Σύγκριση Δύο Πληθυσμών – Διαγράμματα 📈

Τα αριθμητικά μέτρα (μέση τιμή, τυπική απόκλιση, συντελεστής μεταβλητότητας) συνοψίζουν ποσοτικά τη συμπεριφορά ενός πληθυσμού. Τα διαγράμματα, όμως, μας επιτρέπουν να «δούμε» τη δομή των δεδομένων με μια ματιά: πώς κατανέμονται, πόσο συμμετρικά είναι, πού υπάρχουν ακραίες τιμές και πώς δύο πληθυσμοί διαφέρουν μεταξύ τους 🔍.

Φυλλογράφημα (Stem-and-Leaf) 🌿

Το φυλλογράφημα είναι ένα διάγραμμα που διατηρεί τα αρχικά δεδομένα χωρίζοντας κάθε τιμή σε δύο μέρη:

Κορμός (stem): τα αρχικά ψηφία (π.χ. δεκάδες).
Φύλλο (leaf): το τελευταίο ψηφίο (μονάδες).

Για παράδειγμα, η τιμή $47$ έχει κορμό $4$ και φύλλο $7$ . Οι παρατηρήσεις ταξινομούνται σε πίνακα όπου κάθε κορμός αντιστοιχεί σε μια γραμμή και τα φύλλα γράφονται σε αύξουσα σειρά δεξιά.

Πλεονεκτήματα του Φυλλογραφήματος ✅

Διατηρεί όλες τις αρχικές τιμές (σε αντίθεση με το ιστόγραμμα).
Επιτρέπει άμεσο υπολογισμό $\bar{x}$ , διαμέσου, τεταρτημορίων και εύρους.
Κατάλληλο για μικρά έως μεσαία σύνολα δεδομένων.
Εμφανίζει τη μορφή της κατανομής (συμμετρία, ασυμμετρία, ακραίες τιμές).

Φυλλογράφημα Διπλής Όψης 🪞

Το φυλλογράφημα διπλής όψης (back-to-back stem-and-leaf) είναι ιδανικό για τη σύγκριση δύο πληθυσμών. Έχει κοινό κορμό στο κέντρο και τα φύλλα του ενός πληθυσμού γράφονται αριστερά (συνήθως σε φθίνουσα σειρά από το κέντρο προς τα έξω) και του άλλου δεξιά (σε αύξουσα σειρά).

Από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε για κάθε πληθυσμό ξεχωριστά:

Μέση τιμή $\bar{x}$ .
Διάμεσο $Q_2$ .
Τεταρτημόρια $Q_1, Q_3$ .
Εύρος $R$ και ενδοτεταρτημοριακό εύρος $IQR$ .

Προσοχή στο μέγεθος των δειγμάτων ⚠️

Όταν οι δύο πληθυσμοί στο φυλλογράφημα διπλής όψης έχουν διαφορετικό πλήθος παρατηρήσεων, η οπτική σύγκριση «πυκνότητας φύλλων» είναι παραπλανητική. Πρέπει να συγκρίνουμε με μέτρα θέσης και διασποράς (ή με σχετικές συχνότητες), όχι μόνο με το μάτι.

Τεταρτημόρια 📐

Τα τεταρτημόρια χωρίζουν τα ταξινομημένα δεδομένα σε 4 ίσα μέρη:

$Q_1$ (πρώτο τεταρτημόριο): το 25% των τιμών είναι $\le Q_1$ .
$Q_2$ (δεύτερο τεταρτημόριο): συμπίπτει με τη διάμεσο — το 50% των τιμών είναι $\le Q_2$ .
$Q_3$ (τρίτο τεταρτημόριο): το 75% των τιμών είναι $\le Q_3$ .

Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (IQR) 💪

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος ορίζεται:

IQR = Q_3 - Q_1

Περιλαμβάνει το κεντρικό 50% των δεδομένων και, σε αντίθεση με το εύρος $R = x_{\max} - x_{\min}$ , δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές. Γι' αυτό χρησιμοποιείται ως ανθεκτικό (robust) μέτρο διασποράς.

Κριτήριο Ακραίων Τιμών 🚨

Μια παρατήρηση θεωρείται ακραία (outlier) αν βρίσκεται εκτός του διαστήματος:

\bigl[\, Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR,\ \ Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR \,\bigr]

Αυτό το κριτήριο των $1{,}5 \cdot IQR$ είναι το κλασικό του Tukey και χρησιμοποιείται στα θηκογράμματα για τον εντοπισμό «ύποπτων» τιμών.

Ακραία τιμή ≠ λάθος τιμή

Μια ακραία τιμή δεν είναι απαραίτητα λάθος μέτρησης. Μπορεί να αντιπροσωπεύει ένα πραγματικό, σπάνιο φαινόμενο. Πριν την «πετάξουμε», εξετάζουμε το πλαίσιο των δεδομένων ελέγχου 🔎.

Θηκόγραμμα (Box Plot) 📦

Το θηκόγραμμα είναι μια συνοπτική γραφική αναπαράσταση της κατανομής, βασισμένη στους πέντε χαρακτηριστικούς αριθμούς: $x_{\min},\ Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ x_{\max}$ .

Δομή του Θηκογράμματος 🧱

Ορθογώνιο («θήκη») από $Q_1$ έως $Q_3$ — καλύπτει το κεντρικό 50% των δεδομένων. Το μήκος του ισούται με το $IQR$ .
Γραμμή διαμέσου μέσα στο ορθογώνιο, στη θέση του $Q_2$ .
«Μουστάκια» (whiskers) που εκτείνονται έως απόσταση $1{,}5 \cdot IQR$ από τα άκρα της θήκης (ή έως την ακραιότερη μη-outlier τιμή).
Κυκλάκια ⭕ (ή αστερίσκοι) για κάθε ακραία τιμή εκτός μουστακιών.

Τι «διαβάζουμε» από ένα θηκόγραμμα 👀

Κεντρική τάση: θέση της γραμμής της διαμέσου.
Διασπορά: μήκος της θήκης ( $IQR$ ) και συνολικό εύρος.
Συμμετρία: αν η διάμεσος βρίσκεται στο κέντρο της θήκης και τα μουστάκια είναι ίδιου μήκους, η κατανομή είναι περίπου συμμετρική. Αλλιώς, υπάρχει ασυμμετρία (θετική ή αρνητική).
Ακραίες τιμές: εύκολα διακρίνονται εκτός μουστακιών.

Σύγκριση Δύο Πληθυσμών με Θηκογράμματα 🆚

Όταν σχεδιάζουμε δύο θηκογράμματα δίπλα-δίπλα (στον ίδιο άξονα), μπορούμε να συγκρίνουμε:

Θέση: ποια διάμεσος είναι μεγαλύτερη;
Διασπορά: ποια θήκη είναι πιο «στενή» (μικρότερο $IQR$ ); Ποιος πληθυσμός είναι πιο ομοιογενής;
Συμμετρία: συγκρίνουμε τη θέση της διαμέσου μέσα σε κάθε θήκη.
Ακραίες τιμές: ποιος πληθυσμός εμφανίζει περισσότερες;
Επικάλυψη: αν οι θήκες επικαλύπτονται πολύ, οι δύο πληθυσμοί «μοιάζουν»· αν είναι εντελώς χωριστές, διαφέρουν σαφώς.

Το θηκόγραμμα δεν «βλέπει» τη μορφή της κατανομής

Δύο πληθυσμοί μπορεί να έχουν πανομοιότυπα θηκογράμματα αλλά πολύ διαφορετική μορφή κατανομής (π.χ. μονοκόρυφη vs. δικόρυφη). Για πιο λεπτομερή εικόνα, συνδυάζουμε το θηκόγραμμα με ιστόγραμμα ή φυλλογράφημα 📊.

Σύνοψη 🧩

Διάγραμμα	Χρήση	Πλεονέκτημα
Φυλλογράφημα	Μικρά σύνολα	Διατηρεί τις αρχικές τιμές
Φυλλογράφημα διπλής όψης	Σύγκριση 2 πληθυσμών	Οπτικά + αριθμητικά συμπεράσματα
Θηκόγραμμα	Σύνοψη κατανομής	Εντοπίζει ακραίες τιμές, διασπορά
Παράλληλα θηκογράμματα	Σύγκριση 2 πληθυσμών	Άμεση σύγκριση θέσης & διασποράς

Τα διαγράμματα δεν αντικαθιστούν τα αριθμητικά μέτρα — τα συμπληρώνουν, δίνοντας στον αναλυτή μια πλήρη και ανθεκτική εικόνα των δεδομένων 📈.