Τριγωνομετρικές συναρτήσεις — Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών 📐

Η βασική ιδέα: συμμετρίες πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο

Κάθε γωνία $\omega$ σε κανονική θέση αντιστοιχεί σε ένα σημείο $M$ πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο — εκεί όπου η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες $M(συνω, ημω)$, αφού από τον ορισμό το ημίτονο είναι η τεταγμένη και το συνημίτονο η τετμημένη του $M$.

Η ιδέα πίσω από αυτή την ενότητα είναι απλή: αν πάρουμε δύο γωνίες που έχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη σχέση (π.χ. είναι αντίθετες, ή το άθροισμά τους κάνει $90°$), τα αντίστοιχα σημεία τους πάνω στον κύκλο βρίσκονται σε συμμετρική θέση το ένα ως προς το άλλο — συμμετρικά ως προς έναν άξονα, ή ως προς την αρχή των αξόνων, ή ως προς τη διχοτόμο μιας γωνίας των αξόνων. Επειδή η συμμετρία αλλάζει τις συντεταγμένες με προβλέψιμο τρόπο (π.χ. αλλάζει το πρόσημο του $y$, ή αντιμεταθέτει το $x$ με το $y$), μπορούμε να συνδέσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της μιας γωνίας με τα αντίστοιχα της άλλης, χωρίς να χρειάζεται να ξέρουμε πόσο κάνει καθένα ξεχωριστά.

Αυτό είναι εξαιρετικά χρήσιμο: αν ξέρουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας (γωνία στο $1^ο$ τεταρτημόριο, από $0°$ έως $90°$), μπορούμε με αυτές τις σχέσεις να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε άλλης γωνίας, όσο μεγάλη ή ασυνήθιστη κι αν είναι. Δεν χρειάζεται πίνακας ή αριθμομηχανή για κάθε πιθανή γωνία — αρκεί να αναγνωρίσουμε τη σχέση της με μια οξεία γωνία.

Σε όλες τις σχέσεις που ακολουθεί, συμβολίζουμε το σημείο της γωνίας $\omega$ ως $M(a, \beta)$ (δηλαδή $a = συνω$ και $\beta = ημω$) και το σημείο της «συγγενικής» γωνίας ως $M'$.

---

Αντίθετες γωνίες: $\omega$ και $-\omega$ (άθροισμα $0°$)

Οι γωνίες $\omega$ και $-\omega$ έχουν την ίδια αρχική πλευρά, αλλά η τελική πλευρά της $-\omega$ βρίσκεται στην κατοπτρική θέση ως προς τον άξονα $x'x$ — μετράμε την ίδια «απόσταση» γωνίας, απλά προς την αντίθετη φορά. Γεωμετρικά, τα σημεία $M(a, \beta)$ και $M'(a, -\beta)$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x'x$: το $x$ μένει ίδιο, το $y$ αλλάζει πρόσημο.

Αφού το συνημίτονο είναι το $x$ και το ημίτονο το $y$, αυτό μεταφράζεται άμεσα σε τριγωνομετρικούς αριθμούς:

Με λόγια: το συνημίτονο δεν επηρεάζεται από την αλλαγή προσήμου της γωνίας, ενώ το ημίτονο (και άρα και η εφαπτομένη, αφού είναι λόγος τους) αλλάζει πρόσημο.

---

Συμπληρωματικές γωνίες: $\omega$ και $90° - \omega$ (άθροισμα $90°$)

Δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι $90°$. Αν σχεδιάσουμε τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζουν τα σημεία $M$ και $M'$ με τους άξονες, τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα (έχουν την ίδια υποτείνουσα — την ακτίνα $1$ — και οι οξείες γωνίες τους είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους). Αυτό σημαίνει ότι οι κάθετες πλευρές τους απλώς αντιμετατίθενται: αν $M(a, \beta)$, τότε $M'(\beta, a)$ — αυτό που ήταν $x$ στο ένα τρίγωνο γίνεται $y$ στο άλλο, και αντίστροφα.

Αυτή είναι η πιο γνωστή ίσως σχέση: το ημίτονο μιας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της, και αντίστροφα. Δικαιολογεί, μεταξύ άλλων, γιατί σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο της μιας οξείας γωνίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης — οι δύο οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντα συμπληρωματικές.

---

Παραπληρωματικές γωνίες: $\omega$ και $180° - \omega$ (άθροισμα $180°$)

Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι $180°$. Τα σημεία $M(a, \beta)$ και $M'(-a, \beta)$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y'y$ (τον άξονα των ημιτόνων): το $y$ μένει ίδιο, το $x$ αλλάζει πρόσημο.

Εδώ συμβαίνει το αντίστροφο από πριν: το ημίτονο μένει ίδιο, ενώ το συνημίτονο αλλάζει πρόσημο. Αυτή η σχέση εξηγεί γιατί, για παράδειγμα, $ημ150° = ημ30°$: οι δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές.

---

Γωνίες με διαφορά $90°$: $\omega$ και $90° + \omega$

Αν προσθέσουμε $90°$ σε μια γωνία, το σημείο της τελικής πλευράς περιστρέφεται κατά ορθή γωνία γύρω από την αρχή των αξόνων. Μια περιστροφή κατά $90°$ μετατρέπει το σημείο $M(a, \beta)$ στο σημείο $M'(-\beta, a)$: οι συντεταγμένες αντιμετατίθενται (όπως στις συμπληρωματικές), αλλά επιπλέον αλλάζει πρόσημο αυτή που γίνεται $x$.

Παρατήρησε ότι το ημίτονο εδώ συμπεριφέρεται όπως στις συμπληρωματικές γωνίες ($ημ(90°+\omega)=συνω$, ίδιο με $ημ(90°-\omega)$), αλλά το συνημίτονο παίρνει αρνητικό πρόσημο. Αυτό είναι λογικό: η γωνία $90° + \omega$ βρίσκεται στο $2^ο$ τεταρτημόριο (για οξεία $\omega$), όπου το συνημίτονο είναι αρνητικό.

---

Γωνίες με διαφορά $180°$: $\omega$ και $180° + \omega$

Προσθέτοντας $180°$ σε μια γωνία, το σημείο της περιστρέφεται κατά μισό κύκλο γύρω από την αρχή των αξόνων — καταλήγει δηλαδή στο αντιδιαμετρικό σημείο. Αν $M(a, \beta)$, τότε $M'(-a, -\beta)$: και οι δύο συντεταγμένες αλλάζουν πρόσημο.

Το ημίτονο και το συνημίτονο αλλάζουν και τα δύο πρόσημο, αλλά η εφαπτομένη — που είναι λόγος τους — μένει ίδια, αφού τα δύο πρόσημα «ακυρώνονται» στη διαίρεση. Αυτή η ιδιότητα (η εφαπτομένη επαναλαμβάνεται κάθε $180°$) είναι που κάνει την εφαπτομένη να έχει μικρότερη περίοδο από το ημίτονο και το συνημίτονο.

---

Γωνίες με άθροισμα $270°$: $\omega$ και $270° - \omega$

Αν $M(a, \beta)$, τότε $M'(-\beta, -a)$: οι συντεταγμένες αντιμετατίθενται (όπως στις συμπληρωματικές γωνίες) και επιπλέον αλλάζουν και οι δύο πρόσημο.

---

Γωνίες με διαφορά $270°$: $\omega$ και $270° + \omega$

Αν $M(a, \beta)$, τότε $M'(\beta, -a)$: οι συντεταγμένες αντιμετατίθενται, αλλά μόνο η νέα τεταγμένη αλλάζει πρόσημο.

---

Γωνίες με άθροισμα $360°$: $\omega$ και $360° - \omega$

Η γωνία $360° - \omega$ είναι ουσιαστικά η ίδια κίνηση με τη $-\omega$ (μια πλήρης περιστροφή $360°$ δεν αλλάζει τη θέση του σημείου), οπότε τα σημεία $M(a, \beta)$ και $M'(a, -\beta)$ είναι και πάλι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x'x$ — τον άξονα των συνημιτόνων.

Δεν είναι τυχαίο που αυτές οι σχέσεις είναι ολόιδιες με τις σχέσεις των αντίθετων γωνιών: $360° - \omega$ και $-\omega$ καταλήγουν στο ίδιο ακριβώς σημείο του κύκλου.

---

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο 🔄

Όλες οι αυτό σχέσεις εξυπηρετούν έναν κοινό σκοπό: να εκφράσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας μέσω των τριγωνομετρικών αριθμών μιας οξείας γωνίας (γωνίας του $1^ου$ τεταρτημορίου). Η διαδικασία αυτή λέγεται αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο, και είναι χρήσιμη επειδή τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών τούς έχουμε ήδη υπολογισμένους (σε πίνακες ή γνωστές τιμές) ή μπορούμε να τους βρούμε εύκολα σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Το πρόσημο στο αποτέλεσμα καθορίζεται ξεχωριστά: εξαρτάται σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η αρχική γωνία της σχέσης (π.χ. στο $180° + \omega$, για οξεία $\omega$, η γωνία αυτή βρίσκεται στο $3^ο$ τεταρτημόριο, όπου το ημίτονο είναι αρνητικό — γι' αυτό $ημ(180°+\omega) = -ημω$).

---

Συγκεντρωτικός πίνακας σχέσεων 📋