Μελέτη της συνάρτησης f(x) = a(x + κ)² + λ, a ≠ 0 📈

📌 Ορισμός παραβολής

Ορισμός

Κάθε συνάρτηση $f$ της μορφής $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$ , $a \neq 0$ , $x \in \mathbb{R}$ λέγεται παραβολή.

Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας συνάρτησης έχει πάντα το ίδιο βασικό σχήμα — μια καμπύλη με «κοιλότητα» — όσο διαφορετικοί κι αν είναι οι συντελεστές $a$ , $\beta$ , $\gamma$ . Ο λόγος είναι ότι κάθε τριώνυμο $ax^2 + \beta x + \gamma$ μπορεί να ξαναγραφτεί, με μια διαδικασία που ονομάζεται συμπλήρωση τετραγώνου, στη μορφή:

f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda, \quad a \neq 0, \quad \kappa, \lambda \in \mathbb{R}

Αυτή η δεύτερη γραφή δεν είναι απλώς μια άλλη σημειογραφία — είναι πολύ πιο χρήσιμη, γιατί «απομονώνει» με έναν όρο $(x+\kappa)^2 \geq 0$ όλη την πληροφορία που χρειαζόμαστε για να σχεδιάσουμε γρήγορα την καμπύλη: πού βρίσκεται το ακρότατο σημείο της και πόσο «ανοιχτή» ή «κλειστή» είναι. Σε αυτή την ενότητα μαθαίνουμε να «διαβάζουμε» απευθείας από τους αριθμούς $a$ , $\kappa$ , $\lambda$ τη μορφή της γραφικής παράστασης, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουμε σημείο προς σημείο.

Ειδική περίπτωση

Αν $\kappa = 0$ και $\lambda = 0$ , τότε η συνάρτηση $f$ μετατρέπεται στην $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ , $x \in \mathbb{R}$ — η πιο απλή δυνατή παραβολή, χωρίς καμία μετατόπιση. Είναι το σημείο εκκίνησης για όλη τη μελέτη που ακολουθεί.

📐 Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ax², a ≠ 0

Ξεκινάμε από την πιο απλή περίπτωση, γιατί κάθε άλλη παραβολή προκύπτει από αυτήν με μετατόπιση. Το πρόσημο του $a$ καθορίζει αν η καμπύλη «ανοίγει» προς τα πάνω ή προς τα κάτω, αφού $x^2 \geq 0$ για κάθε $x$ : πολλαπλασιάζοντας με θετικό $a$ το γινόμενο παραμένει μη αρνητικό, ενώ πολλαπλασιάζοντας με αρνητικό $a$ το γινόμενο γίνεται μη θετικό.

Παρατηρήσεις

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ , έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων, ο οποίος ονομάζεται άξονας της παραβολής. Αυτό συμβαίνει επειδή $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$ : αντίθετες τιμές του $x$ δίνουν την ίδια τιμή του $y$ , οπότε η καμπύλη είναι «καθρέφτης» γύρω από τον άξονα $y$ .

Όταν a > 0

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι $[0, +\infty)$ .
Στο $x = 0$ η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή, την $y = 0$ .
Το σημείο με συντεταγμένες $(0, 0)$ λέγεται κορυφή της παραβολής.

Όταν a < 0

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι $(-\infty, 0]$ .
Στο $x = 0$ η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή, την $y = 0$ .
Το σημείο με συντεταγμένες $(0, 0)$ λέγεται κορυφή της παραβολής.

Η καμπύλη «πλησιάζει» τον άξονα των $y$ , καθώς οι τιμές του $|a|$ αυξάνονται — δηλαδή γίνεται πιο στενή. Αυτό γίνεται γιατί για το ίδιο $x \neq 0$ , μεγαλύτερο $|a|$ σημαίνει μεγαλύτερη (κατ' απόλυτη τιμή) τιμή $y = ax^2$ : η καμπύλη «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει» πιο απότομα γύρω από τον άξονα συμμετρίας. Αντίστροφα, όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι το $|a|$ , τόσο πιο «ανοιχτή» (πλατιά) γίνεται η παραβολή.

Μην μπερδεύεις το πρόσημο του a με το μέγεθός του

Το πρόσημο του $a$ καθορίζει αν η παραβολή έχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή (δηλαδή αν «ανοίγει» πάνω ή κάτω). Το μέγεθος $|a|$ καθορίζει το πόσο στενή ή πλατιά είναι. Είναι δύο διαφορετικές ιδιότητες — μια παραβολή με $a = -5$ είναι στενή αλλά ανοίγει προς τα κάτω, ενώ μια με $a = 0{,}2$ είναι πλατιά και ανοίγει προς τα πάνω.

📊 Κατακόρυφη μετατόπιση: f(x) = ax² + λ

Κατακόρυφη μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ με τύπο $g(x) = ax^2 + \lambda$ , με $a \neq 0$ , $x \in \mathbb{R}$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ , προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση κατά $|\lambda|$ μονάδες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τύπο $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ .

Η προσθήκη του $\lambda$ δεν αλλάζει καθόλου το σχήμα της καμπύλης — αλλάζει μόνο πού βρίσκεται. Για κάθε τιμή του $x$ , η νέα τιμή $g(x) = ax^2 + \lambda$ είναι απλώς η παλιά τιμή $ax^2$ αυξημένη (ή μειωμένη) κατά $\lambda$ . Επειδή αυτό συμβαίνει με τον ίδιο τρόπο για κάθε $x$ , όλη η καμπύλη «γλιστράει» προς τα πάνω ή προς τα κάτω χωρίς να παραμορφώνεται.

Παρατηρήσεις

Αν $\lambda > 0$ , η κατακόρυφη μετατόπιση είναι $\lambda$ μονάδες προς τα πάνω ⬆️.
Αν $\lambda < 0$ , η κατακόρυφη μετατόπιση είναι $|\lambda|$ μονάδες προς τα κάτω ⬇️.

Κορυφή και άξονας συμμετρίας

Η γραφική παράσταση της $g(x) = ax^2 + \lambda$ έχει:

Κορυφή το σημείο $(0, \lambda)$
Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση $x = 0$

Ο άξονας συμμετρίας παραμένει ο ίδιος ( $x = 0$ ) γιατί η μετατόπιση είναι κατακόρυφη — δεν μετακινεί τίποτα αριστερά ή δεξιά, άρα δεν αλλάζει το «κέντρο» της συμμετρίας ως προς τον οριζόντιο άξονα.

📊 Οριζόντια μετατόπιση: f(x) = a(x + κ)²

Οριζόντια μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ με τύπο $g(x) = a(x + \kappa)^2$ , με $a \neq 0$ , $x \in \mathbb{R}$ , $\kappa \in \mathbb{R}$ , προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση κατά $|\kappa|$ μονάδες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τύπο $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ .

Παρατηρήσεις

Αν $\kappa > 0$ , η οριζόντια μετατόπιση είναι $\kappa$ μονάδες προς τα αριστερά ⬅️.
Αν $\kappa < 0$ , η οριζόντια μετατόπιση είναι $|\kappa|$ μονάδες προς τα δεξιά ➡️.

Η κατεύθυνση αντιστρέφεται — πρόσεξε το πρόσημο

Πολλοί μαθητές περιμένουν ότι θετικό $\kappa$ μετακινεί την καμπύλη δεξιά, όπως θα περίμενε κανείς διαισθητικά. Συμβαίνει το αντίθετο: η κορυφή βρίσκεται στο $x = -\kappa$ , άρα θετικό $\kappa$ δίνει αρνητική συντεταγμένη κορυφής, δηλαδή μετατόπιση αριστερά. Ο λόγος είναι ότι για να «αντισταθμιστεί» το $+\kappa$ μέσα στην παρένθεση και να μηδενιστεί ο όρος $(x+\kappa)^2$ (οπότε η συνάρτηση παίρνει την ακρότατη τιμή της), το $x$ πρέπει να πάρει την τιμή $-\kappa$ .

Κορυφή και άξονας συμμετρίας

Η γραφική παράσταση της $g(x) = a(x + \kappa)^2$ έχει:

Κορυφή το σημείο $(-\kappa, 0)$
Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση $x = -\kappa$

📊 Συνδυασμένη μετατόπιση: f(x) = a(x + κ)² + λ

Οι δύο μετατοπίσεις που είδαμε είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους: η μία κινείται πάνω-κάτω, η άλλη αριστερά-δεξιά, και μπορούν να εφαρμοστούν μαζί χωρίς να επηρεάζει η μία την άλλη.

Γενική μετατόπιση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ με τύπο $g(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$ , με $a \neq 0$ , $x \in \mathbb{R}$ , $\kappa, \lambda \in \mathbb{R}$ , προκύπτει από μετατόπιση κατά $|\kappa|$ μονάδες οριζόντια και κατά $|\lambda|$ μονάδες κατακόρυφα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τύπο $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ .

Κορυφή, άξονας συμμετρίας και ακρότατο

Η γραφική παράσταση της $g(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$ έχει:

Κορυφή το σημείο $(-\kappa, \lambda)$
Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση $x = -\kappa$
Ελάχιστη τιμή $\lambda$ , όταν $a > 0$
Μέγιστη τιμή $\lambda$ , όταν $a < 0$

Ο πρακτικός τρόπος να σχεδιάσει κανείς γρήγορα μια τέτοια παραβολή είναι να «διαβάσει» πρώτα την κορυφή $(-\kappa, \lambda)$ απευθείας από τον τύπο, μετά να αποφασίσει αν ανοίγει πάνω ή κάτω από το πρόσημο του $a$ , και τέλος να θυμηθεί ότι όσο μεγαλύτερο είναι το $|a|$ τόσο πιο στενή είναι η καμπύλη γύρω από την κορυφή της.

🔢 Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών ανάλογα με το πρόσημο του a

Για τη συνάρτηση $f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$ , $a \neq 0$ :

Αν $a > 0$ : η $f$ έχει ελάχιστη τιμή $y_{\min} = \lambda$ και σύνολο τιμών $[\lambda, +\infty)$
Αν $a < 0$ : η $f$ έχει μέγιστη τιμή $y_{\max} = \lambda$ και σύνολο τιμών $(-\infty, \lambda]$

Το σύνολο τιμών προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι ο όρος $(x+\kappa)^2$ παίρνει πάντα τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός, με ελάχιστη τιμή το 0 (όταν $x = -\kappa$ ). Έτσι, ο όρος $a(x+\kappa)^2$ παίρνει τιμές από το 0 και πάνω αν $a > 0$ , ή από το 0 και κάτω αν $a < 0$ · προσθέτοντας το $\lambda$ , το σύνολο τιμών μετατοπίζεται αντίστοιχα.

🧮 Πεδίο ορισμού

Πεδίο ορισμού

Για κάθε συνάρτηση της μορφής $f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$ , $a \neq 0$ , το πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}$ .

Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στις πράξεις που εμφανίζονται στον τύπο — ύψωση σε τετράγωνο, πολλαπλασιασμός και πρόσθεση ορίζονται για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ — γι' αυτό η συνάρτηση μπορεί να υπολογιστεί για οποιοδήποτε $x \in \mathbb{R}$ .