Πρόσημο τιμών τριωνύμου — Ανισώσεις δεύτερου βαθμού 📈

📌 Γιατί μας ενδιαφέρει το πρόσημο του τριωνύμου

Η γραφική παράσταση του τριωνύμου $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$, $a \neq 0$, είναι μια παραβολή. Το πρόσημο της τιμής $f(x)$ δείχνει αν, για μια συγκεκριμένη τιμή του $x$, το σημείο της παραβολής βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x'x$ ($f(x) > 0$), πάνω στον άξονα ($f(x) = 0$, δηλαδή το $x$ είναι ρίζα) ή κάτω από τον άξονα ($f(x) < 0$).

Επειδή η παραβολή είτε «κοιτάζει» προς τα πάνω ($a > 0$) είτε προς τα κάτω ($a < 0$) και αλλάζει πλευρά ως προς τον άξονα $x'x$ μόνο εκεί όπου τον τέμνει, το πρόσημο του τριωνύμου καθορίζεται εξ ολοκλήρου από το πλήθος των ριζών του — δηλαδή από την διακρίνουσα $\varDelta$. Γι' αυτό η μελέτη προσήμου ξεκινά πάντα από τον υπολογισμό της $\varDelta$.

📌 Πρόσημο τιμών τριωνύμου

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή της $\varDelta$:

🔷 1η περίπτωση: $\varDelta > 0$

Η εξίσωση $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες $x_1, x_2$ με $x_1 < x_2$. Η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ σε δύο σημεία, οπότε αλλάζει πλευρά δύο φορές: μια φορά όταν το $x$ περνά από το $x_1$ και μια δεύτερη όταν περνά από το $x_2$.

Δηλαδή:

• 📍 Όταν $x \in (x_1, x_2)$ — δηλαδή ανάμεσα στις ρίζες — η τιμή $f(x)$ είναι ετερόσημη του $a$ (αντίθετο πρόσημο από το $a$).
• 📍 Όταν $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ — δηλαδή έξω από το διάστημα των ριζών — η τιμή $f(x)$ είναι ομόσημη του $a$ (ίδιο πρόσημο με το $a$).

Αυτό ταιριάζει με το σχήμα της παραβολής: αν π.χ. $a > 0$ (η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω), το κομμάτι της ανάμεσα στις δύο ρίζες βρίσκεται αναγκαστικά κάτω από τον άξονα (γι' αυτό $f(x) < 0$ εκεί), ενώ τα δύο άκρα της ανεβαίνουν πάνω από τον άξονα.

🔷 2η περίπτωση: $\varDelta = 0$

Η εξίσωση $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$ έχει μία διπλή ρίζα $x_1 = -\dfrac{\beta}{2a}$. Η παραβολή εφάπτεται στον άξονα $x'x$ σε ένα μόνο σημείο, χωρίς να τον διασχίζει· γι' αυτό δεν αλλάζει ποτέ πλευρά.

Δηλαδή:

• 📍 Η τιμή $f(x)$ είναι ομόσημη του $a$ για κάθε $x \in \mathbb{R} - \{x_1\}$.
• 📍 $f(x_1) = 0$.

🔷 3η περίπτωση: $\varDelta < 0$

Η εξίσωση $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$ δεν έχει πραγματικές λύσεις — η παραβολή δεν αγγίζει καθόλου τον άξονα $x'x$. Αφού δεν υπάρχει σημείο όπου το τριώνυμο μηδενίζεται, δεν έχει πού να αλλάξει πρόσημο· παραμένει σταθερά ομόσημο του $a$ σε όλο το $\mathbb{R}$.

Δηλαδή:

• 📍 Η τιμή $f(x)$ είναι ομόσημη του $a$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

📌 Μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου

Ο πίνακας προσήμων δεν είναι ο μόνος δρόμος. Όταν $\varDelta \leq 0$ (δηλαδή δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές ρίζες), είναι συχνά πιο γρήγορο να δείξουμε το πρόσημο του τριωνύμου γράφοντάς το ως άθροισμα ενός τέλειου τετραγώνου και ενός σταθερού αριθμού. Ένα τέλειο τετράγωνο είναι πάντα $\geq 0$, οπότε αρκεί να δούμε τι κάνει η σταθερά που προσθέτουμε.

📌 Ανισώσεις β' βαθμού

Μια ανίσωση β' βαθμού έχει τη μορφή $f(x) \geq 0$, $f(x) \leq 0$, $f(x) > 0$ ή $f(x) < 0$, όπου $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$, $a \neq 0$. Το ζητούμενο είναι να βρούμε όλες τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει η ανίσωση — και αυτό είναι ακριβώς ό,τι μας δίνει η μελέτη προσήμου του τριωνύμου.