Μέθοδος της εις Άτοπον Απαγωγής

📌 Ορισμός

Η μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής είναι μία από τις σημαντικότερες μεθόδους μαθηματικής απόδειξης, κατά την οποία αποδεικνύεται η αλήθεια μιας πρότασης με βάση το γεγονός ότι η αντίθετή της είναι ψευδής.

🧠 Το Λογικό Θεμέλιο

Η μέθοδος στηρίζεται στην Αριστοτελική αρχή της αποκλείσεως του τρίτου: κάθε πρόταση $p$ είναι είτε αληθής είτε ψευδής — τρίτη δυνατότητα δεν υπάρχει. Άρα, αν αποδείξουμε ότι η $\bar{p}$ είναι ψευδής (οδηγεί σε αντίφαση), τότε αναγκαστικά η $p$ πρέπει να είναι αληθής.

Σε λογικό συμβολισμό, η μέθοδος χρησιμοποιεί τη λογική ταυτολογία:

🔧 Μέθοδος – Βήματα

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση $p$ είναι αληθής:

Βήμα 1ο 🔴 — Υπόθεση του Αντιθέτου

Θεωρούμε ότι η $p$ δεν είναι αληθής. Τότε, θα ισχύει η άρνησή της, δηλαδή η $\bar{p}$.

Βήμα 2ο 🔄 — Εξαγωγή Αντίφασης

Δεχόμενοι την $\bar{p}$ ως αληθή πρόταση, με αληθείς συνεπαγωγές, καταλήγουμε σε άτοπο, δηλαδή σε μια ψευδή πρόταση ή σε μια πρόταση που είναι σε αντίφαση με την υπόθεση $\bar{p}$ ή με γνωστές αλήθειες.

Βήμα 3ο ✅ — Συμπέρασμα

Επομένως, η $p$ είναι αληθής πρόταση.

📝 Παράδειγμα 1 — Αριθμητική

Πρόβλημα: Να αποδείξετε ότι αν $\nu^2$ είναι περιττός ακέραιος αριθμός, τότε και ο $\nu$ είναι περιττός ακέραιος.

Λύση:

Υποθέτουμε ότι ο $\nu^2$ είναι περιττός ακέραιος αριθμός και ότι ο $\nu$ δεν είναι περιττός. Τότε ο $\nu$ θα είναι άρτιος, δηλαδή:

Άρα ο $\nu^2$ είναι άρτιος, που είναι άτοπο (αντίφαση με την υπόθεση).

Άρα ο $\nu$ είναι περιττός αριθμός. ✅

📝 Παράδειγμα 2 — Τριγωνομετρία

Πρόβλημα: Να αποδείξετε ότι ισχύει $\left(\dfrac{\eta\mu x + 1}{2}\right)^2 \geq \eta\mu x,\ \forall x \in \mathbb{R}$.

Λύση:

Υποθέτουμε ότι υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε:

Διότι η $(\ast)$ είναι ψευδής (τετράγωνο πραγματικού είναι μη αρνητικός). Στο άτοπο οδηγηθήκαμε από την παραδοχή ότι η σχέση $(1)$ είναι αληθής. Άρα η $(1)$ είναι ψευδής και κατά συνέπεια η άρνησή της είναι αληθής:

📝 Παράδειγμα 3 — Γεωμετρία

Πρόβλημα: Να αποδείξετε ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία.

Λύση:

Έστω ευθεία $(\varepsilon)$, σημείο $A$ εκτός αυτής και $AB$ η κάθετος που φέρουμε από το $A$ προς την $(\varepsilon)$, όπου $B$ το σημείο τομής.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει και άλλη κάθετος $AC$ από το $A$ προς την $(\varepsilon)$, με $C$ το σημείο τομής αυτής με την $(\varepsilon)$.

Λόγω υπόθεσης, έχουμε $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 90°$. Από το τρίγωνο $ABC$, έχουμε:

Όμως:

Επομένως, η $AB$ είναι μοναδική. ✅

(Βλ. σχήμα σελ. 17 του PDF.)

🎯 Στρατηγική — Πότε χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο

🧭 Σύνδεση με Ποσοδείκτες και Λογική

Η εις άτοπον απαγωγή συνδέεται στενά με τους κανόνες άρνησης των ποσοδεικτών:

⚖️ Σχέση με την Αντιθετοαντίστροφη

Μια παραλλαγή της εις άτοπον απαγωγής είναι η απόδειξη με αντιθετοαντίστροφη:

🌟 Κλασική Εφαρμογή — Αρρητότητα του $\sqrt{2}$

Ένα από τα πιο όμορφα παραδείγματα:

Υπόθεση προς απόδειξη: Ο $\sqrt{2}$ είναι άρρητος.

Απόδειξη (σκιαγράφηση): Υποθέτουμε το αντίθετο, ότι $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Τότε $\sqrt{2} = \frac{\alpha}{\beta}$ με $\alpha, \beta$ ακεραίους, $\beta \neq 0$, και $\gcd(\alpha, \beta) = 1$. Υψώνοντας στο τετράγωνο, $2\beta^2 = \alpha^2$, άρα $\alpha^2$ άρτιος, άρα $\alpha$ άρτιος (χρησιμοποιώντας το Παράδειγμα 1!). Γράφοντας $\alpha = 2\kappa$, παίρνουμε $\beta^2 = 2\kappa^2$, άρα και $\beta$ άρτιος. Αλλά τότε ο $2$ διαιρεί και τους $\alpha$ και $\beta$, αντίφαση με το $\gcd(\alpha, \beta) = 1$. ✅

⚠️ Κοινά Σφάλματα στην Εφαρμογή

• ❌ Αντί για $\bar{p}$, γράφουμε κάτι που δεν είναι η σωστή άρνηση (προσοχή στους ποσοδείκτες!)
• ❌ Δεν ανακοινώνουμε καθαρά ότι χρησιμοποιούμε τη μέθοδο («Έστω, προς άτοπο, ότι...»)
• ❌ Δεν εξηγούμε γιατί αυτό που βρίσκουμε είναι άτοπο

Για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα, βλ. σελ. 16–17 του PDF (Α΄ Τεύχος).