Τεταρτημόρια – Ενδοτεταρτημοριακό εύρος 📊

Η διάμεσος χωρίζει ένα σύνολο διατεταγμένων παρατηρήσεων σε δύο ίσα κομμάτια: το μισό των παρατηρήσεων είναι μικρότερο από αυτή, το άλλο μισό μεγαλύτερο. Αυτό δίνει μια πρώτη εικόνα του «κέντρου» των δεδομένων, αλλά δεν λέει τίποτα για το πώς είναι μοιρασμένες οι τιμές γύρω από αυτό το κέντρο. Αν χωρίσουμε τα δεδομένα σε τέσσερα ίσα κομμάτια αντί για δύο, αποκτούμε πολύ πιο λεπτομερή εικόνα: πόσο «σφιχτά» ή πόσο «απλωμένες» είναι οι τιμές σε κάθε τμήμα της κατανομής. Αυτός ακριβώς είναι ο ρόλος των τεταρτημορίων.

Τεταρτημόρια 📐

Με άλλα λόγια, τα τρία τεταρτημόρια είναι σαν τρία «σημάδια» πάνω στη διατεταγμένη λίστα των παρατηρήσεων που τη χωρίζουν σε τέσσερα ίσα κομμάτια των 25% η καθεμιά: πρώτα το κομμάτι κάτω από $Q_1$, μετά το κομμάτι ανάμεσα σε $Q_1$ και $Q_2$, μετά το κομμάτι ανάμεσα σε $Q_2$ και $Q_3$, και τέλος το κομμάτι πάνω από $Q_3$. Ακριβώς επειδή το $Q_2$ βρίσκεται στη μέση, ταυτίζεται πάντα με τη διάμεσο — δεν είναι δύο διαφορετικά μεγέθη, αλλά το ίδιο μέγεθος με άλλο όνομα μέσα σε αυτό το πλαίσιο.

Πώς υπολογίζουμε το $Q_1$ και το $Q_3$ 🧮

Η ιδέα πίσω από τον υπολογισμό είναι απλή: αφού το $Q_2$ είναι η διάμεσος όλων των παρατηρήσεων, το $Q_1$ είναι η διάμεσος του πρώτου μισού των παρατηρήσεων (των μικρότερων) και το $Q_3$ είναι η διάμεσος του δεύτερου μισού (των μεγαλύτερων). Δηλαδή, εφαρμόζουμε ξανά τη γνωστή διαδικασία εύρεσης διαμέσου, αλλά αυτή τη φορά σε καθένα από τα δύο μισά ξεχωριστά.

Ο τρόπος που χωρίζουμε τις παρατηρήσεις σε αυτά τα δύο μισά εξαρτάται από το αν το πλήθος τους είναι άρτιο ή περιττό.

Περίπτωση 1 — Άρτιο πλήθος παρατηρήσεων

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός, η διάμεσος πέφτει ακριβώς ανάμεσα σε δύο κεντρικές παρατηρήσεις και δεν ταυτίζεται με καμία από τις υπάρχουσες τιμές. Έτσι, το σύνολο χωρίζεται καθαρά σε δύο ίσα μισά, χωρίς καμία παρατήρηση να μένει «στη μέση». Βρίσκουμε το $Q_1$ υπολογίζοντας τη διάμεσο του πρώτου μισού και το $Q_3$ υπολογίζοντας τη διάμεσο του δεύτερου μισού.

Περίπτωση 2 — Περιττό πλήθος παρατηρήσεων

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, υπάρχει μία ακριβώς κεντρική παρατήρηση που είναι η ίδια η διάμεσος $Q_2$. Αν την αφήναμε μέσα σε ένα από τα δύο μισά, θα τη μετρούσαμε δύο φορές — και τα δύο μισά δεν θα ήταν πια ίσου πλήθους. Γι' αυτό, αφαιρούμε πρώτα τη διάμεσο $Q_2$ από τη λίστα και δουλεύουμε μόνο με τις υπόλοιπες παρατηρήσεις, τις οποίες χωρίζουμε σε πρώτο και δεύτερο μισό. Το $Q_1$ είναι η διάμεσος αυτού του πρώτου μισού και το $Q_3$ η διάμεσος του δεύτερου.

Ενδοτεταρτημοριακό εύρος 📏

Μέχρι τώρα έχουμε μετρήσει τη διασπορά ενός δείγματος με το εύρος, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Και τα τρία αυτά μέτρα έχουν ένα κοινό μειονέκτημα: επηρεάζονται έντονα από ακραίες παρατηρήσεις. Μια εξαιρετικά μικρή ή εξαιρετικά μεγάλη τιμή μπορεί να «φουσκώσει» το εύρος ή την τυπική απόκλιση, δίνοντας εντύπωση μεγαλύτερης διασποράς απ' όσο πραγματικά υπάρχει στον κύριο όγκο των δεδομένων.

Τα τεταρτημόρια προσφέρουν έναν τρόπο να μετρήσουμε τη διασπορά αγνοώντας τις πιο ακραίες τιμές: αρκεί να συγκρίνουμε το $Q_3$ με το $Q_1$, δηλαδή να δούμε πόσο «πλατύ» είναι το κεντρικό κομμάτι των δεδομένων, χωρίς να μας απασχολεί τι συμβαίνει στα δύο άκρα.