Μέτρα θέσης και διασποράς 📊

Γιατί ένας αριθμός δεν αρκεί για να περιγράψουμε ένα σύνολο δεδομένων 🤔

Όταν έχουμε πολλές παρατηρήσεις (π.χ. τους βαθμούς μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα), συνήθως θέλουμε να τις συνοψίσουμε με λίγους αριθμούς. Η μέση τιμή μας λέει «πού βρίσκεται» περίπου το κέντρο των δεδομένων — είναι ένα μέτρο θέσης. Όμως δύο σύνολα δεδομένων μπορεί να έχουν την ίδια ακριβώς μέση τιμή και να είναι εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους.

Ίδιος μέσος όρος, εντελώς διαφορετική εικόνα

Φαντάσου δύο τάξεις με μέσο όρο βαθμολογίας $15$ . Στην πρώτη όλοι οι μαθητές πήραν βαθμό κοντά στο $15$ (π.χ. $14, 15, 16$ ). Στη δεύτερη μισοί πήραν $5$ και μισοί $20$ +. Ο μέσος όρος είναι ίδιος, αλλά οι δύο τάξεις δεν μοιάζουν καθόλου. Χρειαζόμαστε έναν αριθμό που να συλλαμβάνει αυτή τη διαφορά.

Γι' αυτό, εκτός από το «πού είναι το κέντρο», χρειαζόμαστε και το «πόσο απλωμένα είναι τα δεδομένα γύρω από αυτό το κέντρο». Αυτά τα δεύτερα λέγονται μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πρώτα μια ιδιότητα της μέσης τιμής και μια γενίκευσή της (τον σταθμισμένο μέσο), και μετά τα βασικά μέτρα διασποράς: το εύρος, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής.

Τι συμβαίνει στη μέση τιμή όταν μεταβάλλουμε τα δεδομένα 📏

Πολλές φορές παίρνουμε ένα σύνολο παρατηρήσεων και το μετασχηματίζουμε με έναν απλό κανόνα — π.χ. αλλάζουμε μονάδα μέτρησης (από βαθμούς Κελσίου σε Φαρενάιτ) ή προσθέτουμε έναν σταθερό βαθμό μπόνους σε όλους. Θα ήταν χρήσιμο να ξέρουμε πώς αλλάζει η μέση τιμή χωρίς να χρειαστεί να την ξαναϋπολογίσουμε από την αρχή.

Πρόταση - Γραμμικός μετασχηματισμός μέσης τιμής

Αν $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ είναι $\nu$ παρατηρήσεις μιας μεταβλητής $X$ με μέση τιμή $\bar{x}$ , και δημιουργήσουμε νέες παρατηρήσεις $y_1, y_2, \ldots, y_\nu$ με τον κανόνα $y_i = ax_i + \beta$ (όπου $a, \beta \in \mathbb{R}$ σταθερές), τότε η μέση τιμή $\bar{y}$ των νέων παρατηρήσεων είναι:

\bar{y} = a\bar{x} + \beta

Δηλαδή, αν πολλαπλασιάσουμε κάθε παρατήρηση επί $a$ και προσθέσουμε $\beta$ , η μέση τιμή υφίσταται ακριβώς τον ίδιο μετασχηματισμό. Αυτό βγαίνει άμεσα από τον ορισμό της μέσης τιμής:

\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \ldots + y_\nu}{\nu} = \frac{(ax_1 + \beta) + (ax_2 + \beta) + \ldots + (ax_\nu + \beta)}{\nu}

= \frac{a(x_1 + x_2 + \ldots + x_\nu) + \nu\beta}{\nu} = a \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_\nu}{\nu} + \frac{\nu\beta}{\nu} = a\bar{x} + \beta

Η απόδειξη λειτουργεί επειδή το $\beta$ προστίθεται $\nu$ φορές (μία για κάθε παρατήρηση) και άρα το $\nu\beta$ διαιρούμενο με $\nu$ δίνει απλά $\beta$ · ενώ το $a$ βγαίνει κοινός παράγοντας από όλους τους όρους του αθροίσματος.

Χρήσιμο συμπέρασμα, όχι μόνο τύπος

Αυτή η ιδιότητα σημαίνει πρακτικά: αν αλλάξεις μονάδα μέτρησης ή προσθέσεις/αφαιρέσεις τον ίδιο αριθμό από όλες τις παρατηρήσεις, δεν χρειάζεται να ξαναϋπολογίσεις τη μέση τιμή από την αρχή — αρκεί να εφαρμόσεις τον ίδιο μετασχηματισμό στην παλιά μέση τιμή.

Σταθμισμένος μέσος 🎯

Ο απλός μέσος όρος υποθέτει ότι κάθε παρατήρηση «μετράει» το ίδιο. Αυτό όμως δεν ισχύει πάντα: ένα διαγώνισμα μπορεί να μετράει περισσότερο από μια εργασία στον τελικό βαθμό, ή κάποιες τιμές σε ένα δείγμα να εμφανίζονται πιο συχνά από άλλες. Όταν οι παρατηρήσεις έχουν διαφορετική «βαρύτητα», χρειαζόμαστε έναν μέσο όρο που να τη λαμβάνει υπόψη.

Ορισμός - Σταθμισμένος μέσος

Αν οι παρατηρήσεις $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_\nu$ μιας μεταβλητής $X$ έχουν συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) $w_1, w_2, \ldots, w_\nu$ , τότε ο σταθμισμένος μέσος (weighted average) ορίζεται ως:

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_\nu x_\nu}{w_1 + w_2 + \ldots + w_\nu}

Η λογική του τύπου είναι απλή: κάθε παρατήρηση $x_i$ «μετράει» $w_i$ φορές αντί για μία, και στο τέλος διαιρούμε με το συνολικό βάρος (όχι απλά με το πλήθος $\nu$ ) για να πάρουμε έναν μέσο όρο.

Σημείωση

Ο απλός μέσος όρος είναι ειδική περίπτωση του σταθμισμένου μέσου με συντελεστές βαρύτητας ίσους με τη μονάδα, δηλαδή $w_1 = w_2 = w_3 \ldots = w_\nu = 1$ . Σε αυτή την περίπτωση ο παρονομαστής γίνεται $w_1 + w_2 + \ldots + w_\nu = \nu$ , δηλαδή ξαναβρίσκουμε τον γνωστό τύπο του απλού μέσου όρου.

Μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας 📉

Η μέση τιμή από μόνη της δεν είναι αρκετή για να περιγράψει πλήρως ένα σύνολο δεδομένων — δύο σύνολα μπορεί να έχουν την ίδια μέση τιμή αλλά εντελώς διαφορετική «διασπορά» γύρω από αυτήν. Χρειαζόμαστε λοιπόν μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας, που μας λένε πόσο «μαζεμένα» ή πόσο «σκόρπια» είναι τα δεδομένα.

Εύρος 📐

Το πιο απλό μέτρο διασποράς που μπορούμε να φανταστούμε είναι να συγκρίνουμε την πιο μικρή με την πιο μεγάλη τιμή.

Ορισμός - Εύρος

Εύρος των παρατηρήσεων (Range) ορίζεται ως η διαφορά της μέγιστης παρατήρησης ( $x_{\max}$ ) από την ελάχιστη παρατήρηση ( $x_{\min}$ ) και συμβολίζεται με $R$ :

R = x_{\max} - x_{\min}

Το εύρος είναι εύκολο στον υπολογισμό, αλλά έχει μια σοβαρή αδυναμία: «βλέπει» μόνο τις δύο ακραίες τιμές και αγνοεί τελείως πώς κατανέμονται όλες οι υπόλοιπες ανάμεσά τους.

Παρατήρηση

Οι ακραίες τιμές καθορίζουν αποκλειστικά την τιμή του εύρους. Αν έστω και μία ακραία παρατήρηση αλλάξει (π.χ. προστεθεί μια ασυνήθιστα υψηλή ή χαμηλή τιμή στο δείγμα), το εύρος αλλάζει αντίστοιχα — ακόμη κι αν όλες οι υπόλοιπες παρατηρήσεις μείνουν ίδιες. Αυτό κάνει το εύρος πολύ ευαίσθητο σε μεμονωμένες ακραίες τιμές.

Διακύμανση και τυπική απόκλιση 📊

Θέλουμε ένα μέτρο διασποράς που να λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις, όχι μόνο τις δύο ακραίες. Μια φυσική ιδέα είναι να κοιτάξουμε πόσο απέχει κάθε παρατήρηση από τη μέση τιμή — δηλαδή την απόκλισή της, $x_i - \bar{x}$ — και να πάρουμε κατά κάποιο τρόπο τον «μέσο όρο» αυτών των αποκλίσεων.

Το πρόβλημα είναι ότι αν απλώς προσθέσουμε όλες τις αποκλίσεις, το αποτέλεσμα είναι πάντα μηδέν: οι αποκλίσεις πάνω από τον μέσο όρο ακυρώνουν ακριβώς τις αποκλίσεις κάτω από αυτόν, αφού ο μέσος όρος είναι εξ ορισμού το «κέντρο ισορροπίας» των δεδομένων. Άρα το άθροισμα των αποκλίσεων δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο διασποράς — δεν ξεχωρίζει καθόλου ένα σύνολο πολύ διασκορπισμένο από ένα σύνολο πολύ μαζεμένο, αφού και τα δύο δίνουν άθροισμα μηδέν.

Η λύση είναι να υψώσουμε στο τετράγωνο κάθε απόκλιση πριν την αθροίσουμε: έτσι όλοι οι όροι γίνονται μη αρνητικοί και δεν ακυρώνονται μεταξύ τους, ενώ ταυτόχρονα οι μεγάλες αποκλίσεις «βαραίνουν» αναλογικά περισσότερο από τις μικρές.

Ορισμός - Διακύμανση

Η Διακύμανση ή διασπορά $\nu$ παρατηρήσεων $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_\nu$ ορίζεται ως ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή. Συμβολίζεται με $s^2$ και δίνεται από τον τύπο:

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}

Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση, τόσο πιο απλωμένα είναι τα δεδομένα γύρω από τη μέση τιμή. Μια διακύμανση κοντά στο μηδέν σημαίνει ότι σχεδόν όλες οι παρατηρήσεις βρίσκονται πολύ κοντά στον μέσο όρο.

Η διακύμανση όμως έχει ένα μειονέκτημα ως προς την ερμηνεία της: επειδή υψώνουμε στο τετράγωνο, οι μονάδες μέτρησής της είναι το τετράγωνο των αρχικών μονάδων (π.χ. αν τα δεδομένα είναι σε μέτρα, η διακύμανση βγαίνει σε τετραγωνικά μέτρα, κάτι που δεν έχει άμεσο νόημα για το ίδιο το μέγεθος που μετράμε). Για να επιστρέψουμε στις αρχικές μονάδες, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Ορισμός - Τυπική απόκλιση

Η Τυπική απόκλιση (standard deviation) είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Συμβολίζεται με $s$ και δίνεται από τον τύπο:

s = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}}

Επειδή επιστρέφει στις αρχικές μονάδες μέτρησης, η τυπική απόκλιση είναι πιο εύκολα ερμηνεύσιμη από τη διακύμανση: μας λέει «κατά μέσο όρο, πόσο απέχουν οι παρατηρήσεις από τη μέση τιμή», εκφρασμένο στις ίδιες μονάδες με τα ίδια τα δεδομένα.

Σημείωση

Η τυπική απόκλιση που αναφέρεται στο σύνολο ενός πληθυσμού συμβολίζεται με $\sigma$ , ενώ η τυπική απόκλιση που αναφέρεται σε δείγμα ενός πληθυσμού συμβολίζεται με $s$ .
Η τυπική απόκλιση έχει την ίδια μονάδα μέτρησης με εκείνη των παρατηρήσεων, ενώ η διακύμανση έχει τη μονάδα αυτή υψωμένη στο τετράγωνο.

Διακύμανση σε πίνακα συχνοτήτων 🗂️

Όταν οι παρατηρήσεις δεν δίνονται μία-μία αλλά σε πίνακα συχνοτήτων — δηλαδή ξέρουμε πόσες φορές ( $f_i$ ) εμφανίζεται κάθε διακριτή τιμή $x_i$ — δεν χρειάζεται να γράψουμε την ίδια τιμή $f_i$ φορές μέσα στο άθροισμα. Αντ' αυτού, πολλαπλασιάζουμε κάθε τετράγωνο απόκλισης με τη συχνότητά του, κάτι ισοδύναμο με το να προσθέταμε την ίδια απόκλιση $f_i$ φορές:

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 \cdot f_1 + (x_2 - \bar{x})^2 \cdot f_2 + \cdots + (x_k - \bar{x})^2 \cdot f_k}{\nu}

όπου $\nu = f_1 + f_2 + \cdots + f_k$ είναι το συνολικό πλήθος παρατηρήσεων (το άθροισμα όλων των συχνοτήτων).

Συντελεστής μεταβολής 🔄

Η τυπική απόκλιση μας λέει πόσο απλωμένα είναι τα δεδομένα, αλλά έχει ένα όριο: δεν μπορούμε να συγκρίνουμε απευθείας τις τυπικές αποκλίσεις δύο δειγμάτων αν έχουν πολύ διαφορετική μέση τιμή ή διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Μια τυπική απόκλιση $5$ εκατοστών μπορεί να είναι τεράστια για ύψη μυρμηγκιών αλλά ασήμαντη για ύψη κτηρίων. Χρειαζόμαστε λοιπόν ένα μέτρο διασποράς που να είναι σχετικό ως προς το μέγεθος των ίδιων των τιμών.

Ορισμός - Συντελεστής μεταβολής

Ο Συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ( $CV$ ) ορίζεται ως το πηλίκο της τυπικής απόκλισης ( $s$ ) προς την απόλυτη τιμή της μέσης τιμής ( $\bar{x}$ ) των παρατηρήσεων. Δηλαδή, ισχύει:

CV = \frac{s}{|\bar{x}|}

Επειδή διαιρούμε την τυπική απόκλιση με τη μέση τιμή, οι μονάδες μέτρησης «απλοποιούνται» — ο συντελεστής μεταβολής είναι ένας καθαρός αριθμός (χωρίς μονάδες), κάτι που τον κάνει κατάλληλο για σύγκριση δειγμάτων ακόμη κι όταν αυτά μετρούν εντελώς διαφορετικά μεγέθη ή έχουν πολύ διαφορετική τάξη μεγέθους.

Παρατηρήσεις 📝

Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό.
Ο συντελεστής μεταβλητότητας ορίζεται μόνο όταν $|\bar{x}| \neq 0$ , αφού διαφορετικά θα είχαμε διαίρεση με το μηδέν.
Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι μικρότερος από 10%, λέμε ότι τα δεδομένα παρουσιάζουν ομοιογένεια — δηλαδή είναι σχετικά «μαζεμένα» γύρω από τη μέση τιμή τους.
Ένα δείγμα $A$ έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από ένα δείγμα $B$ , αν $CV_A < CV_B$ : μικρότερος συντελεστής μεταβολής σημαίνει μικρότερη σχετική διασπορά.

Μην συγκρίνεις απευθείας τυπικές αποκλίσεις δειγμάτων με διαφορετική μέση τιμή

Ένα συχνό λάθος είναι να συγκρίνουμε δύο δείγματα κοιτώντας μόνο ποιο έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση $s$ , αγνοώντας τη μέση τιμή τους. Αν οι μέσες τιμές των δύο δειγμάτων διαφέρουν σημαντικά (ή μετρούν διαφορετικά μεγέθη), η σύγκριση πρέπει να γίνεται μέσω του συντελεστή μεταβολής $CV$ , όχι απευθείας μέσω του $s$ .