Όμοια ευθύγραμμα σχήματα 🔺

📐 Τι σημαίνει «ίδιο σχήμα»

Δύο φωτογραφίες του ίδιου τοπίου, μία μικρή και μία μεγεθυμένη, δείχνουν ακριβώς το ίδιο πράγμα σε διαφορετικό μέγεθος. Τίποτα δεν «στραβώνει»: κάθε λεπτομέρεια μεγαλώνει με τον ίδιο ακριβώς ρυθμό προς κάθε κατεύθυνση. Αυτή είναι η ιδέα πίσω από την ομοιότητα σχημάτων στη γεωμετρία.

Για να περιγράψουμε μαθηματικά αυτή τη σχέση χρειαζόμαστε δύο ξεχωριστές συνθήκες, γιατί το «ίδιο σχήμα» κρύβει μέσα του δύο διαφορετικά πράγματα:

Οι γωνίες πρέπει να μένουν ίδιες — αλλιώς το σχήμα «στραβώνει» (ένα τετράγωνο που γίνεται ρόμβος δεν είναι απλώς μεγεθυμένο τετράγωνο).
Οι πλευρές πρέπει να μεγαλώνουν ή να μικραίνουν όλες με τον ίδιο ρυθμό — αλλιώς το σχήμα «παραμορφώνεται» (ένα τετράγωνο που γίνεται ορθογώνιο έχει ίσες γωνίες αλλά όχι ίδιο σχήμα).

Γι' αυτό ο ορισμός απαιτεί και τα δύο ταυτόχρονα:

Ορισμός

Δύο πολύγωνα λέγονται όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Συμβολίζουμε τη σχέση ομοιότητας δύο πολυγώνων με το σύμβολο $\approx$ . Αν τα πολύγωνα $ΑΒΓΔ$ και $Α'Β'Γ'Δ'$ είναι όμοια, γράφουμε $ΑΒΓΔ \approx Α'Β'Γ'Δ'$ και ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο συνθήκες:

\frac{ΑΒ}{Α'Β'} = \frac{ΒΓ}{Β'Γ'} = \frac{ΓΔ}{Γ'Δ'} = \frac{ΑΔ}{Α'Δ'}

\hat{A} = \hat{A}', \quad \hat{B} = \hat{B}', \quad \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}', \quad \hat{\Delta} = \hat{\Delta}'

Δεν αρκεί η μία συνθήκη

Ίσες γωνίες χωρίς ανάλογες πλευρές δεν εγγυώνται ομοιότητα (π.χ. ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο έχουν όλες τις γωνίες 90° αλλά διαφορετικό σχήμα). Αντίστροφα, ανάλογες πλευρές χωρίς ίσες γωνίες επίσης δεν αρκούν. Χρειάζονται και οι δύο συνθήκες μαζί — αυτό είναι το σημείο που ξεχνούν συχνά οι μαθητές.

🔤 Ομόλογα στοιχεία: πώς αντιστοιχίζουμε τα δύο σχήματα

Η λέξη «ομόλογο» εμφανίζεται συνέχεια στην ομοιότητα, γιατί κάθε φορά που συγκρίνουμε δύο όμοια σχήματα πρέπει να ξέρουμε ποιο στοιχείο του ενός αντιστοιχεί σε ποιο στοιχείο του άλλου. Χωρίς αυτή την αντιστοίχιση, μια αναλογία ανάμεσα σε πλευρές δεν έχει νόημα — δεν θα ξέραμε ποια πλευρά να διαιρέσουμε με ποια.

Οι κορυφές των ίσων γωνιών δύο ομοίων πολυγώνων λέγονται ομόλογες κορυφές. Στον συμβολισμό $ΑΒΓΔ \approx Α'Β'Γ'Δ'$ το $Α$ είναι ομόλογο του $Α'$ , το $Β$ του $Β'$ κ.ο.κ. — γι' αυτό γράφουμε πάντα τις κορυφές των δύο σχημάτων στην ίδια σειρά.
Οι πλευρές που ενώνουν ομόλογες κορυφές λέγονται ομόλογες πλευρές: η $ΑΒ$ είναι ομόλογη της $Α'Β'$ , αφού και οι δύο συνδέουν την πρώτη με τη δεύτερη κορυφή του κάθε σχήματος.
Οι διάμεσοι, διχοτόμοι και ύψη ομοίων τριγώνων που ξεκινούν από ομόλογες κορυφές λέγονται αντίστοιχα ομόλογες διάμεσοι, ομόλογοι διχοτόμοι και ομόλογα ύψη.

Η σειρά γραφής δεν είναι τυχαία

Όταν γράφουμε $ΑΒΓΔ \approx Α'Β'Γ'Δ'$ , η σειρά των γραμμάτων δηλώνει την αντιστοιχία των κορυφών. Αν αλλάξουμε τη σειρά (π.χ. γράψουμε $ΑΒΓΔ \approx Β'Α'Δ'Γ'$ ) αλλάζουμε ποιες πλευρές θεωρούνται ομόλογες, οπότε οι αναλογίες που θα γράψουμε πρέπει να αλλάξουν ανάλογα. Πριν στήσουμε οποιαδήποτε αναλογία, ελέγχουμε προσεκτικά ποια κορυφή αντιστοιχεί σε ποια.

📏 Ο λόγος ομοιότητας: ένας αριθμός που περιγράφει όλη τη μεγέθυνση

Αφού όλες οι ομόλογες πλευρές δύο όμοιων σχημάτων έχουν τον ίδιο λόγο μεταξύ τους, αυτός ο κοινός λόγος αξίζει το δικό του όνομα και σύμβολο — μας λέει με μία μόνο τιμή πόσο «μεγαλύτερο» ή «μικρότερο» είναι το ένα σχήμα από το άλλο.

Ορισμός

Λόγος ομοιότητας δύο ομοίων πολυγώνων είναι ο λόγος δύο ομόλογων πλευρών τους και συμβολίζεται με $\lambda$ .

Για δύο όμοια πολύγωνα $ΑΒΓΔ$ και $Α'Β'Γ'Δ'$ :

\lambda = \frac{ΑΒ}{Α'Β'} = \frac{ΒΓ}{Β'Γ'} = \frac{ΓΔ}{Γ'Δ'} = \frac{ΑΔ}{Α'Δ'}

Αν $\lambda > 1$ , το πρώτο σχήμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο. Αν $\lambda < 1$ , είναι μικρότερο. Αν $\lambda = 1$ , τα δύο σχήματα έχουν ίσες πλευρές — δηλαδή είναι απλώς ίσα.

Ο ίδιος σταθερός ρυθμός μεγέθυνσης που ισχύει για τις πλευρές, ισχύει φυσικά και για κάθε ευθύγραμμο τμήμα που εξαρτάται από το πολύγωνο με τον ίδιο τρόπο και στα δύο τρίγωνα:

Δεν είναι μόνο οι πλευρές

Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια, τότε ο λόγος των ομόλογων διαμέσων, ομόλογων διχοτόμων και ομόλογων υψών είναι επίσης ίσος με τον λόγο ομοιότητας $\lambda$ των δύο τριγώνων — όχι μόνο ο λόγος των πλευρών. Μαθητές συχνά ξεχνούν ότι η ίδια κλιμάκωση $\lambda$ διαπερνά όλο το σχήμα, όχι μόνο τις πλευρές του.

📌 Πώς κλιμακώνονται η περίμετρος και το εμβαδόν

Ενώ οι πλευρές (και κάθε μήκος του πολυγώνου) πολλαπλασιάζονται απλώς επί $\lambda$ , η περίμετρος και το εμβαδόν δεν συμπεριφέρονται το ίδιο μεταξύ τους — και το γιατί αξίζει να το καταλάβουμε, όχι μόνο να το θυμόμαστε.

Πρόταση

Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια, τότε:

(α) Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

(β) Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

✏️ Γιατί ισχύει αυτό

Θεωρούμε δύο όμοια τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ με λόγο ομοιότητας $\lambda$ , και τα ομόλογα ύψη τους $ΑΔ$ και $Α'Δ'$ .

(α) Η περίμετρος είναι άθροισμα μηκών, και κάθε μήκος πολλαπλασιάζεται επί $\lambda$ — άρα και το άθροισμά τους:

\lambda = \frac{ΑΒ}{Α'Β'} = \frac{ΒΓ}{Β'Γ'} = \frac{ΑΓ}{Α'Γ'} = \frac{ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ}{Α'Β' + Β'Γ' + Α'Γ'} = \frac{Π_{ΑΒΓ}}{Π_{Α'Β'Γ'}}

(β) Το εμβαδόν όμως είναι γινόμενο δύο μηκών (βάση επί ύψος, διά δύο), και το κάθε ένα από αυτά τα δύο μήκη πολλαπλασιάζεται επί $\lambda$ . Γι' αυτό το εμβαδόν πολλαπλασιάζεται επί $\lambda \cdot \lambda = \lambda^2$ , όχι επί $\lambda$ :

\lambda^2 = \frac{ΒΓ}{Β'Γ'} \cdot \frac{ΑΔ}{Α'Δ'} = \frac{2E_{ΑΒΓ}}{2E_{Α'Β'Γ'}} = \frac{E_{ΑΒΓ}}{E_{Α'Β'Γ'}}

Η πιο συχνή παγίδα

Αν διπλασιάσουμε τις πλευρές ενός τριγώνου ( $\lambda = 2$ ), η περίμετρος διπλασιάζεται κι αυτή, αλλά το εμβαδόν τετραπλασιάζεται ( $\lambda^2 = 4$ ), όχι διπλασιάζεται. Είναι το πιο συνηθισμένο λάθος στην ομοιότητα: το να περάσουμε τον λόγο $\lambda$ στο εμβαδόν χωρίς να τον υψώσουμε στο τετράγωνο.

Αυτή η σχέση δεν περιορίζεται σε τρίγωνα — κάθε πολύγωνο χωρίζεται σε τρίγωνα, οπότε το ίδιο επιχείρημα γενικεύεται:

Γενίκευση

Γενικά, αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε:

(α) Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

(β) Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

🔷 Μια ειδική περίπτωση: τα κανονικά πολύγωνα

Υπάρχει μια οικογένεια σχημάτων όπου η ομοιότητα είναι εγγυημένη χωρίς να χρειάζεται καν να το ελέγξουμε: τα κανονικά πολύγωνα. Αφού όλες οι πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών ικανοποιούν αυτόματα και τις δύο συνθήκες της ομοιότητας.

📝 Όλα τα κανονικά πολύγωνα που έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια μεταξύ τους (π.χ. όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα, όλα τα τετράγωνα, όλα τα κανονικά εξάγωνα).
📝 Στην επίλυση ασκήσεων συμβολίζουμε τα όμοια πολύγωνα με τέτοιο τρόπο ώστε οι ομόλογες κορυφές των δύο πολυγώνων να βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις, ακριβώς για να αποφύγουμε το λάθος της λανθασμένης αντιστοίχισης που είδαμε στην ορολογία.