε διαφορετική περίπτωση:

$συν^2α - ημ^2α$ : όταν έχουμε και τα δύο (συνα και ημα)
$2συν^2α - 1$ : όταν έχουμε μόνο το $συνα$ ή θέλουμε να εκφράσουμε το $συν^2α$
$1 - 2ημ^2α$ : όταν έχουμε μόνο το $ημα$ ή θέλουμε να εκφράσουμε το $ημ^2α$

Εφαπτομένη Διπλάσιας Γωνίας

\boxed{εφ2α = \frac{2εφα}{1 - εφ^2α}, \quad εφ^2α \neq 1}

Απόδειξη: $εφ2α = εφ(α + α) = \dfrac{εφα + εφα}{1 - εφα \cdot εφα} = \dfrac{2εφα}{1 - εφ^2α}$ ✓

Συνεφαπτομένη Διπλάσιας Γωνίας

\boxed{σφ2α = \frac{σφ^2α - 1}{2σφα}}

Ημίτονο και Συνημίτονο Διπλάσιας Συναρτήσει Εφαπτομένης 🔗

Πολύ ενδιαφέροντες τύποι που χρησιμοποιούνται στον ολοκληρωτικό λογισμό (μετασχηματισμός Weierstrass):

\boxed{ημ2x = \frac{2εφx}{1 + εφ^2x}, \quad συν2x = \frac{1 - εφ^2x}{1 + εφ^2x}}

Απόδειξη για το $ημ2x$ :

ημ2x = 2ημx συνx = \frac{2ημx συνx \cdot \dfrac{1}{συν^2x}}{\dfrac{1}{συν^2x}} = \frac{\dfrac{2ημx}{συνx}}{\dfrac{1}{συν^2x}} = \frac{2εφx}{τεμ^2x} = \frac{2εφx}{1 + εφ^2x}

χρησιμοποιώντας $τεμ^2x = 1 + εφ^2x$ (θεμελιώδης ταυτότητα).

Χρησιμότητα του μετασχηματισμού t = εφx

Θέτοντας $t = εφx$ , οποιαδήποτε ρητή τριγωνομετρική παράσταση μετατρέπεται σε ρητή αλγεβρική παράσταση του $t$ . Αυτό είναι το κλειδί για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μορφής $αημ2x + βσυν2x = γ$ (βλ. Παράδειγμα 9, σελ. 61 του PDF).

📘 Τετράγωνα Τριγωνομετρικών Αριθμών (Τύποι Μείωσης Τάξης)

Από τους τύπους $συν2α = 1 - 2ημ^2α$ και $συν2α = 2συν^2α - 1$ , λύνοντας ως προς τα τετράγωνα:

\boxed{ημ^2x = \frac{1 - συν2x}{2}}

\boxed{συν^2x = \frac{1 + συν2x}{2}}

\boxed{εφ^2x = \frac{1 - συν2x}{1 + συν2x}}

Απόδειξη του τρίτου:

εφ^2x = \frac{ημ^2x}{συν^2x} = \frac{\dfrac{1 - συν2x}{2}}{\dfrac{1 + συν2x}{2}} = \frac{1 - συν2x}{1 + συν2x} \quad \blacksquare

Τύποι ημίσειας γωνίας

Θέτοντας $x = \dfrac{α}{2}$ στους παραπάνω τύπους, προκύπτουν:

ημ\frac{α}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - συνα}{2}}, \quad συν\frac{α}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + συνα}{2}}

εφ\frac{α}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - συνα}{1 + συνα}} = \frac{ημα}{1 + συνα} = \frac{1 - συνα}{ημα}

Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η $\dfrac{α}{2}$ .

Χρησιμότητα των τύπων μείωσης τάξης

Αυτοί οι τύποι είναι εξαιρετικά ισχυροί γιατί «κατεβάζουν» τη δύναμη μιας τριγωνομετρικής παράστασης. Ένα τετράγωνο ( $ημ^2x$ ή $συν^2x$ ) γίνεται πρώτης τάξης ( $συν2x$ ). Χρησιμοποιούνται συστηματικά:

Στην απλοποίηση πολύπλοκων παραστάσεων
Στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων
Στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων (γιατί το $\int ημ^2x \, dx$ δεν λύνεται άμεσα, αλλά το $\int \frac{1-συν2x}{2} dx$ ναι!)
Στην εύρεση μέγιστης/ελάχιστης τιμής τριγωνομετρικών παραστάσεων

📘 Σύνοψη Όλων των Τύπων

Πίνακας συνολικής αναφοράς

Άθροισμα/Διαφορά γωνιών:

ημ(α \pm β) = ημα συνβ \pm συνα ημβ

συν(α \pm β) = συνα συνβ \mp ημα ημβ

εφ(α \pm β) = \frac{εφα \pm εφβ}{1 \mp εφα εφβ}

Διπλάσια γωνία:

ημ2α = 2ημα συνα

συν2α = συν^2α - ημ^2α = 1 - 2ημ^2α = 2συν^2α - 1

εφ2α = \frac{2εφα}{1 - εφ^2α}

Ημίτονο/Συνημίτονο διπλάσιας συναρτήσει εφαπτομένης:

ημ2x = \frac{2εφx}{1 + εφ^2x}, \quad συν2x = \frac{1 - εφ^2x}{1 + εφ^2x}

Τετράγωνα συναρτήσει συν2x (μείωση τάξης):

ημ^2x = \frac{1 - συν2x}{2}, \quad συν^2x = \frac{1 + συν2x}{2}, \quad εφ^2x = \frac{1 - συν2x}{1 + συν2x}

Στρατηγική για επιτυχία

Μάθε τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς ως θεμέλιο -- όλα τα άλλα προκύπτουν από αυτόν.
Κατανόησε τη λογική των αναγωγών (-β, π/2 - ω) αντί να αποστηθίζεις κάθε τύπο.
Εξασκήσου σε υπολογισμούς όπως $ημ75° = ημ(45° + 30°)$ .
Παρατήρησε τα μοτίβα: οι τύποι διπλάσιας προκύπτουν αν θέσεις $β = α$ , οι τύποι τετραγώνου προκύπτουν λύνοντας ως προς ημ²/συν².
Κάθε φορά που συναντάς $ημ^2$ ή $συν^2$ σε άσκηση σκέψου αμέσως τους τύπους μείωσης τάξης.

Βλέπε σχήματα και λυμένα παραδείγματα στις σελίδες 45-63 του PDF.