Δύναμη σημείου ως προς κύκλο 🔢

Το ερώτημα που μας απασχολεί

Πάρε ένα σημείο $\Sigma$ και έναν κύκλο. Από το $\Sigma$ μπορούμε να φέρουμε άπειρες ευθείες που τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία, δηλαδή άπειρες τέμνουσες. Κάθε τέμνουσα κόβει τον κύκλο σε διαφορετικά σημεία, με διαφορετικά μήκη. Θα περίμενε κανείς ότι το γινόμενο των αποστάσεων του $\Sigma$ από τα δύο σημεία τομής αλλάζει από τέμνουσα σε τέμνουσα. Στην πραγματικότητα, δεν αλλάζει ποτέ: όποια τέμνουσα κι αν φέρουμε, το γινόμενο αυτό βγαίνει πάντα το ίδιο. Αυτή η σταθερότητα είναι η ουσία της ενότητας και οδηγεί στον ορισμό της δύναμης σημείου.

Θεώρημα τεμνουσών από σημείο

Το σημείο $\Sigma$ μπορεί να βρίσκεται είτε εκτός είτε εντός του κύκλου· η ισότητα ισχύει και στις δύο περιπτώσεις, μόνο η απόδειξη διαφέρει ελαφρώς.

📝 Γιατί ισχύει

Το κλειδί είναι ότι σε κάθε περίπτωση μπορούμε να βρούμε δύο τρίγωνα όμοια — δηλαδή με το ίδιο σχήμα αλλά ενδεχομένως διαφορετικό μέγεθος — και η ομοιότητα μεταφράζεται σε ίσους λόγους πλευρών, από τους οποίους προκύπτει η ισότητα γινομένων.

Περίπτωση 1: Το σημείο $\Sigma$ βρίσκεται εκτός του κύκλου.

Τα τρίγωνα $\Sigma A\Delta$ και $\Sigma \Gamma B$ είναι όμοια, γιατί έχουν κοινή γωνία στην κορυφή $\Sigma$ και ίσες εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο $A\Gamma$:

Περίπτωση 2: Το σημείο $\Sigma$ βρίσκεται εντός του κύκλου.

Εδώ οι δύο χορδές τέμνονται μέσα στον κύκλο, οπότε τα τρίγωνα $\Sigma A\Delta$ και $\Sigma \Gamma B$ έχουν κατακορυφήν γωνίες στο $\Sigma$ (αντί για κοινή γωνία) και πάλι ίσες εγγεγραμμένες γωνίες στο τόξο $A\Gamma$. Είναι λοιπόν όμοια για τον ίδιο ουσιαστικά λόγο:

Παρατήρηση

Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτομένης

Τι συμβαίνει αν, αντί για δύο τέμνουσες, φέρουμε από το $\Sigma$ μία τέμνουσα και μία εφαπτομένη; Η εφαπτομένη μπορεί να θεωρηθεί ως οριακή περίπτωση τέμνουσας, στην οποία τα δύο σημεία τομής «συμπίπτουν» σε ένα. Το θεώρημα τεμνουσών προσαρμόζεται φυσικά σε αυτή την περίπτωση:

📝 Γιατί ισχύει

Τα τρίγωνα $\Sigma A\Gamma$ και $\Sigma \Gamma B$ είναι όμοια, γιατί έχουν κοινή γωνία στην κορυφή $\Sigma$ και ίσες γωνίες λόγω του Θεωρήματος Χορδής – Εφαπτομένης (η γωνία ανάμεσα σε εφαπτομένη και χορδή ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο):

Παρατήρησε ότι στη θέση του γινομένου $(\Sigma \Gamma)(\Sigma \Delta)$ του θεωρήματος τεμνουσών εμφανίζεται τώρα $(\Sigma \Gamma)^2$: το ίδιο σημείο $\Gamma$ παίζει τον ρόλο και των δύο σημείων τομής, αφού η εφαπτομένη ακουμπά τον κύκλο μόνο εκεί.

Πόρισμα: σύνδεση του γινομένου με την ακτίνα και την απόσταση

Το γινόμενο $(\Sigma A)(\Sigma B)$ είναι σταθερό για το $\Sigma$, αλλά προς το παρόν το υπολογίζουμε μόνο μέσω χορδών ή εφαπτομένων. Θα ήταν πιο βολικό να μπορούμε να το βρούμε απευθείας από δύο μεγέθη που περιγράφουν τη σχέση του $\Sigma$ με τον κύκλο: την ακτίνα $R$ του κύκλου και την απόσταση $\delta$ του σημείου από το κέντρο. Αυτό ακριβώς πετυχαίνει το ακόλουθο πόρισμα, επιλέγοντας ως τέμνουσα την ευθεία που περνά από το κέντρο $K$.

📝 Γιατί ισχύει

Επιλέγουμε ως τέμνουσα την ευθεία $\Sigma K$, που περνά από το κέντρο. Αυτή κόβει τον κύκλο σε δύο σημεία, τα οποία απέχουν από το $\Sigma$ αποστάσεις $\delta - R$ και $\delta + R$ (ή $R - \delta$ και $R + \delta$, αν το $\Sigma$ είναι εντός του κύκλου). Πολλαπλασιάζοντας τις δύο αποστάσεις:

(α) $(\Sigma A)(\Sigma B) = (\delta - R)(\delta + R) = \delta^2 - R^2$

(β) $(\Sigma A)(\Sigma B) = (R - \delta)(R + \delta) = R^2 - \delta^2$

Επειδή το γινόμενο είναι το ίδιο για κάθε τέμνουσα από το $\Sigma$ (θεώρημα τεμνουσών), η τιμή που βρίσκουμε με αυτή την ειδική επιλογή ισχύει για όλες τις τέμνουσες.

Ορισμός δύναμης σημείου

Η ποσότητα $\delta^2 - R^2$ εμφανίστηκε φυσικά στο πόρισμα ως το κοινό γινόμενο $(\Sigma A)(\Sigma B)$ για κάθε τέμνουσα από το $\Sigma$. Επειδή εξαρτάται μόνο από τη θέση του $\Sigma$ και όχι από την τέμνουσα που επιλέγουμε, της δίνουμε ένα δικό της όνομα και σύμβολο.

Ο ορισμός καλύπτει και τις τρεις δυνατές θέσεις του σημείου (εκτός, εντός, πάνω στον κύκλο) με έναν και μόνο τύπο — δεν χρειάζεται πλέον να ξεχωρίζουμε περιπτώσεις με διαφορετικό πρόσημο, όπως στο πόρισμα: το πρόσημο του $\Delta_\kappa(\Sigma)$ προκύπτει αυτόματα από τη σύγκριση $\delta$ και $R$.

Θέση σημείου ως προς κύκλο

Επειδή το πρόσημο του $\delta^2 - R^2$ εξαρτάται αποκλειστικά από το αν $\delta$ είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη από $R$, η δύναμη σημείου δίνει αμέσως πληροφορία για τη θέση του σημείου, χωρίς να χρειάζεται σύγκριση αποστάσεων ή σχέδιο.