Πράξεις μεταξύ Λογικών Προτάσεων

📌 Γενική Ιδέα

Όπως στους αριθμούς ορίζουμε πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμό…) που δίνουν νέους αριθμούς, έτσι και στις λογικές προτάσεις ορίζουμε λογικές πράξεις που συνδυάζουν δύο ή περισσότερες προτάσεις για να δώσουν μια νέα λογική πρόταση. Η τιμή αληθείας της νέας πρότασης εξαρτάται αποκλειστικά από τις τιμές αληθείας των αρχικών. Για αυτό το λόγο, τις πράξεις τις αποκαλούμε και λογικούς συνδέσμους.

Η έννοια του πίνακα αληθείας

Κάθε λογική πράξη μπορεί να περιγραφεί από έναν πίνακα αληθείας, ο οποίος δείχνει την τιμή αληθείας του αποτελέσματος για κάθε δυνατό συνδυασμό των εισόδων. Δύο προτάσεις $p, q$ δίνουν $2^2 = 4$ συνδυασμούς: $(\alpha,\alpha), (\alpha,\psi), (\psi,\alpha), (\psi,\psi)$ .

🔹 Σύζευξη («και», $\wedge$ )

📖 Ορισμός

Αν $p, q$ είναι δύο προτάσεις, τότε η πρόταση « $p$ και $q$ » είναι αληθής, όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς, και ψευδής σε κάθε άλλη περίπτωση. Συμβολίζεται με $p \wedge q$ .

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$q$	$p \wedge q$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$
$\alpha$	$\psi$	$\psi$
$\psi$	$\alpha$	$\psi$
$\psi$	$\psi$	$\psi$

💡 Παράδειγμα

Αν $p$ : «Η Λευκωσία είναι πρωτεύουσα της Κύπρου» (αληθής) και $q$ : «Η Πάφος είναι πόλη της Κύπρου» (αληθής), τότε $p \wedge q$ : «Η Λευκωσία είναι πρωτεύουσα της Κύπρου και η Πάφος είναι πόλη της Κύπρου» — αληθής. 🏛️🏖️

🔹 Διάζευξη («ή», $\vee$ )

📖 Ορισμός

Η πρόταση « $p$ ή $q$ » αληθεύει, όταν μία τουλάχιστον από τις δύο προτάσεις είναι αληθής. Συμβολίζεται με $p \vee q$ .

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$q$	$p \vee q$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$
$\alpha$	$\psi$	$\alpha$
$\psi$	$\alpha$	$\alpha$
$\psi$	$\psi$	$\psi$

💡 Παράδειγμα

Αν $p$ : «Ο αριθμός $12$ είναι πολλαπλάσιο του $3$ » και $q$ : «Ο αριθμός $12$ είναι πολλαπλάσιο του $7$ », τότε $p \vee q$ : «Ο $12$ είναι πολλαπλάσιο του $3$ ή του $7$ » — αληθής (γιατί αληθεύει η $p$ ). ✅

🔹 Αποκλειστική Διάζευξη («ή $p$ ή $q$ », $\underline{\vee}$ )

📖 Ορισμός

Η πρόταση «ή $p$ ή $q$ » είναι αληθής, όταν ακριβώς μία από τις δύο προτάσεις είναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο. Συμβολίζεται με $p \underline{\vee} q$ .

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$q$	$p \underline{\vee} q$
$\alpha$	$\alpha$	$\psi$
$\alpha$	$\psi$	$\alpha$
$\psi$	$\alpha$	$\alpha$
$\psi$	$\psi$	$\psi$

Διάζευξη vs Αποκλειστική Διάζευξη

Στη Διάζευξη ( $\vee$ ) επιτρέπεται και οι δύο προτάσεις να είναι αληθείς ταυτόχρονα — μιλάμε για «χωρίς αποκλεισμό».

Στην Αποκλειστική Διάζευξη ( $\underline{\vee}$ ) πρέπει ακριβώς μία να είναι αληθής — όπως στο «ή αυτό ή εκείνο, αλλά όχι και τα δύο».

Στην καθημερινή γλώσσα, συχνά όταν λέμε «ή» εννοούμε αποκλειστική διάζευξη (π.χ. «ή θα πας σινεμά ή θα μείνεις σπίτι»). Στα Μαθηματικά, το σκέτο «ή» ( $\vee$ ) είναι σχεδόν πάντα μη αποκλειστικό.

🔹 Άρνηση («όχι $p$ », $\bar{p}$ )

📖 Ορισμός

Αν $p$ είναι μία πρόταση, τότε η πρόταση «όχι $p$ » αληθεύει, όταν η πρόταση $p$ είναι ψευδής. Συμβολίζεται με $\bar{p}$ (ή $\neg p$ ).

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$\bar{p}$
$\alpha$	$\psi$
$\psi$	$\alpha$

💡 Παραδείγματα

Αν $p$ : «Το Λονδίνο είναι πρωτεύουσα της Γαλλίας» (ψευδής), τότε $\bar{p}$ : «Το Λονδίνο δεν είναι πρωτεύουσα της Γαλλίας» (αληθής). 🇬🇧
Αν $p(x): \exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - x + 1 \leq 0$ , τότε $\overline{p(x)}: \forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - x + 1 > 0$ (αληθής αφού η διακρίνουσα είναι $\Delta = -3 < 0$ ).

Διπλή άρνηση

Η διπλή άρνηση επαναφέρει την αρχική πρόταση: $\overline{\overline{p}} \Leftrightarrow p$ . Αυτό αντιστοιχεί στην Αριστοτελική αρχή του αποκλεισμού του τρίτου.

🔹 Συνεπαγωγή («αν $p$ τότε $q$ », $p \Rightarrow q$ )

📖 Ορισμός

Αν $p, q$ είναι δύο προτάσεις, τότε η πρόταση «αν $p$ τότε $q$ » είναι ψευδής, μόνο όταν η $p$ είναι αληθής και η $q$ ψευδής. Γράφουμε $p \Rightarrow q$ .

🧩 Η πρόταση $p$ λέγεται υπόθεση
🎯 Η πρόταση $q$ λέγεται συμπέρασμα

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$
$\alpha$	$\psi$	$\psi$
$\psi$	$\alpha$	$\alpha$
$\psi$	$\psi$	$\alpha$

Πότε είναι ψευδής η συνεπαγωγή

Η συνεπαγωγή $p \Rightarrow q$ είναι ψευδής μόνο όταν «από αληθή υπόθεση βγαίνει ψευδές συμπέρασμα». Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι αληθής — ακόμη και όταν η $p$ είναι ψευδής («ex falso quodlibet» — από το ψευδές τα πάντα έπονται).

💡 Παραδείγματα

$(x = 3) \Rightarrow (x^2 = 9)$ : αληθής για κάθε $x$ — αν $x = 3$ , τότε $x^2 = 9$ .
$(x^2 = 9) \Rightarrow (x = 3)$ : ψευδής, διότι ενδέχεται $x = -3$ , οπότε η υπόθεση είναι αληθής αλλά το συμπέρασμα ψευδές.

🔁 Αντίστροφη, Αντιθετοαντίστροφη

Δεδομένης της συνεπαγωγής $p \Rightarrow q$ :

🔹 Αντίστροφη: $q \Rightarrow p$ — δεν είναι γενικά ισοδύναμη
🔹 Αντιθετοαντίστροφη: $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ — είναι λογικά ισοδύναμη με την $p \Rightarrow q$

Ισοδυναμία αντιθετοαντίστροφης

p \Rightarrow q \Leftrightarrow \bar{q} \Rightarrow \bar{p}

Αυτό είναι το θεμέλιο της εις άτοπον απαγωγής! Αν δυσκολευόμαστε να αποδείξουμε την $p \Rightarrow q$ , μπορούμε αντί αυτής να αποδείξουμε την ισοδύναμη $\bar{q} \Rightarrow \bar{p}$ .

🔹 Ισοδυναμία (« $p$ αν και μόνον αν $q$ », $p \Leftrightarrow q$ )

📖 Ορισμός

Η πρόταση « $p$ συνεπάγεται $q$ και αντίστροφα» είναι αληθής, αν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς ή και οι δύο ψευδείς (δηλαδή έχουν την ίδια τιμή αληθείας), και ψευδής αν έχουν διαφορετική τιμή αληθείας. Γράφουμε $p \Leftrightarrow q$ και διαβάζουμε « $p$ αν και μόνον αν $q$ ».

📊 Πίνακας αληθείας

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$
$\alpha$	$\psi$	$\psi$
$\psi$	$\alpha$	$\psi$
$\psi$	$\psi$	$\alpha$

🔑 Σημαντική σχέση

p \Leftrightarrow q \quad \text{ισοδυναμεί με} \quad (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)

Γι' αυτό και για να αποδείξουμε μια ισοδυναμία, συνήθως αποδεικνύουμε δύο συνεπαγωγές (τη «ευθεία» και την «αντίστροφη»).

💡 Παραδείγματα

$(|x| = 5) \Leftrightarrow (x = 5 \vee x = -5)$ — αληθής 🎯
$(x^2 = 9) \Leftrightarrow (x = 3)$ — ψευδής (λείπει η τιμή $-3$ )

🎨 Συνοπτικός Πίνακας Συμβόλων

Πράξη	Σύμβολο	Όνομα
Σύζευξη	$\wedge$	«και»
Διάζευξη	$\vee$	«ή»
Αποκλ. Διάζευξη	$\underline{\vee}$	«ή...ή...»
Άρνηση	$\bar{p}$ ή $\neg p$	«όχι»
Συνεπαγωγή	$\Rightarrow$	«αν…τότε…»
Ισοδυναμία	$\Leftrightarrow$	«αν και μόνον αν»

🧠 Σύνδεση με τη Θεωρία Συνόλων

Οι λογικές πράξεις αντιστοιχούν σε συνολοθεωρητικές πράξεις (αν $A, B$ είναι τα σύνολα αληθείας των $p(x), q(x)$ ):

🔸 $p \wedge q$ ↔️ $A \cap B$ (τομή)
🔸 $p \vee q$ ↔️ $A \cup B$ (ένωση)
🔸 $\bar{p}$ ↔️ $A^c$ (συμπλήρωμα)
🔸 $p \Rightarrow q$ ↔️ $A \subseteq B$ (υποσύνολο)
🔸 $p \Leftrightarrow q$ ↔️ $A = B$ (ίσα σύνολα)

Για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα, βλ. σελ. 10–11 του PDF (Α΄ Τεύχος).

Πράξεις μεταξύ Λογικών Προτάσεων

📌 Γενική Ιδέα

🔹 Σύζευξη («και», ∧\wedge∧)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

💡 Παράδειγμα

🔹 Διάζευξη («ή», ∨\vee∨)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

💡 Παράδειγμα

🔹 Αποκλειστική Διάζευξη («ή ppp ή qqq», ∨‾\underline{\vee}∨​)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

🔹 Άρνηση («όχι ppp», pˉ\bar{p}pˉ​)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

💡 Παραδείγματα

🔹 Συνεπαγωγή («αν ppp τότε qqq», p⇒qp \Rightarrow qp⇒q)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

💡 Παραδείγματα

🔁 Αντίστροφη, Αντιθετοαντίστροφη

🔹 Ισοδυναμία («ppp αν και μόνον αν qqq», p⇔qp \Leftrightarrow qp⇔q)

📖 Ορισμός

📊 Πίνακας αληθείας

🔑 Σημαντική σχέση

💡 Παραδείγματα

🎨 Συνοπτικός Πίνακας Συμβόλων

🧠 Σύνδεση με τη Θεωρία Συνόλων

🔹 Σύζευξη («και», $\wedge$ )

🔹 Διάζευξη («ή», $\vee$ )

🔹 Αποκλειστική Διάζευξη («ή $p$ ή $q$ », $\underline{\vee}$ )

🔹 Άρνηση («όχι $p$ », $\bar{p}$ )

🔹 Συνεπαγωγή («αν $p$ τότε $q$ », $p \Rightarrow q$ )

🔹 Ισοδυναμία (« $p$ αν και μόνον αν $q$ », $p \Leftrightarrow q$ )