Πράξεις με διανύσματα 📘

Ένα διάνυσμα δεν είναι απλώς ένας αριθμός· έχει και διεύθυνση και φορά. Γι' αυτό οι πράξεις με διανύσματα δεν γίνονται όπως οι συνηθισμένες πράξεις με αριθμούς — χρειάζονται δικούς τους κανόνες, που στηρίζονται σε γεωμετρική κατασκευή. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς προσθέτουμε, πώς αφαιρούμε διανύσματα, και τι σημαίνει να πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό.

📌 Διαδοχικά διανύσματα

Πριν ορίσουμε το άθροισμα δύο διανυσμάτων, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να τα "συνδέσουμε" γεωμετρικά. Αυτό γίνεται όταν είναι διαδοχικά:

Ορισμός διαδοχικών διανυσμάτων

Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά, όταν το τέλος του ενός διανύσματος είναι η αρχή του άλλου.

Η ιδέα είναι απλή: αν μετακινηθείς πρώτα κατά το ένα διάνυσμα και μετά κατά το άλλο, καταλήγεις κάπου συγκεκριμένα — και αυτό το «κάπου» είναι που οδηγεί στον ορισμό του αθροίσματος.

➕ Άθροισμα διανυσμάτων

Ορισμός αθροίσματος διαδοχικών διανυσμάτων

Άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του δεύτερου διανύσματος.

Με άλλα λόγια, το άθροισμα περιγράφει το συνολικό αποτέλεσμα δύο διαδοχικών μετατοπίσεων: δεν μας ενδιαφέρει η ενδιάμεση διαδρομή, μόνο πού ξεκινήσαμε και πού καταλήξαμε. Για παράδειγμα, το άθροισμα των διανυσμάτων $\vec{AB}$ και $\vec{BΓ}$ είναι το διάνυσμα $\vec{AΓ}$ και γράφεται:

\vec{AB} + \vec{BΓ} = \vec{AΓ}

Άθροισμα περισσότερων διαδοχικών διανυσμάτων

Αν έχουμε να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διαδοχικά διανύσματα, τότε το άθροισμά τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του τελευταίου διανύσματος.

\vec{AB} + \vec{BΓ} + \vec{ΓΔ} = \vec{AΔ}

🔷 Πρόσθεση δύο διανυσμάτων

Το πρόβλημα είναι ότι δύο τυχαία διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ σπάνια είναι ήδη διαδοχικά. Η λύση είναι να τα μετατρέψουμε σε διαδοχικά, μεταφέροντάς τα παράλληλα στον εαυτό τους (κάτι που επιτρέπεται, αφού πρόκειται για ελεύθερα διανύσματα). Σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\vec{AB} = \vec{\alpha}$ και $\vec{BΓ} = \vec{\beta}$ , ώστε να είναι διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι:

\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{AB} + \vec{BΓ} = \vec{AΓ}

🔷 Μέθοδος του παραλληλογράμμου

Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος να δούμε την ίδια πρόσθεση, χρήσιμος όταν είναι πιο βολικό να ξεκινήσουμε τα δύο διανύσματα από κοινό σημείο αντί να τα κάνουμε διαδοχικά. Πρόκειται για τη μέθοδο του παραλληλογράμμου:

Σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\vec{AB} = \vec{\alpha}$ και $\vec{AΓ} = \vec{\beta}$ , ώστε να έχουν κοινή αρχή.
Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο $ABΓΔ$ που έχει πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα $AB$ και $AΓ$ .
Το διάνυσμα το οποίο έχει ως αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων και τέλος την απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων.

Οι δύο μέθοδοι δίνουν πάντα το ίδιο αποτέλεσμα — απλώς βλέπουμε την ίδια πρόσθεση από διαφορετική οπτική γωνία, ανάλογα με το ποια σχεδίαση είναι πιο βολική κάθε φορά.

➖ Διαφορά δύο διανυσμάτων

Η αφαίρεση διανυσμάτων δεν ορίζεται από την αρχή με νέο τρόπο· αξιοποιεί όσα ξέρουμε ήδη για την πρόσθεση και το αντίθετο διάνυσμα:

Ορισμός διαφοράς διανυσμάτων

Η διαφορά του διανύσματος $\vec{\beta}$ από το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ συμβολίζεται με $\vec{\alpha} - \vec{\beta}$ και ορίζεται ως το άθροισμα του $\vec{\alpha}$ με το αντίθετο διάνυσμα του $\vec{\beta}$ . Δηλαδή:

\vec{\alpha} - \vec{\beta} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta})

Έτσι, δεν χρειαζόμαστε νέα γεωμετρική κατασκευή για την αφαίρεση: αρκεί να αντιστρέψουμε τη φορά του $\vec{\beta}$ και μετά να προσθέσουμε κανονικά, όπως μάθαμε αυτό. Πρακτικά, σχεδιάζουμε τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ ώστε να είναι διαδοχικά. Ακολούθως, σχεδιάζουμε το αντίθετο $-\vec{\beta}$ και προσθέτουμε. Η διαφορά $\vec{\alpha} - \vec{\beta}$ είναι το διάνυσμα $\vec{AΔ}$ :

\vec{AΔ} = \vec{AB} + \vec{BΔ} = \vec{\alpha} + (-\vec{\beta}) = \vec{\alpha} - \vec{\beta}

Μην μπερδεύεις τη φορά

Στην αφαίρεση $\vec{\alpha} - \vec{\beta}$ , το διάνυσμα που αντιστρέφεται είναι το $\vec{\beta}$ (το δεύτερο), όχι το $\vec{\alpha}$ . Αν αντιστρέψεις λάθος διάνυσμα, θα υπολογίσεις το $\vec{\beta} - \vec{\alpha}$ , που είναι το αντίθετο αποτέλεσμα.

✖️ Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Μέχρι εδώ προσθέταμε διανύσματα μεταξύ τους. Τώρα θα δούμε τι σημαίνει να «μεγεθύνουμε» ή να «σμικρύνουμε» ένα διάνυσμα, πολλαπλασιάζοντάς το με έναν απλό αριθμό:

Ορισμός γινομένου αριθμού επί διάνυσμα

Αν $\lambda$ είναι ένας πραγματικός μη μηδενικός αριθμός ( $\lambda \neq 0$ ) και $\vec{\alpha}$ ένα διάνυσμα, τότε ονομάζουμε γινόμενο του $\lambda$ επί το $\vec{\alpha}$ και το συμβολίζουμε $\lambda \cdot \vec{\alpha}$ το διάνυσμα, το οποίο:

Είναι ομόρροπο του $\vec{\alpha}$ , αν $\lambda > 0$ και αντίρροπο του $\vec{\alpha}$ , αν $\lambda < 0$ , ( $\vec{\alpha} \neq \vec{0}$ ) και
Έχει μέτρο $|\lambda| \cdot |\vec{\alpha}|$ .

Πρακτικά, το $\lambda$ ελέγχει δύο πράγματα ταυτόχρονα: το πρόσημό του καθορίζει αν το νέο διάνυσμα κοιτάζει προς την ίδια ή την αντίθετη φορά, ενώ η απόλυτη τιμή του καθορίζει πόσο μεγαλώνει ή μικραίνει το μέτρο. Η ίδια η διεύθυνση του διανύσματος δεν αλλάζει ποτέ — γι' αυτό το $\lambda \cdot \vec{\alpha}$ είναι πάντα παράλληλο με το $\vec{\alpha}$ .

📝 Παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις

Αν $\vec{\beta} = \lambda \cdot \vec{\alpha}$ , $\lambda \neq 0$ , τότε τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$ είναι παράλληλα.
Το διάνυσμα $\lambda \cdot \vec{\alpha}$ είναι παράλληλο με το διάνυσμα $\vec{\alpha}$ .
Αν $\lambda = 0$ ή $\vec{\alpha} = \vec{0}$ , τότε το $\lambda \cdot \vec{\alpha}$ είναι το μηδενικό διάνυσμα $\vec{0}$ .

Η πρώτη παρατήρηση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη ως εργαλείο: όποτε θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι παράλληλα, αρκεί να δείξουμε ότι το ένα προκύπτει από το άλλο μέσω πολλαπλασιασμού με κάποιον πραγματικό αριθμό.

📋 Ιδιότητες των πράξεων διανυσμάτων

Οι πράξεις που ορίσαμε δεν είναι αυθαίρετες — υπακούουν σε ιδιότητες αντίστοιχες με αυτές που ξέρουμε από τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό είναι χρήσιμο στην πράξη: μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά ή τον τρόπο ομαδοποίησης σε μια έκφραση με διανύσματα, ακριβώς όπως θα κάναμε με απλούς αριθμούς.

✅ Ιδιότητες πρόσθεσης

Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων

Ιδιότητα	Τύπος
Μεταθετική	$\vec{\alpha} + \vec{\beta} = \vec{\beta} + \vec{\alpha}$
Προσεταιριστική	$(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) + \vec{\gamma} = \vec{\alpha} + (\vec{\beta} + \vec{\gamma})$
Ουδέτερο στοιχείο	$\vec{\alpha} + \vec{0} = \vec{\alpha}$
Αντίθετο στοιχείο	$\vec{\alpha} + (-\vec{\alpha}) = \vec{0}$

✅ Ιδιότητες πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού επί διάνυσμα

Ιδιότητες βαθμωτού πολλαπλασιασμού

Ιδιότητα	Τύπος
Επιμεριστική ως προς αριθμούς	$(\lambda + \mu)\vec{\alpha} = \lambda\vec{\alpha} + \mu\vec{\alpha}$
Επιμεριστική ως προς διανύσματα	$\lambda(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = \lambda\vec{\alpha} + \lambda\vec{\beta}$
Προσεταιριστική	$\lambda(\mu\vec{\alpha}) = (\lambda\mu)\vec{\alpha}$

Χάρη σε αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε να χειριζόμαστε εκφράσεις με διανύσματα (να ανοίγουμε παρενθέσεις, να ομαδοποιούμε όρους) με την ίδια άνεση που χειριζόμαστε αλγεβρικές εκφράσεις με αριθμούς.