Μέτρηση παράγωγων φυσικών μεγεθών 🧪

Τα παράγωγα φυσικά μεγέθη δεν μετριούνται πάντα με τον ίδιο τρόπο. Κάποια έχουν το δικό τους όργανο μέτρησης και τα μετράμε άμεσα. Για παράδειγμα, η δύναμη μετριέται απευθείας με το δυναμόμετρο, όπως αυτό που θα χρησιμοποιούσες για να δεις πόσο δυνατά τραβάς ένα λάστιχο.

Άλλα παράγωγα μεγέθη, όπως ο όγκος ή το εμβαδόν, δεν έχουν δικό τους όργανο. Δεν υπάρχει «μετρητής εμβαδού» που να τον βάζεις πάνω σε ένα τραπέζι και να δείχνει αριθμό. Για να τα βρούμε, μετράμε πρώτα τα θεμελιώδη μεγέθη από τα οποία προκύπτουν (συνήθως μήκη) και μετά κάνουμε τον κατάλληλο υπολογισμό.

Γιατί δεν υπάρχει όργανο για το εμβαδόν;

Το εμβαδόν και ο όγκος περιγράφουν πόσο χώρο καταλαμβάνει κάτι σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Δεν υπάρχει φυσική ιδιότητα ενός οργάνου που να «αισθάνεται» απευθείας τον χώρο αυτόν — γι' αυτό τον υπολογίζουμε από μετρήσεις μήκους.

Σώματα με κανονικό σχήμα 📦

Όταν ένα σώμα έχει κανονικό (γεωμετρικό) σχήμα — όπως ένα κουτί, μια αίθουσα ή μια τουβλόπλακα — χρησιμοποιούμε έτοιμους μαθηματικούς τύπους.

Εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές $α$ και $β$ :

A = \alpha \cdot \beta

Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με πλευρές $α$ , $β$ και ύψος $γ$ :

V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma

Δηλαδή, για να βρούμε το εμβαδόν του πατώματος ενός δωματίου, μετράμε το μήκος και το πλάτος του με μια μετροταινία και τα πολλαπλασιάζουμε. Για τον όγκο του δωματίου, μετράμε επιπλέον και το ύψος του.

Από πού βγαίνει το κυβικό μέτρο;

Η μονάδα μέτρησης του όγκου στο S.I. είναι το κυβικό μέτρο $m^3$ . Προκύπτει από το γινόμενο $m \times m \times m$ — δηλαδή τη βασική μονάδα του μήκους πολλαπλασιασμένη τρεις φορές με τον εαυτό της, μία για κάθε διάσταση (μήκος, πλάτος, ύψος).

Σώματα με ακανόνιστο σχήμα 🍃

Στη φύση, τα περισσότερα αντικείμενα δεν έχουν κανονικό σχήμα — σκέψου ένα φύλλο δέντρου, μια πέτρα ή ένα βότσαλο. Για αυτά δεν υπάρχει έτοιμος τύπος, οπότε χρησιμοποιούμε ειδικές τεχνικές.

Εμβαδόν επιφάνειας με ακανόνιστο σχήμα

Για να βρούμε το εμβαδόν μιας ακανόνιστης επιφάνειας, χρησιμοποιούμε την τεχνική του τετραγωνισμένου πλαισίου:

Καλύπτουμε το αντικείμενο με ένα πλαίσιο αποτελούμενο από μικρά τετράγωνα γνωστού εμβαδού (π.χ. $1\ cm^2$ το καθένα).
Μετράμε πόσα τετράγωνα καλύπτονται πλήρως από το αντικείμενο και πόσα καλύπτονται μερικώς (μόνο ένα κομμάτι τους).
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των πλήρων τετραγώνων με το εμβαδόν ενός τετραγώνου. Τον αριθμό των μερικών τετραγώνων τον πολλαπλασιάζουμε με το εμβαδόν ενός τετραγώνου και μετά διαιρούμε με το 2 — γιατί κατά μέσο όρο ένα μερικό τετράγωνο καλύπτεται περίπου στη μισή του επιφάνεια.
Προσθέτουμε τα δύο αποτελέσματα για να πάρουμε το συνολικό εμβαδόν.

Πώς γίνεται πιο ακριβές το αποτέλεσμα;

Όσο πιο μικρά είναι τα τετράγωνα του πλαισίου, τόσο πιο κοντά στην πραγματική τιμή του εμβαδού θα είναι το αποτέλεσμά μας. Με πολύ μικρά τετράγωνα, τα «μερικώς καλυμμένα» τετράγωνα γίνονται λιγότερα σε σχέση με τα πλήρη, και το σφάλμα μειώνεται.

Όγκος υγρών και σωμάτων χαλαρής ύλης 💧

Για τα υγρά (π.χ. νερό) και για χαλαρή ύλη (π.χ. άμμος, ρύζι) χρησιμοποιούμε ογκομετρικούς κυλίνδρους. Ο λόγος είναι απλός: τα υγρά και η χαλαρή ύλη παίρνουν το σχήμα του δοχείου στο οποίο βρίσκονται, οπότε δεν έχει νόημα να μιλάμε για «κανονικό» ή «ακανόνιστο» σχήμα τους. Απλώς διαβάζουμε την ένδειξη απευθείας από την κλίμακα του κυλίνδρου, στο σημείο όπου φτάνει η επιφάνεια του υγρού.

Όγκος στερεού σώματος με ακανόνιστο σχήμα

Τι κάνουμε όμως όταν το σώμα είναι στερεό και έχει ακανόνιστο σχήμα, όπως μια πέτρα; Δεν χωράει σε τύπο, αλλά ούτε παίρνει το σχήμα δοχείου μόνο του. Εδώ εκμεταλλευόμαστε ακριβώς την ιδιότητα των υγρών να παίρνουν το σχήμα του δοχείου τους, με τη μέθοδο του εκτοπίσματος:

Βάζουμε νερό σε έναν ογκομετρικό σωλήνα και σημειώνουμε τον αρχικό όγκο $V_1$ .
Βυθίζουμε το στερεό (π.χ. μια πέτρα) μέσα στο νερό. Επειδή η πέτρα καταλαμβάνει χώρο, η στάθμη του νερού ανεβαίνει.
Σημειώνουμε τον νέο όγκο $V_2$ (νερό μαζί με το βυθισμένο σώμα).
Ο όγκος του στερεού προκύπτει από την αφαίρεση:

V_{στερεού} = V_2 - V_1

Πότε ΔΕΝ δουλεύει αυτή η μέθοδος

Η μέθοδος του εκτοπίσματος λειτουργεί μόνο αν το σώμα:

βυθίζεται εντελώς στο νερό (δεν επιπλέει),
δεν διαλύεται μέσα στο νερό,
δεν απορροφά νερό (π.χ. δεν δουλεύει για ένα σφουγγάρι, γιατί ρουφάει μέρος του νερού και η στάθμη δεν ανεβαίνει σωστά).

Μη μπερδεύεις τα ml με τα λίτρα

Θυμήσου την ισότητα $1\ ml = 1\ cm^3$ . Χάρη σε αυτήν, μπορείς εύκολα να μετατρέψεις τις μετρήσεις ενός ογκομετρικού σωλήνα (σε ml) σε μονάδες όγκου (σε $cm^3$ ) χωρίς κανέναν υπολογισμό.

Υπολογισμός πυκνότητας ⭐

Αφού μάθαμε να μετράμε μάζα, μήκος και όγκο, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε ένα ακόμη παράγωγο μέγεθος: την πυκνότητα. Τα βήματα είναι:

Μετράμε τη μάζα $m$ του σώματος με μια ζυγαριά.
Μετράμε τον όγκο $V$ του σώματος — με τύπο αν έχει κανονικό σχήμα, ή με ογκομετρικό σωλήνα (εκτόπισμα) αν έχει ακανόνιστο σχήμα.
Υπολογίζουμε την πυκνότητα διαιρώντας τη μάζα με τον όγκο:

ρ = \frac{m}{V}

Η παρακάτω σύνοψη δείχνει ποια μέθοδο μέτρησης όγκου ταιριάζει σε κάθε περίπτωση:

Είδος σώματος	Πώς βρίσκουμε τον όγκο
Κανονικό στερεό σχήμα (κουτί, δωμάτιο)	Μαθηματικός τύπος ( $V = \alpha \cdot \beta \cdot \gamma$ )
Υγρό ή χαλαρή ύλη	Ογκομετρικός κύλινδρος (απευθείας ανάγνωση)
Ακανόνιστο στερεό (πέτρα, βότσαλο)	Εκτόπισμα νερού σε ογκομετρικό σωλήνα