Ορίζουσες 📐

Τι είναι πίνακας — και γιατί μας χρειάζεται

Πολλές φορές θέλουμε να καταγράψουμε αριθμούς που είναι οργανωμένοι σε γραμμές και στήλες — για παράδειγμα τους συντελεστές ενός συστήματος εξισώσεων. Κάθε τέτοια ορθογώνια διάταξη αριθμών ονομάζεται πίνακας, και οι αριθμοί που τον απαρτίζουν λέγονται στοιχεία του πίνακα.

Ορισμός πίνακα

Κάθε ορθογώνια διάταξη αντικειμένων σε γραμμές και στήλες ονομάζεται πίνακας. Όταν ο αριθμός των γραμμών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών, ο πίνακας ονομάζεται τετραγωνικός.

Οι τετραγωνικοί πίνακες έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, γιατί μόνο σε αυτούς μπορούμε να ορίσουμε μια νέα έννοια: την ορίζουσα. Δύο παραδείγματα τετραγωνικών πινάκων:

Ο πίνακας $A = \begin{pmatrix} a & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ έχει 2 γραμμές και 2 στήλες, άρα είναι τετραγωνικός πίνακας $2 \times 2$ .
Ο πίνακας $B = \begin{pmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{pmatrix}$ έχει 3 γραμμές και 3 στήλες, άρα είναι τετραγωνικός πίνακας $3 \times 3$ .

Ορίζουσες $2 \times 2$ 🔢

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένας μοναδικός αριθμός που «κρύβεται» μέσα στα στοιχεία του πίνακα και προκύπτει από αυτά μέσω ενός συγκεκριμένου υπολογισμού. Στη συνέχεια, θα δούμε γιατί αυτός ο αριθμός είναι τόσο χρήσιμος — για την ώρα ας δούμε πώς υπολογίζεται.

Για τον τετραγωνικό $2 \times 2$ πίνακα $A = \begin{pmatrix} a & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ , η ορίζουσα συμβολίζεται με $\begin{vmatrix} a & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix}$ ή $|A|$ ή $\det(A)$ .

Ανάπτυγμα ορίζουσας 2×2

Το ανάπτυγμα της ορίζουσας ισούται με:

\det(A) = \begin{vmatrix} a & \beta \\ \gamma & \delta \end{vmatrix} = a\delta - \beta\gamma

Δηλαδή: γινόμενο της κύριας διαγωνίου ( $a\delta$ ) μείον γινόμενο της δευτερεύουσας διαγωνίου ( $\beta\gamma$ ).

Η ορίζουσα ορίζεται ΜΟΝΟ σε τετραγωνικό πίνακα

Αν ένας πίνακας δεν έχει ίσο αριθμό γραμμών και στηλών, δεν ορίζεται ορίζουσα γι' αυτόν — η έννοια απλά δεν έχει νόημα εκεί. Πριν υπολογίσεις ορίζουσα, έλεγξε πάντα πρώτα ότι ο πίνακας είναι τετραγωνικός.

Ορίζουσες $3 \times 3$ 🔢

Η ίδια ιδέα επεκτείνεται και σε τετραγωνικούς πίνακες $3 \times 3$ . Για τον πίνακα $A = \begin{pmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{pmatrix}$ , η ορίζουσα συμβολίζεται με $\begin{vmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{vmatrix}$ ή με $|A|$ ή με $\det(A)$ .

Εδώ όμως δεν υπάρχει μια απλή διαγώνια αφαίρεση όπως στην περίπτωση $2 \times 2$ — χρειαζόμαστε πιο οργανωμένη μέθοδο. Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι για να υπολογίσουμε το ανάπτυγμα μιας ορίζουσας $3 \times 3$ , και καταλήγουν πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα.

1️⃣ Ανάπτυξη κατά τα στοιχεία γραμμής ή στήλης

Η βασική ιδέα είναι να «σπάσουμε» τη μεγάλη ορίζουσα $3 \times 3$ σε μικρότερες ορίζουσες $2 \times 2$ , που ήδη ξέρουμε να υπολογίζουμε. Επιλέγουμε μια γραμμή (ή στήλη) και, για κάθε στοιχείο της, «διαγράφουμε νοητά» τη γραμμή και τη στήλη στην οποία ανήκει· ό,τι απομένει είναι μια ορίζουσα $2 \times 2$ , που ονομάζεται συμπληρωματική ορίζουσα εκείνου του στοιχείου.

Κάθε στοιχείο συνοδεύεται επιπλέον από ένα πρόσημο $+$ ή $-$ , το οποίο εναλλάσσεται σκακιστικά ανάλογα με τη θέση (γραμμή, στήλη) του στοιχείου:

\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}

Το πρόσημο μιας θέσης προκύπτει έτσι: αν το άθροισμα του αριθμού γραμμής και του αριθμού στήλης είναι άρτιο, το πρόσημο είναι $+$ · αν είναι περιττό, είναι $-$ .

Ανάπτυξη κατά στοιχεία 1ης γραμμής

Αναπτύσσοντας κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής, κάθε στοιχείο πολλαπλασιάζεται με το δικό του πρόσημο και τη δική του συμπληρωματική ορίζουσα $2 \times 2$ :

\begin{vmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{vmatrix} = +a \cdot \begin{vmatrix} \varepsilon & \zeta \\ \theta & \iota \end{vmatrix} - \beta \cdot \begin{vmatrix} \delta & \zeta \\ \eta & \iota \end{vmatrix} + \gamma \cdot \begin{vmatrix} \delta & \varepsilon \\ \eta & \theta \end{vmatrix}

Η επιλογή γραμμής/στήλης είναι ελεύθερη

Η ανάπτυξη μπορεί να γίνει κατά τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης — το αποτέλεσμα είναι πάντα το ίδιο. Στην πράξη, συμφέρει να επιλέγουμε τη γραμμή ή στήλη με τα περισσότερα μηδενικά, γιατί οι όροι που πολλαπλασιάζονται με μηδέν μηδενίζονται αμέσως και γλιτώνουμε υπολογισμούς.

2️⃣ Κανόνας του Sarrus

Ο κανόνας του Sarrus είναι ένας πιο μηχανικός, εναλλακτικός τρόπος να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, χωρίς να σκεφτόμαστε πρόσημα θέσεων.

Κανόνας Sarrus

Γράφουμε ξανά τις δύο πρώτες στήλες της ορίζουσας στα δεξιά της. Σχηματίζονται έτσι έξι διαγώνιοι με τρία στοιχεία η καθεμία:

Τα γινόμενα κατά μήκος των διαγωνίων προς τα κάτω παίρνουν πρόσημο $+$
Τα γινόμενα κατά μήκος των διαγωνίων προς τα πάνω παίρνουν πρόσημο $-$

\begin{vmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{vmatrix} = a\varepsilon\iota + \beta\zeta\eta + \gamma\delta\theta - \eta\varepsilon\gamma - \theta\zeta a - \iota\delta\beta

Ο κανόνας Sarrus ισχύει ΜΟΝΟ για 3×3

Ο κανόνας του Sarrus λειτουργεί αποκλειστικά για ορίζουσες $3 \times 3$ . Δεν υπάρχει ανάλογο «κόλπο» με επέκταση στηλών για μεγαλύτερους πίνακες — εκεί χρησιμοποιείται μόνο η ανάπτυξη κατά γραμμή ή στήλη.

Ιδιότητα Ορίζουσας $3 \times 3$ ✏️

Οι ορίζουσες έχουν ιδιότητες που μας βοηθούν να τις υπολογίζουμε πιο εύκολα, χωρίς να χρειάζεται να ξαναγράφουμε ολόκληρο το ανάπτυγμα κάθε φορά. Μία βασική ιδιότητα αφορά τι συμβαίνει όταν αφαιρούμε τα στοιχεία μιας στήλης από τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης στήλης.

Ιδιότητα: αφαίρεση στηλών

Αν από τα στοιχεία μιας στήλης μιας ορίζουσας $3 \times 3$ αφαιρέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης στήλης, η τιμή της ορίζουσας δεν αλλάζει:

\begin{vmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a - \beta & \beta & \gamma \\ \delta - \varepsilon & \varepsilon & \zeta \\ \eta - \theta & \theta & \iota \end{vmatrix}

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη γιατί μας επιτρέπει να «απλοποιήσουμε» μια ορίζουσα πριν την αναπτύξουμε — για παράδειγμα, να δημιουργήσουμε μηδενικά σε μια στήλη ώστε η επόμενη ανάπτυξη να έχει λιγότερους όρους.

Απόδειξη:

Αναπτύσσουμε και τις δύο ορίζουσες κατά τα στοιχεία της 1ης στήλης, για να δούμε ότι καταλήγουν στην ίδια τιμή.

Για την αριστερή ορίζουσα:

\begin{vmatrix} a & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \zeta \\ \eta & \theta & \iota \end{vmatrix} = a(\varepsilon\iota - \zeta\theta) - \delta(\beta\iota - \gamma\theta) + \eta(\beta\zeta - \gamma\varepsilon)

= a\varepsilon\iota - a\zeta\theta - \delta\beta\iota + \delta\gamma\theta + \eta\beta\zeta - \eta\gamma\varepsilon

Για τη δεξιά ορίζουσα:

\begin{vmatrix} a-\beta & \beta & \gamma \\ \delta-\varepsilon & \varepsilon & \zeta \\ \eta-\theta & \theta & \iota \end{vmatrix} = (a-\beta)(\varepsilon\iota - \zeta\theta) - (\delta-\varepsilon)(\beta\iota - \gamma\theta) + (\eta-\theta)(\beta\zeta - \gamma\varepsilon)

Αναπτύσσοντας τις παρενθέσεις και απλοποιώντας τους όρους, προκύπτει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα:

= a\varepsilon\iota - a\zeta\theta - \delta\beta\iota + \delta\gamma\theta + \eta\beta\zeta - \eta\gamma\varepsilon

Επομένως, οι δύο ορίζουσες είναι ίσες. $\blacksquare$