Πράξεις Συναρτήσεων ➕➖✖️➗

Όπως με τους αριθμούς, έτσι και με τις συναρτήσεις μπορούμε να εκτελούμε πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Οι πράξεις αυτές μας επιτρέπουν να κατασκευάζουμε νέες συναρτήσεις από υπάρχουσες, εμπλουτίζοντας έτσι το «λεξιλόγιό» μας. Η βασική ιδέα είναι απλή: οι πράξεις γίνονται σημείο προς σημείο (pointwise), δηλαδή για κάθε $x$ εκτελούμε την αντίστοιχη αριθμητική πράξη μεταξύ των τιμών $f(x)$ και $g(x)$ .

Έστω δύο πραγματικές συναρτήσεις $f: A \to \mathbb{R}$ και $g: B \to \mathbb{R}$ με $A \cap B \neq \emptyset$ . Η συνθήκη $A \cap B \neq \emptyset$ είναι απαραίτητη: χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα κοινό $x$ στο οποίο να μπορούμε να υπολογίσουμε και τις δύο συναρτήσεις.

Ορισμοί Πράξεων 📌

📌 Ορισμοί των πράξεων

Άθροισμα:
$(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad x \in A \cap B$

Διαφορά:
$(f - g)(x) = f(x) - g(x), \quad x \in A \cap B$

Γινόμενο:
$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x), \quad x \in A \cap B$

Πηλίκο:
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad x \in \Gamma$
όπου $\Gamma = \{x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0\}$

Η βαθιά ιδέα πίσω από τους ορισμούς αυτούς είναι ότι οι πράξεις στις συναρτήσεις κληρονομούνται από τις πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς. Για κάθε $x$ όπου έχουν έννοια και οι δύο συναρτήσεις, «μεταφέρουμε» την αριθμητική πράξη στο σημείο αυτό.

Πεδία Ορισμού – Ο κρίσιμος ρόλος της τομής 📋

Για να μπορεί να γίνει η πράξη στο σημείο $x$ , πρέπει και οι δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ να είναι ορισμένες εκεί. Αυτό μας οδηγεί φυσιολογικά στην τομή των πεδίων ορισμού.

Προσοχή στο πεδίο ορισμού

Για το άθροισμα, τη διαφορά και το γινόμενο, το πεδίο ορισμού είναι η τομή $A \cap B$ .
Για το πηλίκο, το πεδίο ορισμού είναι πιο περιορισμένο: από το $A \cap B$ αφαιρούμε τις τιμές $x$ για τις οποίες $g(x) = 0$ .

Γιατί για το πηλίκο χρειάζεται επιπλέον περιορισμός; Επειδή η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται. Ακόμα κι αν οι $f$ και $g$ είναι και οι δύο ορισμένες σε ένα $x_0$ , αν $g(x_0) = 0$ η πράξη $\frac{f(x_0)}{0}$ δεν έχει νόημα.

🔑 Σύνοψη πεδίων ορισμού

Πράξη	Πεδίο ορισμού
$f+g,\ f-g,\ f\cdot g$	$A \cap B$
$\dfrac{f}{g}$	$\{x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0\}$

Ένα παράδειγμα για διαίσθηση 🧠

Ας σκεφτούμε τις συναρτήσεις $f(x) = \sqrt{x}$ (με πεδίο ορισμού $[0, +\infty)$ ) και $g(x) = \sqrt{1-x}$ (με πεδίο ορισμού $(-\infty, 1]$ ).

Η τομή των πεδίων ορισμού είναι $[0, 1]$ .
Το άθροισμα $(f+g)(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ έχει πεδίο ορισμού $[0, 1]$ .
Το γινόμενο $(f \cdot g)(x) = \sqrt{x(1-x)}$ έχει επίσης πεδίο ορισμού $[0, 1]$ .
Για το πηλίκο $\frac{f}{g}(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$ πρέπει επιπλέον $g(x) \neq 0$ , δηλαδή $1 - x \neq 0$ , άρα $x \neq 1$ . Έτσι το πεδίο ορισμού είναι $[0, 1)$ .

Αυτό το παράδειγμα καταδεικνύει πόσο κρίσιμο είναι να ελέγχουμε προσεκτικά όλους τους περιορισμούς.

Ιδιότητες των πράξεων ✨

Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων κληρονομούν τις γνωστές αριθμητικές ιδιότητες, υπό τον όρο ότι όλες οι εκφράσεις είναι ορισμένες στο ίδιο σύνολο:

Αντιμεταθετικότητα: $f + g = g + f$ και $f \cdot g = g \cdot f$ .
Προσεταιριστικότητα: $(f+g)+h = f+(g+h)$ και $(f \cdot g) \cdot h = f \cdot (g \cdot h)$ .
Επιμεριστικότητα: $f \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h$ .

Όλες αυτές προκύπτουν άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, αφού οι πράξεις γίνονται σημείο προς σημείο.

💡 Γιατί οι πράξεις είναι χρήσιμες

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός συναρτήσεων μας επιτρέπουν να κατασκευάζουμε πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα από απλούστερα συστατικά. Για παράδειγμα, ένα πολυώνυμο μπορεί να ιδωθεί ως άθροισμα γινομένων της ταυτοτικής συνάρτησης $x \mapsto x$ με τον εαυτό της και με σταθερές.

Μικρή σύγκριση με την σύνθεση 🔀

Στην ύλη αυτή περιοριζόμαστε σε αριθμητικές πράξεις μεταξύ συναρτήσεων. Σημειώνουμε ότι υπάρχει και μια ακόμα σημαντική «πράξη» μεταξύ συναρτήσεων, η σύνθεση, η οποία δεν είναι απλή σημείο-προς-σημείο πράξη αλλά αλυσίδα εφαρμογής. Η σύνθεση θα μελετηθεί σε επόμενη ενότητα/τάξη.

Μην τα μπερδεύετε

Η πράξη $f \cdot g$ είναι πολλαπλασιασμός τιμών: για κάθε $x$ , πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς $f(x)$ και $g(x)$ . Δεν είναι σύνθεση. Αντίστοιχα, το $f/g$ είναι διαίρεση τιμών, όχι «αντίστροφη σύνθεση».