Διανυσματική ακτίνα σημείου — Διανύσματα σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων 📘

Μέχρι τώρα περιγράφαμε ένα διάνυσμα μέσω του μέτρου, της διεύθυνσης και της φοράς του — μια περιγραφή χρήσιμη αλλά όχι πρακτική όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις ή υπολογισμούς. Η λύση είναι να «δέσουμε» κάθε διάνυσμα σε ένα σύστημα αξόνων και να το περιγράψουμε με δύο μόνο αριθμούς, όπως ακριβώς περιγράφουμε ένα σημείο με τις συντεταγμένες του. Αυτή η αντιστοιχία διανύσματος-αριθμών είναι που μετατρέπει τη γεωμετρία των διανυσμάτων σε άλγεβρα: αντί να σχεδιάζουμε, προσθέτουμε και πολλαπλασιάζουμε αριθμούς.

📐 Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Για να αντιστοιχίσουμε αριθμούς σε ένα διάνυσμα χρειαζόμαστε μια «μονάδα μέτρησης» σε κάθε κατεύθυνση — ακριβώς όπως χρειαζόμαστε μια μονάδα μήκους για να μετρήσουμε μια απόσταση. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων παίρνουμε ως σημείο αναφοράς την αρχή των αξόνων $O$ και ορίζουμε δύο μοναδιαία διανύσματα, ένα πάνω σε κάθε άξονα:

$\vec{i} = \binom{1}{0}$ — το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα τετμημένων ( $x'x$ )
$\vec{j} = \binom{0}{1}$ — το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα τεταγμένων ( $y'y$ )

Γιατί ακριβώς αυτά τα δύο διανύσματα;

Το $\vec{i}$ και το $\vec{j}$ έχουν μέτρο 1 (είναι «μονάδες») και είναι κάθετα μεταξύ τους. Κάθε άλλο διάνυσμα του επιπέδου μπορεί να γραφτεί ως συνδυασμός τους — «τόσες φορές $\vec{i}$ και τόσες φορές $\vec{j}$ » — ακριβώς όπως κάθε απόσταση γράφεται ως πολλαπλάσιο μιας μονάδας μήκους.

📍 Διανυσματική ακτίνα σημείου

Αφού έχουμε σύστημα αξόνων, μπορούμε να συνδέσουμε κάθε σημείο του επιπέδου με ένα συγκεκριμένο διάνυσμα, το οποίο δείχνει «πού βρίσκεται» το σημείο σε σχέση με την αρχή. Αυτό το διάνυσμα λέγεται διανυσματική ακτίνα του σημείου: το διάνυσμα με αρχή το σημείο αναφοράς $O$ και τέλος το σημείο.

Η χρησιμότητά της είναι ότι δίνει σε κάθε σημείο του επιπέδου ένα μοναδικό διάνυσμα — έτσι το «σημείο» και το «διάνυσμα θέσης του» γίνονται ουσιαστικά δύο όψεις της ίδιας πληροφορίας.

Διανυσματική ακτίνα σημείου M(x, y)

Κάθε σημείο $M(x, y)$ του επιπέδου έχει διανυσματική ακτίνα:

\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \quad \text{ή, ισοδύναμα,} \quad \overrightarrow{OM} = \binom{x}{y}

Οι συντεταγμένες $x, y$ του σημείου είναι ακριβώς οι ίδιοι αριθμοί που περιγράφουν το διάνυσμα — γι' αυτό η αντιστοιχία σημείου-διανύσματος είναι τόσο φυσική.

Το μέτρο της διανυσματικής ακτίνας ισούται με την απόσταση του σημείου $M$ από την αρχή $O$ , και υπολογίζεται με το Πυθαγόρειο Θεώρημα πάνω στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν οι προβολές $x$ και $y$ :

|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Κάθε διάνυσμα «μεταφράζεται» σε διαφορά διανυσματικών ακτίνων

Ένα διάνυσμα δεν χρειάζεται να ξεκινά από την αρχή των αξόνων για να έχει συντεταγμένες. Κάθε διάνυσμα του επιπέδου, με αρχή ένα σημείο $A$ και τέλος ένα σημείο $B$ , ισούται με τη διανυσματική ακτίνα του τελικού σημείου μείον τη διανυσματική ακτίνα του αρχικού σημείου:

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

Αυτή η ιδιότητα είναι η γέφυρα που μας επιτρέπει να βρίσκουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος, όχι μόνο εκείνων που ξεκινούν από το $O$ .

✏️ Συνιστώσες και συντεταγμένες διανύσματος

Η γραφή $x\vec{i} + y\vec{j}$ δεν είναι απλώς συμβολισμός — εκφράζει ότι το διάνυσμα «αναλύεται» σε δύο ανεξάρτητα κομμάτια, ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυφο, τα οποία προστιθέμενα ανασυνθέτουν το αρχικό διάνυσμα.

Τα διανύσματα $x\vec{i}$ και $y\vec{j}$ λέγονται συνιστώσες του διανύσματος $x\vec{i} + y\vec{j}$ : το πρώτο είναι η «συνεισφορά» του άξονα $x'x$ , το δεύτερο του άξονα $y'y$ .
Οι αριθμοί $x, y$ λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος.
Ο αριθμός $x$ λέγεται τετμημένη και ο αριθμός $y$ λέγεται τεταγμένη του διανύσματος — οι ίδιοι όροι που χρησιμοποιούμε και για τις συντεταγμένες σημείων.

Επειδή ένα διάνυσμα καθορίζεται πλήρως από τις δύο του συντεταγμένες, δύο διανύσματα είναι ίσα ακριβώς όταν έχουν την ίδια τετμημένη και την ίδια τεταγμένη.

🔢 Συντεταγμένες διανύσματος μεταξύ δύο σημείων

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος, αρκεί να ξέρουμε τις συντεταγμένες των άκρων του: αφαιρούμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες του τελικού σημείου από αυτές του αρχικού.

Διάνυσμα AB σε συντεταγμένες

Αν $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ είναι δύο σημεία, τότε:

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1)\vec{i} + (y_2 - y_1)\vec{j} = \binom{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

Προσοχή στη σειρά αφαίρεσης

Στο $\overrightarrow{AB}$ αφαιρούμε πάντα τελικό μείον αρχικό (συντεταγμένες του $B$ μείον συντεταγμένες του $A$ ) — ποτέ το αντίστροφο. Αν αντιστρέψουμε τη σειρά, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του $\overrightarrow{BA}$ , που είναι το αντίθετο διάνυσμα.

📏 Μέτρο διανύσματος σε συντεταγμένες

Το μέτρο ενός διανύσματος $\overrightarrow{AB}$ είναι απλώς η απόσταση των σημείων $A$ και $B$ . Αφού ήδη ξέρουμε τις συντεταγμένες του $\overrightarrow{AB}$ , αρκεί να εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο του Πυθαγόρειου Θεωρήματος που χρησιμοποιήσαμε για τη διανυσματική ακτίνα, εφαρμοσμένο τώρα στις συντεταγμένες της διαφοράς:

Τύπος μέτρου διανύσματος AB

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

🧮 Μοναδιαίο διάνυσμα ομόρροπο

Συχνά χρειαζόμαστε ένα διάνυσμα με την ίδια διεύθυνση και φορά όπως ένα δεδομένο διάνυσμα, αλλά με μέτρο ακριβώς 1 — για παράδειγμα για να περιγράψουμε «μόνο την κατεύθυνση», χωρίς το μέγεθος. Αυτό επιτυγχάνεται διαιρώντας το διάνυσμα με το ίδιο του το μέτρο: το αποτέλεσμα διατηρεί τη διεύθυνση και τη φορά, αλλά «κανονικοποιεί» το μέγεθος σε 1.

Μοναδιαίο ομόρροπο διάνυσμα

Αν $\vec{a}$ είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, τότε το διάνυσμα

\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}

είναι μοναδιαίο διάνυσμα ομόρροπο του $\vec{a}$ — δηλαδή έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το $\vec{a}$ , αλλά μέτρο 1.

➕ Πράξεις διανυσμάτων σε συντεταγμένες

Το μεγάλο πλεονέκτημα της περιγραφής ενός διανύσματος με συντεταγμένες είναι ότι οι πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός με αριθμό) γίνονται απλή αριθμητική: εργαζόμαστε ξεχωριστά σε κάθε συντεταγμένη.

Άθροισμα διανυσμάτων

Αν $\vec{a} = \binom{a_1}{a_2}$ και $\vec{\beta} = \binom{\beta_1}{\beta_2}$ , τότε προσθέτουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες:

\vec{a} + \vec{\beta} = \binom{a_1 + \beta_1}{a_2 + \beta_2}

Πολλαπλασιασμός με πραγματικό αριθμό

Αν $\vec{a} = \binom{x}{y}$ και $\lambda \in \mathbb{R}$ , τότε πολλαπλασιάζουμε κάθε συντεταγμένη με το $\lambda$ :

\lambda\vec{a} = \binom{\lambda x}{\lambda y}

Αν $\lambda > 0$ το $\lambda\vec{a}$ είναι ομόρροπο του $\vec{a}$ · αν $\lambda < 0$ είναι αντίρροπο· σε κάθε περίπτωση το μέτρο πολλαπλασιάζεται επί $|\lambda|$ .

📌 Συντεταγμένες μέσου ευθύγραμμου τμήματος

Το μέσο ενός τμήματος $AB$ είναι το σημείο που ισαπέχει από τα $A$ και $B$ . Επειδή η διανυσματική ακτίνα ενός σημείου δίνει ακριβώς τη θέση του, μπορούμε να βρούμε το μέσο δουλεύοντας με διανυσματικές ακτίνες: η ακτίνα του μέσου είναι ο μέσος όρος των ακτίνων των άκρων.

Τύπος μέσου τμήματος AB

Αν $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ , τότε το μέσο $M$ του $AB$ έχει συντεταγμένες:

M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Γιατί ισχύει αυτό; Το $M$ βρίσκεται στο μέσο του $AB$ , άρα $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων:

\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \binom{\frac{x_1 + x_2}{2}}{\frac{y_1 + y_2}{2}}

δηλαδή κάθε συντεταγμένη του $M$ είναι ο μέσος όρος των αντίστοιχων συντεταγμένων των $A$ και $B$ .

📐 Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

Θέλουμε επίσης έναν αριθμό που να περιγράφει μόνο τη διεύθυνση ενός διανύσματος (πόσο «κλίνει»), ανεξάρτητα από το μέτρο του. Αυτός είναι ο συντελεστής διεύθυνσης — το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη, που δείχνει πόσο μεταβάλλεται η τεταγμένη για κάθε μονάδα μεταβολής της τετμημένης.

Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης

Αν $\vec{a} = \binom{x_1}{y_1}$ είναι μη μηδενικό διάνυσμα, το πηλίκο $\frac{y_1}{x_1}$ ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος $\vec{a}$ . Δύο διανύσματα με τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης έχουν την ίδια διεύθυνση (είναι παράλληλα).

Οι δύο ειδικές περιπτώσεις

Αν $y_1 = 0$ (το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα $x'x$ ), ο συντελεστής διεύθυνσης είναι $0$ .
Αν $x_1 = 0$ (το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα $y'y$ ), ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται — γιατί θα σήμαινε διαίρεση με το μηδέν. Μην γράψεις ποτέ «συντελεστής διεύθυνσης = άπειρο»· η σωστή απάντηση είναι ότι δεν ορίζεται.