Η δύναμη της άνωσης ⚓

Η ανακάλυψη του Αρχιμήδη

Τον 3ο αιώνα π.Χ. ζούσε ένας Έλληνας μαθηματικός, μηχανικός και εφευρέτης που τον έλεγαν Αρχιμήδη. Προσπαθούσε να βρει έναν τρόπο να υπολογίσει την πυκνότητα ενός σώματος που είχε ακανόνιστο σχήμα, χωρίς να το καταστρέψει. Σε αυτή την προσπάθεια, διατύπωσε μία από τις σημαντικότερες αρχές της Φυσικής.

Η ιστορία του «Εύρηκα»

Ένας βασιλιάς παρήγγειλε σε έναν χρυσοχόο ένα στέμμα από ατόφιο χρυσάφι. Υποψιάστηκε όμως ότι ο χρυσοχόος είχε ανακατέψει τον χρυσό με φτηνότερο μέταλλο, και ζήτησε από τον Αρχιμήδη να το ελέγξει, χωρίς να το σπάσει. Μια μέρα, καθώς ο Αρχιμήδης έμπαινε σε μια γεμάτη μπανιέρα, παρατήρησε ότι η στάθμη του νερού ανέβηκε. Κατάλαβε τότε ότι ένα σώμα, όταν μπαίνει μέσα σε νερό, σπρώχνει στην άκρη μια ποσότητα νερού ίση με τον δικό του όγκο. Ενθουσιασμένος από την ανακάλυψη, βγήκε στον δρόμο φωνάζοντας «Εύρηκα! Εύρηκα!» (δηλαδή «το βρήκα!») 🛁

Η Αρχή του Αρχιμήδη

Αρχή του Αρχιμήδη

Ένα σώμα, ολόκληρο ή μερικώς βυθισμένο μέσα σε ένα υγρό, δέχεται μια δύναμη άνωσης ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζει (δηλαδή του υγρού που «σπρώχνει στην άκρη» για να χωρέσει).

Αυτή η δύναμη έχει πάντα φορά προς τα πάνω. Γι' αυτό, όταν κρατάς κάτι μέσα στο νερό της πισίνας, σου φαίνεται πιο ελαφρύ απ' ό,τι στον αέρα.

Ο τύπος της άνωσης

Η άνωση υπολογίζεται από τον τύπο:

F_A = ρ_{υγρού} \cdot g \cdot V_{βυθ}

όπου:

Σύμβολο	Τι εκφράζει	Μονάδα
$F_A$	Η δύναμη της άνωσης	$N$ (Νιούτον)
$ρ_{υγρού}$	Η πυκνότητα του υγρού	$kg/m^3$
$g$	Η επιτάχυνση της βαρύτητας	≈ $10\ m/s^2$
$V_{βυθ}$	Ο όγκος του βυθισμένου μέρους του σώματος	$m^3$

Πρόσεξε το V

Στον τύπο μπαίνει μόνο ο όγκος του μέρους του σώματος που είναι μέσα στο υγρό, όχι ολόκληρος ο όγκος του σώματος. Αν το σώμα είναι εξ ολοκλήρου βυθισμένο, τα δύο ταυτίζονται. Αν επιπλέει μερικώς, ο $V_{βυθ}$ είναι μόνο το κομμάτι κάτω από την επιφάνεια.

Πώς μετράμε την άνωση με δυναμόμετρο

Ένα δυναμόμετρο είναι το όργανο που χρησιμοποιούμε για να «ζυγίσουμε» μια δύναμη. Αν κρεμάσουμε ένα σώμα από δυναμόμετρο:

Στον αέρα, η ένδειξη δείχνει το πραγματικό βάρος του σώματος, $B_{αέρα}$ .
Αν βυθίσουμε το ίδιο σώμα σε ένα υγρό, η ένδειξη μειώνεται. Αυτό συμβαίνει επειδή το υγρό ασκεί άνωση προς τα πάνω, που «αναιρεί» ένα κομμάτι του βάρους.

Η διαφορά ανάμεσα στις δύο ενδείξεις είναι ακριβώς η άνωση:

F_A = B_{αέρα} - B_{υγρού}

Αυτός είναι και ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να μετρήσουμε πειραματικά την άνωση, χωρίς να χρειάζεται να ξέρουμε από πριν την πυκνότητα του υγρού.

Από τι εξαρτάται η άνωση

1. Ο όγκος του βυθισμένου μέρους 🚢

Όσο μεγαλύτερος είναι ο όγκος του σώματος που βρίσκεται μέσα στο υγρό, τόσο μεγαλύτερη είναι η άνωση που δέχεται.

Ένα φορτωμένο πλοίο βυθίζεται πιο βαθιά στο νερό απ' ό,τι το ίδιο πλοίο άδειο. Αυτό συμβαίνει επειδή χρειάζεται μεγαλύτερη άνωση για να εξισορροπήσει το πρόσθετο βάρος του φορτίου, και η άνωση μεγαλώνει μόνο αν μεγαλώσει ο βυθισμένος όγκος.

Αυτός είναι και ο λόγος που ένα ολόκληρο πλοίο, παρόλο που έχει τεράστια μάζα, μπορεί να επιπλέει: ο μεγάλος όγκος του σπρώχνει στην άκρη πολύ νερό, άρα δέχεται μεγάλη άνωση. Ένα καρφί με την ίδια μάζα έχει πολύ μικρότερο όγκο, εκτοπίζει ελάχιστο νερό, δέχεται μικρή άνωση και γι' αυτό βυθίζεται.

2. Η πυκνότητα του υγρού 💧

Όσο μεγαλύτερη είναι η πυκνότητα του υγρού, τόσο μεγαλύτερη άνωση δέχεται ένα σώμα που εκτοπίζει τον ίδιο όγκο. Γι' αυτό είναι πιο εύκολο να επιπλεύσεις στη θάλασσα παρά σε μια πισίνα με γλυκό νερό: το θαλασσινό νερό έχει μεγαλύτερη πυκνότητα.

Πότε ένα σώμα επιπλέει και πότε βυθίζεται

Το αν ένα σώμα θα επιπλεύσει ή θα βυθιστεί δεν εξαρτάται από τη μάζα του, αλλά από την πυκνότητά του σε σχέση με την πυκνότητα του υγρού:

Αν $ρ_{σώματος} < ρ_{υγρού}$ → το σώμα επιπλέει.
Αν $ρ_{σώματος} > ρ_{υγρού}$ → το σώμα βυθίζεται.

Προσοχή: πυκνότητα, όχι μάζα!

Το κρίσιμο μέγεθος για την επίπλευση δεν είναι η μάζα ενός σώματος, αλλά η πυκνότητά του σε σχέση με το υγρό. Ένα τεράστιο πλοίο επιπλέει επειδή η μέση πυκνότητά του — μαζί με όλο τον αέρα που περιέχει μέσα του — είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού. Αν το ίδιο πλοίο ήταν ένα συμπαγές κομμάτι μετάλλου χωρίς κενό αέρα μέσα, θα βυθιζόταν αμέσως.

Πόσο από το σώμα βυθίζεται όταν επιπλέει

Όταν ένα σώμα επιπλέει ήρεμα, η άνωση που δέχεται ισούται ακριβώς με το βάρος του. Από αυτή την ισορροπία προκύπτει ένας απλός τύπος για το ποσοστό του όγκου του που είναι κάτω από την επιφάνεια:

\frac{V_{βυθ}}{V_{ολ}} = \frac{ρ_{σώματος}}{ρ_{υγρού}}

Δηλαδή, το κλάσμα του όγκου που βυθίζεται είναι ίσο με το κλάσμα των δύο πυκνοτήτων. Για παράδειγμα, σε νερό ( $ρ = 1000\ kg/m^3$ ):

Υλικό	Πυκνότητα (kg/m³)	Ποσοστό όγκου που βυθίζεται
Φελλός	250	1/4 (25%)
Ξύλο	500	1/2 (50%)
Κερί	800	4/5 (80%)
Πάγος	900	9/10 (90%)

Γιατί τα παγόβουνα είναι επικίνδυνα

Το κομμάτι πάγου βυθίζεται κατά 90% του όγκου του μέσα στο νερό. Αυτό σημαίνει ότι μόνο το 10% φαίνεται πάνω από την επιφάνεια! Ένα πλοίο που βλέπει μόνο τη «μικρή κορυφή» ενός παγόβουνου μπορεί εύκολα να μην καταλάβει πόσο τεράστιο είναι το υπόλοιπο κομμάτι κάτω από το νερό.

Εφαρμογή: πώς βυθίζεται και ανεβαίνει ένα υποβρύχιο 🚤

Τα υποβρύχια εκμεταλλεύονται ακριβώς αυτή την εξάρτηση της άνωσης από την πυκνότητα. Έχουν ειδικές δεξαμενές που μπορούν να γεμίσουν ή να αδειάσουν με νερό:

Όταν γεμίζουν τις δεξαμενές με νερό, η συνολική μάζα του υποβρυχίου αυξάνεται, ενώ ο όγκος του παραμένει σχεδόν ο ίδιος. Έτσι αυξάνεται η μέση πυκνότητά του, μπορεί να ξεπεράσει την πυκνότητα του νερού, και το υποβρύχιο βυθίζεται.
Όταν αδειάζουν τις δεξαμενές (γεμίζοντάς τες με αέρα), η μέση πυκνότητα μειώνεται και το υποβρύχιο ανεβαίνει.
Ρυθμίζοντας ακριβώς την ποσότητα νερού στις δεξαμενές, το υποβρύχιο μπορεί να πετύχει μέση πυκνότητα ίση με του νερού γύρω του, οπότε αιωρείται σε σταθερό βάθος, χωρίς να ανεβαίνει ή να βυθίζεται.