Ο τύπος της υδροστατικής πίεσης 🧮

Ξέρουμε ήδη ότι η υδροστατική πίεση ενός υγρού εξαρτάται από το βάθος και την πυκνότητα του υγρού. Τώρα θα δούμε πώς προκύπτει ο μαθηματικός τύπος που μας επιτρέπει να την υπολογίσουμε με ακρίβεια.

Πώς προκύπτει ο τύπος

Φαντάσου ένα δοχείο σε σχήμα ορθογώνιου κουτιού, γεμάτο με υγρό. Το δοχείο έχει:

εμβαδόν βάσης $A$
ύψος υγρού (δηλαδή βάθος) $h$
πυκνότητα υγρού $ρ$

Για να βρούμε την πίεση στον πυθμένα (τον πάτο) του δοχείου, ακολουθούμε τρία βήματα.

Βήμα 1 — Βρίσκουμε τον όγκο του υγρού.

Ο όγκος ενός τέτοιου σχήματος είναι το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος:

V = h \cdot A

Βήμα 2 — Βρίσκουμε τη μάζα του υγρού.

Από τον ορισμό της πυκνότητας ( $ρ = m/V$ ), η μάζα είναι:

m = ρ \cdot V = ρ \cdot A \cdot h

Βήμα 3 — Βρίσκουμε το βάρος του υγρού.

Το βάρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη μάζα επί την επιτάχυνση της βαρύτητας $g$ :

B = m \cdot g = ρ \cdot A \cdot h \cdot g

Από το βάρος στην πίεση

Το υγρό μέσα στο δοχείο ισορροπεί, δηλαδή δεν κινείται. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη που δέχεται ο πυθμένας του δοχείου από το υγρό είναι ίση με το βάρος του υγρού.

Θυμήσου ότι η πίεση ορίζεται ως δύναμη προς εμβαδόν. Άρα η πίεση στον πυθμένα είναι:

P = \frac{B}{A} = \frac{ρ \cdot A \cdot h \cdot g}{A}

Το εμβαδόν $A$ εμφανίζεται και πάνω και κάτω στο κλάσμα, άρα απλοποιείται και εξαφανίζεται:

P = ρ \cdot g \cdot h

Αυτός είναι ο τύπος της υδροστατικής πίεσης. Μας λέει ότι η πίεση ενός ήρεμου υγρού σε ένα σημείο ισούται με την πυκνότητα του υγρού, επί την επιτάχυνση της βαρύτητας, επί το βάθος του σημείου.

Γιατί εξαφανίζεται το εμβαδόν;

Στην αρχή της εξαγωγής το εμβαδόν $A$ της βάσης ήταν παντού μέσα στους υπολογισμούς. Στο τέλος όμως απλοποιείται εντελώς! Αυτό δεν είναι σύμπτωση — δείχνει ότι η υδροστατική πίεση δεν έχει καμία σχέση με το πόσο πλατύ είναι το δοχείο.

Τι μας λέει ο τύπος

Ο τύπος $P = ρ \cdot g \cdot h$ κρύβει μέσα του πολύ σημαντικά συμπεράσματα για την υδροστατική πίεση:

Δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της βάσης του δοχείου.
Δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου.
Εξαρτάται μόνο από το βάθος $h$ και την πυκνότητα $ρ$ του υγρού.
Οφείλεται στη δύναμη της βαρύτητας, γι' αυτό εμφανίζεται το $g$ στον τύπο.

Το λάθος που κάνουν πολλοί

Ένα φαρδύ δοχείο δεν έχει μεγαλύτερη υδροστατική πίεση στον πυθμένα του από ένα στενό δοχείο, αν έχουν το ίδιο υγρό στο ίδιο βάθος! Η ποσότητα του υγρού που «χωράει» το δοχείο δεν παίζει κανένα ρόλο. Μετράει μόνο πόσο βαθιά είναι το σημείο που μας ενδιαφέρει.

Οι μονάδες στον τύπο

Για να βγει η πίεση σε pascal ( $Pa$ ), κάθε μέγεθος στον τύπο πρέπει να είναι στη σωστή μονάδα του Διεθνούς Συστήματος:

Μέγεθος	Σύμβολο	Μονάδα
Πυκνότητα	$ρ$	$kg/m^3$
Επιτάχυνση βαρύτητας	$g$	$m/s^2$ (συνήθως παίρνουμε $g = 10\ m/s^2$ )
Βάθος	$h$	$m$
Πίεση	$P$	$Pa$

Αν το βάθος δίνεται σε άλλη μονάδα (π.χ. εκατοστά), πρέπει πρώτα να το μετατρέψουμε σε μέτρα πριν αντικαταστήσουμε στον τύπο.

Πόσο μεγάλη γίνεται η πίεση σε βάθος;

Σε βάθος μόλις 10 m μέσα στη θάλασσα, η υδροστατική πίεση φτάνει περίπου τα 100 000 Pa. Αυτό είναι περίπου όση είναι η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας! Γι' αυτό οι δύτες πρέπει να κατεβαίνουν σε μεγάλα βάθη με μεγάλη προσοχή — η πίεση γύρω τους αυξάνεται πολύ γρήγορα. ⚓