Μελέτη της συνάρτησης $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$, $a \neq 0$ 📈

📐 Από τη μορφή κορυφής στη γενική μορφή

Κάθε τριώνυμο μπορεί να γραφτεί με δύο ισοδύναμους τρόπους: στη μορφή κορυφής $f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$, όπου φαίνεται αμέσως η κορυφή της παραβολής, και στη γενική μορφή $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$, όπου φαίνονται αμέσως οι συντελεστές. Το ερώτημα που απαντά αυτή η ενότητα είναι: αν ξέρουμε μόνο τους συντελεστές $a$, $\beta$, $\gamma$, πώς βρίσκουμε την κορυφή, χωρίς να χρειάζεται να ξαναγράψουμε το τριώνυμο σε μορφή κορυφής κάθε φορά;

Ξεκινάμε από τη μορφή κορυφής και αναπτύσσουμε το τετράγωνο, με $a \neq 0$, $x \in \mathbb{R}$, $\kappa, \lambda \in \mathbb{R}$:

Συγκρίνοντας το αποτέλεσμα με τη γενική μορφή $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$, βλέπουμε ότι ο συντελεστής του $x$ πρέπει να είναι $\beta = 2a\kappa$ και ο σταθερός όρος $\gamma = a\kappa^2 + \lambda$. Λύνοντας την πρώτη σχέση ως προς $\kappa$ παίρνουμε $\kappa = \dfrac{\beta}{2a}$, και επειδή η κορυφή στη μορφή $a(x+\kappa)^2+\lambda$ βρίσκεται στο $x = -\kappa$, αυτό σημαίνει ότι:

📊 Ελάχιστη ή μέγιστη τιμή, και τομή με τον άξονα y'y

Το πρόσημο του $a$ καθορίζει αν η παραβολή «ανοίγει» προς τα πάνω ή προς τα κάτω, και άρα αν η κορυφή είναι το χαμηλότερο ή το ψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης.

Για την τομή με τον άξονα $y'y$, αρκεί να θέσουμε $x = 0$ στον τύπο της συνάρτησης: $f(0) = a \cdot 0^2 + \beta \cdot 0 + \gamma = \gamma$. Άρα ο σταθερός όρος $\gamma$ δεν είναι τυχαίος αριθμός — είναι ακριβώς η τιμή της συνάρτησης όταν $x = 0$.

🔢 Η εξίσωση $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$, $a \neq 0$

Οι τετμημένες των σημείων όπου η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ είναι ακριβώς οι λύσεις της εξίσωσης $f(x) = 0$, δηλαδή $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$. Κάθε τέτοια εξίσωση, με $a \neq 0$, λύνεται με τον γνωστό τύπο:

Ο τύπος αυτός προκύπτει αν εργαστούμε με τη μορφή κορυφής: θέτοντας $f(x) = 0$ στην $a(x+\kappa)^2 + \lambda = 0$, απομονώνουμε το τετράγωνο και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη — γι' αυτό εμφανίζεται το $\pm$ στη λύση, αφού και οι δύο αντίθετες ρίζες ενός αριθμού δίνουν το ίδιο τετράγωνο.

Το κομμάτι κάτω από τη ρίζα, $\beta^2 - 4a\gamma$, παίζει καθοριστικό ρόλο, γιατί μια τετραγωνική ρίζα έχει πραγματικό αποτέλεσμα μόνο όταν η υπόριζη ποσότητα δεν είναι αρνητική. Γι' αυτό του δίνουμε ξεχωριστό όνομα και σύμβολο:

Επειδή η $\varDelta$ βρίσκεται κάτω από την τετραγωνική ρίζα στον τύπο των λύσεων, το πρόσημό της καθορίζει πλήρως πόσες πραγματικές λύσεις έχει η εξίσωση — χωρίς καν να χρειάζεται να τις υπολογίσουμε:

Γραφική ερμηνεία των λύσεων

Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$ είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα $x'x$, το πρόσημο της $\varDelta$ περιγράφει και τη σχετική θέση της παραβολής ως προς αυτόν τον άξονα:

• Αν $\varDelta > 0$: η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ σε δύο διαφορετικά σημεία $(x_1, 0)$ και $(x_2, 0)$.
• Αν $\varDelta = 0$: η παραβολή εφάπτεται στον άξονα $x'x$ — τον αγγίζει σε ένα μόνο σημείο $(x_1, 0)$, που είναι ακριβώς η κορυφή της.
• Αν $\varDelta < 0$: η παραβολή δεν τέμνει καθόλου τον άξονα $x'x$ — βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω ή εξ ολοκλήρου κάτω από αυτόν.

➕ Άθροισμα και γινόμενο των λύσεων

Όταν $\varDelta \geq 0$ και η εξίσωση $ax^2 + \beta x + \gamma = 0$ έχει λύσεις $x_1, x_2$ (ίσες ή άνισες), αξίζει να προσέξουμε τι γίνεται αν τις προσθέσουμε ή τις πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους — γιατί προκύπτουν σχέσεις πολύ πιο απλές από τον ίδιο τον τύπο των λύσεων:

Αν συμβολίσουμε με $S$ το άθροισμα και με $P$ το γινόμενο των λύσεων, τότε στο άθροισμα οι όροι με τη ρίζα αλληλοαναιρούνται:

ενώ στο γινόμενο εφαρμόζεται η ταυτότητα $(\alpha+\beta)(\alpha-\beta) = \alpha^2 - \beta^2$, οπότε η ρίζα εξαφανίζεται εντελώς:

Το αποτέλεσμα είναι αξιοσημείωτο: το άθροισμα και το γινόμενο των λύσεων προκύπτουν απευθείας από τους συντελεστές, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουμε τη διακρίνουσα ή τις λύσεις χωριστά.

🔀 Μορφές του τριωνύμου

Γνωρίζοντας τις λύσεις $x_1, x_2$ μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, μπορούμε να ξαναγράψουμε το τριώνυμο ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Ξεκινώντας από τους τύπους του Vieta, $S = -\dfrac{\beta}{a}$ και $P = \dfrac{\gamma}{a}$, προκύπτει $\beta = -aS$ και $\gamma = aP$, οπότε:

🏗️ Κατασκευή εξίσωσης 2ου βαθμού με δεδομένο άθροισμα και γινόμενο

Οι τύποι του Vieta δουλεύουν και αντίστροφα: αν ξέρουμε ποιο άθροισμα $S$ και ποιο γινόμενο $P$ πρέπει να έχουν δύο αριθμοί, μπορούμε να κατασκευάσουμε την εξίσωση 2ου βαθμού που τους έχει ακριβώς αυτούς ως λύσεις, επιλέγοντας $a = 1$ στη σχέση $f(x) = a(x^2 - Sx + P)$:

Αυτό είναι χρήσιμο, για παράδειγμα, όταν γνωρίζουμε δύο ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιούν δύο άγνωστοι αριθμοί (το άθροισμά τους και το γινόμενό τους) και θέλουμε να βρούμε τους ίδιους τους αριθμούς: αντί να λύσουμε σύστημα, κατασκευάζουμε την αντίστοιχη εξίσωση 2ου βαθμού και τη λύνουμε με τον τύπο της διακρίνουσας.

📐 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού

Ο τύπος της διακρίνουσας λύνει μόνο εξισώσεις όπου ο άγνωστος εμφανίζεται σε δεύτερη δύναμη. Υπάρχουν όμως εξισώσεις ανώτερου βαθμού που, με την κατάλληλη αντικατάσταση, μετατρέπονται σε δευτεροβάθμιες και λύνονται με τα ίδια εργαλεία.