Παρουσίαση και ανάλυση δεδομένων με γραφήματα 📊

Όταν έχουμε πολλές αριθμητικές παρατηρήσεις, ένας πίνακας με όλες τις τιμές είναι δύσχρηστος: το μάτι δεν εντοπίζει εύκολα πού «μαζεύονται» τα δεδομένα, πόσο απλωμένα είναι, ή αν υπάρχει καμιά τιμή που ξεχωρίζει. Σε αυτή την ενότητα μαθαίνουμε δύο τρόπους να οργανώσουμε τα δεδομένα ώστε η δομή τους να φαίνεται με μια ματιά: το φυλλόγραμμα και το θηκόγραμμα. Και τα δύο έχουν ένα κοινό «μυστικό»: κατατάσσουν τις παρατηρήσεις σε σειρά, γιατί μόνο έτσι μπορούμε να μιλήσουμε αξιόπιστα για διάμεσο, τεταρτημόρια και ακραίες τιμές.

Φυλλόγραμμα 🌿

Ορισμός

Το φυλλόγραμμα είναι ένα διάγραμμα που χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να παρουσιάσουμε πολλές παρατηρήσεις με έναν πιο απλό και συνοπτικό τρόπο, χωρίς όμως να χάσουμε καμία επιμέρους τιμή — κάθε αρχική παρατήρηση διαβάζεται ξανά από το διάγραμμα.

Η ιδέα είναι απλή: κάθε παρατήρηση χωρίζεται σε δύο κομμάτια. Το πρώτο (ή τα πρώτα) ψηφία της γίνονται ο «κορμός», δηλαδή η «κατηγορία» στην οποία ανήκει η τιμή, και το τελευταίο ψηφίο γίνεται ένα «φύλλο» που κρέμεται δίπλα στον κορμό του. Έτσι, παρατηρήσεις με τον ίδιο κορμό εμφανίζονται στην ίδια γραμμή, μία δίπλα στην άλλη ως φύλλα, και το πλήθος των φύλλων μιας γραμμής δείχνει αμέσως πόσες παρατηρήσεις έχει αυτή η κατηγορία τιμών.

Κατασκευή φυλλογράμματος 🛠️

Για να κατασκευάσουμε ένα φυλλόγραμμα, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Καθορίζουμε ποια ψηφία των παρατηρήσεων θα αποτελούν τον κορμό και ποια θα αποτελούν τα φύλλα (συνήθως το τελευταίο ψηφίο γίνεται φύλλο, τα υπόλοιπα κορμός).
Κατασκευάζουμε τον κορμό, κατατάσσοντας τους αριθμούς που τον αποτελούν σε αύξουσα σειρά, ξεκινώντας από κάτω προς τα πάνω.
Βάζουμε τους αριθμούς που αποτελούν τα φύλλα σε αύξουσα σειρά, με το μικρότερο να είναι πιο κοντά στον κορμό.

Η σειρά στο βήμα 3 δεν είναι τυπική λεπτομέρεια: επειδή τα φύλλα κάθε γραμμής είναι ήδη ταξινομημένα, όλο το σύνολο των παρατηρήσεων βγαίνει ταξινομημένο χωρίς να χρειαστεί να γράψουμε ξανά μια λίστα με τη σειρά. Αυτό είναι το κρίσιμο πλεονέκτημα του φυλλογράμματος.

Πλεονέκτημα

Με τη βοήθεια του φυλλογράμματος μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τη διάμεσο, το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος, γιατί οι παρατηρήσεις κατατάσσονται σε αύξουσα σειρά — δεν χρειάζεται να τις ξανακατατάξουμε χωριστά.

Φυλλόγραμμα διπλής όψης 🔄

Ορισμός

Το φυλλόγραμμα διπλής όψης είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για να συγκρίνουμε τα χαρακτηριστικά δύο διαφορετικών πληθυσμών. Ο κορμός βρίσκεται στο κέντρο και τα φύλλα εκτείνονται και προς τις δύο πλευρές.

Η λογική είναι ίδια με το απλό φυλλόγραμμα, με τη διαφορά ότι τώρα ο κορμός είναι κοινός και για τα δύο δείγματα: τα φύλλα του πρώτου δείγματος απλώνονται προς τη μία μεριά και τα φύλλα του δεύτερου προς την άλλη. Επειδή ο κορμός είναι κοινός, οι δύο κατανομές μπορούν να συγκριθούν άμεσα γραμμή προς γραμμή — βλέπουμε αν το ένα δείγμα έχει γενικά μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές, και αν κάποιο από τα δύο έχει μεγαλύτερη διασπορά.

Ακραίες παρατηρήσεις 🔍

Ορισμός

Οι ακραίες παρατηρήσεις είναι οι παρατηρήσεις που είναι απομακρυσμένες από τις υπόλοιπες παρατηρήσεις του δείγματος.

Χρειαζόμαστε έναν αντικειμενικό κανόνα για να αποφασίσουμε πότε μια τιμή είναι «πολύ μακριά» — δεν αρκεί η εντύπωση. Ο κανόνας στηρίζεται στο ενδοτεταρτημοριακό εύρος, γιατί αυτό μετρά πόσο απλωμένο είναι το «μεσαίο» της κατανομής χωρίς να επηρεάζεται από τυχόν ακραίες τιμές. Συγκεκριμένα, ακραίες παρατηρήσεις θεωρούμε τις παρατηρήσεις που δεν ανήκουν στο διάστημα:

[Q_1 - 1{,}5 \cdot IQR, \quad Q_3 + 1{,}5 \cdot IQR]

όπου $Q_1$ το πρώτο τεταρτημόριο, $Q_3$ το τρίτο τεταρτημόριο και $IQR$ το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Ο συντελεστής $1{,}5$ καθορίζει πόσο «περιθώριο» δίνουμε γύρω από το κεντρικό 50% των τιμών προτού μια τιμή χαρακτηριστεί ακραία· είναι μια συμβατική επιλογή που εξισορροπεί ανάμεσα στο να χαρακτηρίζουμε ως ακραίες πολύ λίγες τιμές (αν το περιθώριο ήταν πολύ μεγάλο) και στο να χαρακτηρίζουμε ως ακραίες κανονικές τιμές (αν ήταν πολύ μικρό).

Προσοχή!

Μια ακραία παρατήρηση δεν πρέπει αυτόματα να διαγράφεται. Αν υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις σε ένα δείγμα, ελέγχουμε πρώτα κατά πόσο προέκυψαν από κάποιο λάθος στη συλλογή ή στην καταγραφή των παρατηρήσεων (π.χ. λάθος μέτρηση ή λάθος πληκτρολόγηση). Στην περίπτωση που δεν προέκυψαν από λάθος, τις μελετούμε κανονικά, γιατί μπορεί να κρύβουν χρήσιμες πληροφορίες για το φαινόμενο που εξετάζουμε.

Θηκόγραμμα 📦

Ορισμός

Το θηκόγραμμα (box plot) είναι ένας τρόπος παρουσίασης δεδομένων που παρουσιάζει και τις ακραίες παρατηρήσεις, αν υπάρχουν, μαζί με τα βασικά χαρακτηριστικά της κατανομής σε ένα και μόνο διάγραμμα.

Ενώ το φυλλόγραμμα δείχνει κάθε επιμέρους τιμή, το θηκόγραμμα «θυσιάζει» αυτή τη λεπτομέρεια για να αναδείξει τη γενική εικόνα: πού βρίσκεται το κέντρο του δείγματος, πόσο απλωμένες είναι οι τιμές γύρω από αυτό, και αν κάτι ξεχωρίζει ως ακραίο. Γι' αυτό είναι ιδανικό όταν θέλουμε να συγκρίνουμε πολλά δείγματα μεταξύ τους παρά να διαβάσουμε καθένα τιμή προς τιμή.

Απαραίτητα στοιχεία για την κατασκευή θηκογράμματος 📋

Για να κατασκευάσουμε ένα θηκόγραμμα πρέπει πρώτα να έχουμε υπολογίσει:

Όλα τα τεταρτημόρια ( $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ )
Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος ( $IQR$ )
Τη μέγιστη και την ελάχιστη παρατήρηση

Αυτά τα πέντε νούμερα («πεντάριθμη περίληψη») είναι όλα όσα χρειάζεται το θηκόγραμμα για να «χτιστεί» — δεν χρησιμοποιεί καμία άλλη πληροφορία από το δείγμα.

Βήματα κατασκευής θηκογράμματος 🛠️

Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο («το κουτί») με τη μια πλευρά του στο πρώτο τεταρτημόριο $Q_1$ και την απέναντι πλευρά στο τρίτο τεταρτημόριο $Q_3$ . Το μήκος αυτών των πλευρών είναι αυθαίρετο, αλλά η απόσταση μεταξύ τους είναι πάντα ίση με το ενδοτεταρτημοριακό εύρος — γι' αυτό το «κουτί» αναπαριστά ακριβώς το κεντρικό 50% των παρατηρήσεων.
Η διάμεσος $Q_2$ παριστάνεται με ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο με τις πλευρές, μέσα στο ορθογώνιο. Η θέση της μέσα στο κουτί δείχνει αν οι τιμές είναι συμμετρικά κατανεμημένες γύρω από αυτή ή αν γέρνουν προς τη μια πλευρά.
Από τα μέσα των πλευρών που παριστάνουν το $Q_1$ και το $Q_3$ , φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα («μουστάκια») με μήκος το πολύ $1{,}5 \cdot IQR$ :
- Αν η ελάχιστη τιμή του δείγματος βρίσκεται μέσα σε αυτό το όριο, τότε το άκρο του τμήματος που ξεκινά από το $Q_1$ φτάνει ακριβώς μέχρι την ελάχιστη τιμή.
- Αν η μέγιστη τιμή του δείγματος βρίσκεται μέσα σε αυτό το όριο, τότε το άκρο του τμήματος που ξεκινά από το $Q_3$ φτάνει ακριβώς μέχρι τη μέγιστη τιμή.
Στο τέλος, όποιες παρατηρήσεις μένουν έξω από αυτά τα όρια σημειώνονται ξεχωριστά, ως μεμονωμένα σημεία — αυτές είναι οι ακραίες παρατηρήσεις.

Με άλλα λόγια, τα «μουστάκια» δεν έχουν πάντα το ίδιο μήκος: μεγαλώνουν μέχρι να συναντήσουν την πραγματική ελάχιστη ή μέγιστη τιμή του δείγματος, εκτός αν αυτή η τιμή είναι τόσο μακριά ώστε να θεωρείται ακραία — οπότε το μουστάκι σταματά στο όριο $1{,}5 \cdot IQR$ και η ακραία τιμή σημειώνεται μόνη της.

Σημαντικό!

Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα («μουστάκι») φτάνει ακριβώς σε μήκος $1{,}5 \cdot IQR$ χωρίς να καταλήγει σε πραγματική παρατήρηση, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ακραίες παρατηρήσεις στο δείγμα, πέρα από αυτό το σημείο.

Ανάγνωση θηκογράμματος 📖

Από ένα έτοιμο θηκόγραμμα μπορούμε να διαβάσουμε απευθείας τις εξής πληροφορίες:

Στοιχείο	Πώς το διαβάζουμε
Μέγιστη / Ελάχιστη τιμή	Τα άκρα των ευθύγραμμων τμημάτων (ή, αν υπάρχουν, οι πιο απομακρυσμένες ακραίες παρατηρήσεις)
Εύρος	Η απόσταση από το ένα άκρο ως το άλλο άκρο ολόκληρου του διαγράμματος
Ενδοτεταρτημοριακό εύρος	Το μήκος του «κουτιού» (του ορθογωνίου παραλληλογράμμου)
Διάμεσος $Q_2$	Η γραμμή μέσα στο κουτί
Συμμετρία δεδομένων	Αν η γραμμή της διαμέσου βρίσκεται στο κέντρο του κουτιού και τα δύο μουστάκια έχουν παρόμοιο μήκος
Ακραίες παρατηρήσεις	Τα μεμονωμένα σημεία που βρίσκονται έξω από τα μουστάκια

Σύγκριση δεδομένων

Τα θηκογράμματα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα δείγματα μεταξύ τους: τοποθετώντας τα θηκογράμματά τους πάνω στον ίδιο άξονα, βλέπουμε αμέσως ποιο δείγμα έχει μεγαλύτερες τιμές, ποιο έχει μεγαλύτερη διασπορά και ποιο περιέχει ακραίες τιμές, χωρίς να χρειάζεται να συγκρίνουμε αριθμό προς αριθμό.

Περίληψη βασικών εννοιών 📌

Η ανάγνωση ενός θηκογράμματος ή ενός φυλλογράμματος στηρίζεται σε μεγέθη που έχουμε ήδη μελετήσει για την περιγραφή ενός δείγματος. Συγκεντρώνουμε εδώ τους σχετικούς ορισμούς και τύπους.

Γραμμικός μετασχηματισμός μέσης τιμής ✏️

Αν $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ είναι $\nu$ παρατηρήσεις μιας μεταβλητής $X$ με μέση τιμή $\bar{x}$ , και δημιουργήσουμε μια νέα μεταβλητή $Y$ πολλαπλασιάζοντας κάθε τιμή επί $a$ και προσθέτοντας $\beta$ , δηλαδή

y_i = ax_i + \beta, \quad i = 1, 2, \ldots, \nu, \quad a, \beta \in \mathbb{R}

τότε η μέση τιμή $\bar{y}$ των νέων παρατηρήσεων προκύπτει εφαρμόζοντας τον ίδιο μετασχηματισμό στη μέση τιμή $\bar{x}$ :

\bar{y} = a\bar{x} + \beta

Αυτό έχει νόημα διαισθητικά: αν αλλάξουμε μονάδα μέτρησης (π.χ. από βαθμούς Κελσίου σε Φαρενάιτ) ή προσθέσουμε μια σταθερά σε κάθε τιμή, η μέση τιμή ακολουθεί ακριβώς την ίδια αλλαγή.

Σταθμισμένος μέσος 🏋️

Ορισμός

Αν οι παρατηρήσεις $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_\nu$ μιας μεταβλητής $X$ δεν έχουν όλες την ίδια σημασία, τους αποδίδουμε συντελεστές στάθμισης (βαρύτητες) $w_1, w_2, \ldots, w_\nu$ . Τότε ο σταθμισμένος μέσος (weighted average) ορίζεται ως:

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_\nu x_\nu}{w_1 + w_2 + \ldots + w_\nu}

Ο κοινός μέσος όρος θεωρεί ότι κάθε παρατήρηση «μετράει» το ίδιο. Ο σταθμισμένος μέσος διορθώνει αυτή την υπόθεση όταν δεν ισχύει: για παράδειγμα, αν ένας βαθμός προκύπτει από γραπτή και προφορική εξέταση με διαφορετική βαρύτητα, ο σταθμισμένος μέσος δίνει μεγαλύτερο «βάρος» στο κομμάτι που μετράει περισσότερο.

Μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας 📐

Ορισμός

Τα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας είναι τα μέτρα που εκφράζουν πόσο απλωμένες είναι οι τιμές μιας μεταβλητής γύρω από τα κεντρικά μέτρα θέσης (όπως η μέση τιμή). Ένα κεντρικό μέτρο από μόνο του δεν λέει αν οι τιμές είναι μαζεμένες κοντά του ή διασκορπισμένες μακριά του — γι' αυτό χρειαζόμαστε ξεχωριστά μέτρα διασποράς.

Εύρος των παρατηρήσεων (Range): η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης $x_{\min}$ από τη μέγιστη παρατήρηση $x_{\max}$ :

R = x_{\max} - x_{\min}

Είναι το πιο απλό μέτρο διασποράς, αλλά εξαρτάται μόνο από δύο τιμές και επηρεάζεται πολύ εύκολα από μία και μόνο ακραία παρατήρηση.

Διακύμανση ή διασπορά $\nu$ παρατηρήσεων $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_\nu$ : ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή. Συμβολίζεται με $s^2$ :

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}

Υψώνουμε τις αποκλίσεις στο τετράγωνο ώστε οι θετικές και οι αρνητικές αποκλίσεις να μην αλληλοαναιρούνται (χωρίς το τετράγωνο, το άθροισμα των αποκλίσεων από τη μέση τιμή είναι πάντα μηδέν).

Τυπική απόκλιση (standard deviation): η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Συμβολίζεται με $s$ :

s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}}

Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα για να επιστρέψουμε στις αρχικές μονάδες μέτρησης (η διακύμανση είναι σε τετράγωνες μονάδες, δύσκολο να ερμηνευτεί).

Συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ( $CV$ ): το πηλίκο της τυπικής απόκλισης $s$ προς την απόλυτη τιμή της μέσης τιμής $\bar{x}$ των παρατηρήσεων:

CV = \frac{s}{|\bar{x}|}

Επειδή είναι λόγος (χωρίς μονάδες), ο $CV$ επιτρέπει να συγκρίνουμε τη διασπορά δύο δειγμάτων ακόμα κι αν μετρώνται σε διαφορετικές μονάδες ή έχουν πολύ διαφορετική μέση τιμή — κάτι που η τυπική απόκλιση από μόνη της δεν μπορεί να κάνει αξιόπιστα.

Τεταρτημόρια και ενδοτεταρτημοριακό εύρος 📊

Το πρώτο τεταρτημόριο συμβολίζεται με $Q_1$ .
Η διάμεσος είναι το δεύτερο τεταρτημόριο και συμβολίζεται με $Q_2$ : χωρίζει το ταξινομημένο δείγμα ακριβώς στα δύο.
Το τρίτο τεταρτημόριο συμβολίζεται με $Q_3$ .

Μαζί, τα τρία τεταρτημόρια χωρίζουν το ταξινομημένο δείγμα σε τέσσερα ίσα (σε πλήθος) κομμάτια. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος είναι η διαφορά του πρώτου τεταρτημορίου από το τρίτο τεταρτημόριο:

IQR = Q_3 - Q_1

Υπενθύμιση

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος περιλαμβάνει το «ενδιάμεσο» 50% των παρατηρήσεων και δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις, σε αντίθεση με το εύρος $R$ που καθορίζεται εξ ολοκλήρου από τις δύο ακραίες τιμές του δείγματος. Γι' αυτό το $IQR$ χρησιμοποιείται ως το «θεμέλιο» για τον εντοπισμό ακραίων παρατηρήσεων: ένα μέτρο που δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές μπορεί να χρησιμοποιηθεί με ασφάλεια για να τις εντοπίσει.