Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας 🔢

📐 Η εξίσωση ευθείας από δύο σημεία

Μια ευθεία ορίζεται πλήρως από δύο σημεία της: υπάρχει ακριβώς μία ευθεία που περνά από δύο δοσμένα σημεία. Το ερώτημα είναι πώς μετατρέπουμε αυτή τη γεωμετρική πληροφορία (δύο σημεία) σε μια εξίσωση που περιγράφει όλα τα σημεία της ευθείας.

Η ιδέα είναι η εξής: αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο $M(x, y)$ πάνω στην ευθεία, τότε η κλίση που υπολογίζεται από το $M$ και το $A$ πρέπει να είναι ίδια με την κλίση που υπολογίζεται από το $A$ και το $B$ — αφού και τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, η «απότομη» με την οποία ανεβοκατεβαίνει η ευθεία είναι σταθερή παντού πάνω της. Αυτή η απλή παρατήρηση οδηγεί κατευθείαν στην εξίσωση.

Πρόταση - Εξίσωση ευθείας από δύο σημεία

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ με $x_1 \neq x_2$ είναι:

\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

ή ισοδύναμα:

y - y_1 = \lambda(x - x_1)

όπου $\lambda$ είναι η κλίση της ευθείας $AB$ .

Στην περίπτωση που $x_1 = x_2$ , τότε η ευθεία $AB$ έχει εξίσωση $x = x_1$ .

Η δεύτερη μορφή, $y - y_1 = \lambda(x - x_1)$ , είναι η πιο χρήσιμη στην πράξη: αρκεί να ξέρουμε ένα σημείο της ευθείας και την κλίση της για να γράψουμε αμέσως την εξίσωσή της, χωρίς να χρειάζεται δεύτερο σημείο.

🔍 Απόδειξη

Έστω $M(x, y)$ τυχαίο σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ , και είναι διαφορετικό από τα $A$ και $B$ . Αν $x_1 \neq x_2$ , οι κλίσεις των $AM$ και $AB$ ορίζονται και είναι ίσες μεταξύ τους, επειδή τα τρία σημεία $A$ , $B$ , $M$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως:

\lambda_{AM} = \lambda_{AB} \Leftrightarrow \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \Leftrightarrow y - y_1 = \lambda(x - x_1)

📝 Οι δύο ειδικές περιπτώσεις: οριζόντια και κατακόρυφη ευθεία

Ο τύπος της κλίσης $\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ έχει έναν παρονομαστή, οπότε χρειάζεται προσοχή όταν αυτός μηδενίζεται ή όταν ο αριθμητής μηδενίζεται. Οι δύο αυτές ειδικές περιπτώσεις αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικούς, εύκολα αναγνωρίσιμους τύπους ευθειών.

Ειδικές περιπτώσεις ευθειών

Αν $y_1 = y_2$ , $x_1 \neq x_2$ και $M(x, y)$ τυχαίο σημείο της ευθείας, τότε οι κλίσεις των $AM$ και $AB$ ορίζονται και είναι ίσες με μηδέν. Επομένως:

\lambda_{AM} = \frac{y - y_1}{x - x_1} = 0 \Leftrightarrow y = y_1

Η ευθεία είναι οριζόντια.

Αν $x_1 = x_2$ , $y_1 \neq y_2$ και $M(x, y)$ τυχαίο σημείο της ευθείας, τότε η κλίση της $AB$ δεν ορίζεται. Επομένως, δεν ορίζεται η κλίση της $AM$ $\left(\lambda_{AM} = \frac{y - y_1}{x - x_1}\right)$ , δηλαδή:

x - x_1 = 0 \Leftrightarrow x = x_1

Η ευθεία είναι κατακόρυφη.

Η λογική πίσω από αυτές τις δύο περιπτώσεις είναι διαισθητική: αν δύο σημεία έχουν το ίδιο $y$ , η ευθεία τους δεν «ανεβαίνει» ούτε «κατεβαίνει» καθόλου — είναι οριζόντια, με κλίση μηδέν. Αν δύο σημεία έχουν το ίδιο $x$ , η ευθεία τους είναι κατακόρυφη· εκεί η έννοια της κλίσης δεν έχει νόημα, γιατί θα σήμαινε διαίρεση με το μηδέν.

📏 Τι είναι η γωνία δύο ευθειών

Όταν δύο ευθείες τέμνονται, σχηματίζουν στην πραγματικότητα δύο ζεύγη κατακορυφήν γωνιών, δηλαδή δύο διαφορετικές τιμές γωνίας (εκτός αν είναι κάθετες, οπότε όλες οι γωνίες είναι $90°$ ). Χρειάζεται λοιπόν μια σύμβαση για το ποια από αυτές ονομάζουμε «τη» γωνία των δύο ευθειών.

Ορισμός - Γωνία δύο ευθειών

Γωνία δύο ευθειών $(\varepsilon_1)$ και $(\varepsilon_2)$ ονομάζεται η θετική κυρτή γωνία με αρχική πλευρά την ευθεία $(\varepsilon_1)$ και τελική πλευρά την ευθεία $(\varepsilon_2)$ , ή με αρχική πλευρά την ευθεία $(\varepsilon_2)$ και τελική πλευρά την ευθεία $(\varepsilon_1)$ .

🔎 Παρατηρήσεις

Από τον ορισμό προκύπτει ότι όταν οι ευθείες $(\varepsilon_1)$ και $(\varepsilon_2)$ δεν είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε σχηματίζονται δύο παραπληρωματικές γωνίες, η μια οξεία και η άλλη αμβλεία. Ο ορισμός επιλέγει πάντα τη θετική κυρτή γωνία ανάμεσα στις δύο, χωρίς να μας ενδιαφέρει αν είναι η οξεία ή η αμβλεία.
Αν οι ευθείες συμπίπτουν (ταυτίζονται), τότε η γωνία μεταξύ τους είναι $0°$ ή $180°$ , αφού στην ουσία δεν υπάρχει «άνοιγμα» ανάμεσά τους.

📊 Πώς υπολογίζουμε τη γωνία δύο ευθειών από τις κλίσεις τους

Το γεωμετρικό μέγεθος «γωνία δύο ευθειών» μπορεί να υπολογιστεί αλγεβρικά, χωρίς σχέδιο, αν γνωρίζουμε τις κλίσεις των δύο ευθειών. Αυτό είναι πολύ χρήσιμο: αντί να μετράμε γωνίες, δουλεύουμε μόνο με αριθμούς.

Πρόταση - Εφαπτομένη γωνίας δύο ευθειών

Αν $\theta$ είναι η γωνία δύο μη παράλληλων ή κάθετων ευθειών $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ με αρχική πλευρά την $(\varepsilon_1)$ και τελική πλευρά την $(\varepsilon_2)$ , οι οποίες έχουν κλίσεις $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ αντίστοιχα, και δεν είναι παράλληλες με τον άξονα των τεταγμένων, τότε ισχύει:

\varepsilon\varphi\theta = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{1 + \lambda_1 \lambda_2}

Ο τύπος αυτός απαιτεί οι δύο κλίσεις να ορίζονται, δηλαδή καμία από τις δύο ευθείες να μην είναι κατακόρυφη· γι' αυτό ο ορισμός του αναφέρεται ρητά σε ευθείες «που δεν είναι παράλληλες με τον άξονα των τεταγμένων». Η περίπτωση όπου μια ευθεία είναι κατακόρυφη αντιμετωπίζεται ξεχωριστά.

🔗 Παράλληλες και κάθετες ευθείες: τι λένε οι κλίσεις

Δύο ειδικές σχετικές θέσεις ευθειών —παράλληλες και κάθετες— αντιστοιχούν σε πολύ απλές σχέσεις ανάμεσα στις κλίσεις τους, και αξίζει να τις ξεχωρίσουμε από τον γενικό τύπο της εφαπτομένης.

Παράλληλες ευθείες

Αν οι δύο ευθείες $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ είναι παράλληλες, τότε δεν σχηματίζεται γωνία μεταξύ τους, αφού δεν τέμνονται. Δύο μη κατακόρυφες ευθείες είναι παράλληλες ακριβώς όταν έχουν την ίδια κλίση, δηλαδή $\lambda_1 = \lambda_2$ .

Κάθετες ευθείες

Αν οι δύο ευθείες είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους είναι $90°$ και ισχύει η σχέση:

\lambda_1 \cdot \lambda_2 + 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1

Η σχέση $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ λέει κάτι πολύ συγκεκριμένο: οι δύο κλίσεις έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο, και η μία είναι η αντίστροφη τιμή της άλλης με αλλαγμένο πρόσημο (π.χ. αν $\lambda_1 = 2$ , τότε $\lambda_2 = -\frac{1}{2}$ ). Αυτό ταιριάζει με τη διαίσθηση: μια ευθεία με μεγάλη κλίση (πολύ «απότομη») είναι κάθετη σε μια ευθεία με πολύ μικρή κλίση (σχεδόν οριζόντια).

Ειδική περίπτωση κάθετων ευθειών

Στην ειδική περίπτωση των δύο κάθετων μεταξύ τους ευθειών οι οποίες έχουν εξισώσεις $x = a$ και $y = \beta$ , με $a, \beta \in \mathbb{R}$ , δεν ισχύει η σχέση $\lambda_1 \cdot \lambda_2 + 1 = 0$ . Ο λόγος είναι απλός: η κατακόρυφη ευθεία $x = a$ δεν έχει καθορισμένη κλίση, οπότε το γινόμενο $\lambda_1 \cdot \lambda_2$ δεν έχει καν νόημα να υπολογιστεί εδώ, παρόλο που οι δύο ευθείες είναι όντως κάθετες.

📐 Η οξεία γωνία μιας ευθείας με μια κατακόρυφη ευθεία

Επειδή ο τύπος της εφαπτομένης δεν καλύπτει την περίπτωση όπου μια ευθεία είναι κατακόρυφη (δεν ορίζεται κλίση για αυτήν), χρειάζεται ξεχωριστός τρόπος υπολογισμού της γωνίας σε αυτή την περίπτωση.

Γωνία ευθείας με τον άξονα τεταγμένων

Αν η μία από τις δύο ευθείες (π.χ. η $(\varepsilon_2)$ ) είναι παράλληλη με τον άξονα των τεταγμένων (η $\lambda_2$ δεν ορίζεται) και για την ευθεία $\varepsilon_1$ γνωρίζουμε ότι $\lambda_1 = \varepsilon\varphi\omega$ , τότε για την οξεία γωνία $\theta$ των δύο ευθειών ισχύει:

Αν $\lambda_1 > 0$ :

\varepsilon\varphi\theta = \frac{1}{\lambda_1}

Αν $\lambda_1 < 0$ :

\varepsilon\varphi\theta = -\frac{1}{\lambda_1}

Η ιδέα εδώ είναι ότι η γωνία μιας ευθείας με τον κατακόρυφο άξονα είναι η συμπληρωματική της γωνίας που η ίδια ευθεία σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα. Επειδή η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συμπληρωματικών γωνιών συνδέονται με απλή αντιστροφή, προκύπτει το $\frac{1}{\lambda_1}$ .

✅ Απόδειξη (οξεία γωνία με άξονα τεταγμένων)

Έχουμε:

\theta + \omega = 90° \Rightarrow \theta = 90° - \omega \Rightarrow \varepsilon\varphi\theta = \varepsilon\varphi(90° - \omega) \Rightarrow \varepsilon\varphi\theta = \sigma\varphi\omega = \frac{1}{\varepsilon\varphi\omega} = \frac{1}{\lambda_1}

✅ Το κριτήριο καθετότητας: γιατί ισχύει

Η σχέση $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ δεν είναι απλώς μια παρατήρηση — είναι ένα κριτήριο αν και μόνο αν: μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι κάθετες γνωρίζοντας τις κλίσεις τους, και αντίστροφα, για να βρούμε την κλίση μιας ευθείας κάθετης σε άλλη γνωστή ευθεία.

Πρόταση - Κριτήριο καθετότητας

Οι ευθείες $(\varepsilon_1): y = \lambda_1 x + \beta_1$ και $(\varepsilon_2): y = \lambda_2 x + \beta_2$ με $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ είναι κάθετες αν και μόνον αν $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ .

🔍 Απόδειξη

Οι ευθείες $(\varepsilon_1)$ και $(\varepsilon_2)$ είναι κάθετες μεταξύ τους και σχηματίζουν προσανατολισμένες γωνίες με τον άξονα των τετμημένων $\theta_1$ και $\theta_2$ , αντίστοιχα.

Ισχύει ότι $\theta_1 = 90° + \theta_2$ , αφού η $\theta_1$ είναι εξωτερική γωνία τριγώνου που σχηματίζεται από τις δύο ευθείες και τον άξονα των τετμημένων. Επομένως:

\theta_1 = 90° + \theta_2 \Rightarrow \varepsilon\varphi\theta_1 = \varepsilon\varphi(90° + \theta_2) = -\sigma\varphi\theta_2 = -\frac{1}{\varepsilon\varphi\theta_2} \Rightarrow \lambda_1 = -\frac{1}{\lambda_2} \Rightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1

Αντίστροφα, αν ισχύει $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ , τότε:

\varepsilon\varphi\theta_1 \cdot \varepsilon\varphi\theta_2 = -1 \Rightarrow \varepsilon\varphi\theta_1 = -\frac{1}{\varepsilon\varphi\theta_2} = -\sigma\varphi\theta_2 \Rightarrow \varepsilon\varphi\theta_1 = \varepsilon\varphi(90° + \theta_2)

Επιπλέον, αφού $0° < \theta_1 < 180°$ , $0° < \theta_2 < 180°$ , τότε $\theta_1 = 90° + \theta_2$ .

Επομένως, οι ευθείες $(\varepsilon_1)$ , $(\varepsilon_2)$ είναι κάθετες μεταξύ τους. Επειδή κάθε βήμα αυτού του συλλογισμού είναι αντιστρέψιμο, το κριτήριο ισχύει και προς τις δύο κατευθύνσεις: η καθετότητα συνεπάγεται $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ , και η σχέση $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1$ συνεπάγεται καθετότητα.