Τριγωνομετρικός Κύκλος 🔵

Γιατί χρειαζόμαστε τον τριγωνομετρικό κύκλο

Μέχρι τώρα το $ημ$ , το $συν$ και το $εφ$ μιας γωνίας ορίζονταν μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο, πράγμα που δουλεύει μόνο για γωνίες από $0°$ έως $90°$ . Τι γίνεται όμως με μια γωνία $150°$ ή $300°$ ; Δεν χωράει σε ορθογώνιο τρίγωνο. Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν νέο τρόπο να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που να δουλεύει για οποιαδήποτε γωνία, όχι μόνο για τις οξείες. Αυτόν τον ρόλο παίζει ο τριγωνομετρικός κύκλος: μεταφέρει τη γωνία σε ένα σύστημα αξόνων και τη συνδέει με τις συντεταγμένες ενός σημείου.

Ορισμός

Τριγωνομετρικός κύκλος ονομάζεται ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία μονάδα.

Η επιλογή της ακτίνας $1$ δεν είναι τυχαία: κάνει το $ημ\omega$ και το $συν\omega$ να ταυτίζονται ακριβώς με τις συντεταγμένες του σημείου, χωρίς καμία διαίρεση στη μέση.

Για να τοποθετήσουμε μια γωνία $\omega$ πάνω στον κύκλο, τη φέρνουμε πάντα με την ίδια σύμβαση: η μία πλευρά της (η αρχική πλευρά) ταυτίζεται με τη θετική ημιευθεία $Ox$ , η κορυφή της είναι το κέντρο $O$ , και η γωνία «ανοίγει» αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού για θετικές γωνίες. Το σημείο όπου καταλήγει η τελική πλευρά της γωνίας πάνω στον κύκλο είναι αυτό που μας ενδιαφέρει.

Τα τέσσερα τεταρτημόρια 📐

Οι άξονες $xx'$ και $yy'$ χωρίζουν το επίπεδο —άρα και τον τριγωνομετρικό κύκλο— σε τέσσερα τεταρτημόρια. Τα μετράμε ξεκινώντας από τη θετική ημιευθεία $Ox$ και προχωρώντας αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού:

1ο τεταρτημόριο: από $0°$ έως $90°$
2ο τεταρτημόριο: από $90°$ έως $180°$
3ο τεταρτημόριο: από $180°$ έως $270°$
4ο τεταρτημόριο: από $270°$ έως $360°$

Προσοχή

Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στους άξονες (δηλαδή οι γωνίες $0°$ , $90°$ , $180°$ , $270°$ , $360°$ ) δεν ανήκουν σε κάποιο τεταρτημόριο. Ένα τεταρτημόριο είναι το «ανοιχτό» τόξο ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς άξονες, όχι τα άκρα του.

Συντεταγμένες σημείου στον τριγωνομετρικό κύκλο 📍

Αν η τελική πλευρά μιας γωνίας $\omega$ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $M(x, y)$ , τότε επειδή η διανυσματική ακτίνα $OM$ έχει μήκος $\rho = 1$ , το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται προβάλλοντας το $M$ πάνω στον άξονα $x'x$ δίνει απευθείας:

συν\omega = \frac{x}{1} = x, \quad ημ\omega = \frac{y}{1} = y

Ο λόγος που η ακτίνα $1$ απλοποιεί τόσο πολύ την κατάσταση είναι ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ο συνημίτονος και το ημίτονο μιας γωνίας ισούνται με το πηλίκο προσκείμενης (ή απέναντι) πλευράς προς την υποτείνουσα· όταν η υποτείνουσα είναι $1$ , το πηλίκο ταυτίζεται με τον αριθμητή, δηλαδή με τη συντεταγμένη του σημείου.

Βασική ιδιότητα

Το ημίτονο μιας γωνίας $\omega$ ισούται με την τεταγμένη $y$ του σημείου $M$ , ενώ το συνημίτονο ισούται με την τετμημένη $x$ του σημείου $M$ .

Αυτός ο ορισμός είναι ακριβώς αυτό που λύνει το πρόβλημα της αρχής: αφού κάθε γωνία —όσο μεγάλη κι αν είναι— καταλήγει κάπου πάνω στον κύκλο, κάθε γωνία αποκτά πλέον ημίτονο και συνημίτονο, ανεξάρτητα από το αν χωράει σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Άξονες ημιτόνων και συνημιτόνων 📏

Επειδή $συν\omega = x$ και $ημ\omega = y$ , κάθε άξονας συνδέεται φυσικά με έναν από τους δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς:

Ο άξονας των τετμημένων $x'x$ ονομάζεται άξονας των συνημιτόνων
Ο άξονας των τεταγμένων $y'y$ ονομάζεται άξονας των ημιτόνων

Το όνομα δεν είναι σύμβαση άσχετη με το περιεχόμενο· είναι ακριβώς ο άξονας πάνω στον οποίο «διαβάζουμε» απευθείας την τιμή του αντίστοιχου τριγωνομετρικού αριθμού για οποιαδήποτε γωνία.

Πεδίο τιμών ημιτόνου και συνημιτόνου 🎯

Το σημείο $M$ κινείται πάνω στον κύκλο ακτίνας $1$ , οπότε η τετμημένη και η τεταγμένη του δεν μπορούν ποτέ να ξεπεράσουν την απόσταση $1$ από το κέντρο.

Πεδίο τιμών

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί $συν\omega$ και $ημ\omega$ παίρνουν τιμές μόνο στο διάστημα $[-1, 1]$ . Δηλαδή:

-1 \leq συν\omega \leq 1, \quad -1 \leq ημ\omega \leq 1

Προσοχή

Δεν μπορεί να υπάρξει γωνία $\omega$ τέτοια ώστε να ισχύει π.χ. $συν\omega = \frac{3}{2}$ ή $ημ\omega = -2$ , αφού οι τιμές $\frac{3}{2}$ και $-2$ βρίσκονται εκτός του διαστήματος $[-1, 1]$ . Αν σε μια άσκηση καταλήξεις σε τέτοιο αποτέλεσμα, αυτό είναι σημάδι λάθους υπολογισμού και όχι έγκυρη λύση.

Άξονας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων 📐

Το ημίτονο και το συνημίτονο διαβάζονται απευθείας πάνω στους άξονες $x'x$ και $y'y$ . Η εφαπτομένη χρειάζεται έναν δικό της «κανόνα»: την προέκταση της τελικής πλευράς της γωνίας πέρα από τον κύκλο, μέχρι να συναντήσει μια ευθεία εφαπτόμενη στον κύκλο.

Η προέκταση της τελικής πλευράς γωνίας $\omega$ τέμνει την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $K(1,0)$ σε ένα σημείο $A$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $KOA$ , η γωνία στο $O$ είναι η $\omega$ , η προσκείμενη πλευρά $KO$ έχει μήκος $1$ (είναι ακτίνα του κύκλου) και η απέναντι πλευρά είναι το τμήμα $KA$ . Άρα:

\varepsilon\varphi\omega = \frac{KA}{KO} = \frac{KA}{1} = KA

Δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας διαβάζεται κι αυτή απευθείας, ως μήκος πάνω σε μια ευθεία — αρκεί να είναι η σωστή ευθεία. Η εφαπτομένη του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο $K(1,0)$ ονομάζεται γι' αυτό άξονας των εφαπτομένων.

Με τον ίδιο συλλογισμό, η προέκταση της τελικής πλευράς γωνίας $\omega$ τέμνει την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $\varLambda(0,1)$ σε ένα σημείο $B$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\varLambda OB$ :

\sigma\varphi\omega = \frac{\varLambda B}{\varLambda O} = \frac{\varLambda B}{1} = \varLambda B

Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $\varLambda(0,1)$ ονομάζεται άξονας των συνεφαπτομένων.

Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών ανά τεταρτημόριο ➕➖

Αφού $συν\omega = x$ και $ημ\omega = y$ , το πρόσημο κάθε τριγωνομετρικού αριθμού είναι απλώς το πρόσημο της αντίστοιχης συντεταγμένης στο τεταρτημόριο όπου βρίσκεται το σημείο $M$ . Το πρόσημο της εφαπτομένης προκύπτει έπειτα από τον λόγο $\varepsilon\varphi\omega = \frac{ημ\omega}{συν\omega}$ : θετική όταν ημίτονο και συνημίτονο έχουν το ίδιο πρόσημο, αρνητική όταν διαφέρουν.

	1ο τεταρτημόριο	2ο τεταρτημόριο	3ο τεταρτημόριο	4ο τεταρτημόριο
$ημ\omega$	$+$	$+$	$-$	$-$
$συν\omega$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\varepsilon\varphi\omega$	$+$	$-$	$+$	$-$

Μνημονικός κανόνας προσήμου 🧠

Μνημονικός κανόνας: Ο, Η, Ε, Σ

Σε κάθε τεταρτημόριο, θετικός είναι μόνο ένας βασικός τριγωνομετρικός αριθμός (εκτός από το 1ο όπου όλοι είναι θετικοί):

1ο τεταρτημόριο: Ολοι θετικοί (Ο)
2ο τεταρτημόριο: Θετικό μόνο το Ημίτονο (Η)
3ο τεταρτημόριο: Θετική μόνο η Εφαπτομένη (Ε)
4ο τεταρτημόριο: Θετικό μόνο το Συνημίτονο (Σ)

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών 0°, 90°, 180°, 270°, 360° 📊

Αυτές οι πέντε γωνίες είναι ακριβώς εκείνες που τοποθετούν το σημείο $M$ πάνω σε έναν από τους δύο άξονες, οπότε οι συντεταγμένες τους διαβάζονται άμεσα χωρίς κανέναν υπολογισμό:

	$0°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
$ημ$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$συν$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Εξήγηση

Η τελική πλευρά της γωνίας $0°$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $(1, 0)$ , άρα $ημ 0° = 0$ και $συν 0° = 1$
Η τελική πλευρά της γωνίας $90°$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $(0, 1)$ , άρα $ημ 90° = 1$ και $συν 90° = 0$
Η τελική πλευρά της γωνίας $180°$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $(-1, 0)$ , άρα $ημ 180° = 0$ και $συν 180° = -1$
Η τελική πλευρά της γωνίας $270°$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $(0, -1)$ , άρα $ημ 270° = -1$ και $συν 270° = 0$
Η τελική πλευρά της γωνίας $360°$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $(1, 0)$ , άρα $ημ 360° = 0$ και $συν 360° = 1$

Παρατήρησε ότι η γωνία $360°$ δίνει τα ίδια αποτελέσματα με τη γωνία $0°$ : και οι δύο έχουν την ίδια τελική πλευρά, άρα καταλήγουν στο ίδιο σημείο του κύκλου.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών 30°, 45°, 60° 📐

Για τις υπόλοιπες «βασικές» γωνίες, το σημείο $M$ δεν πέφτει πάνω σε άξονα, οπότε χρειάζεται λίγη γεωμετρία (ορθογώνιο τρίγωνο μέσα στον κύκλο) για να βρεθούν οι συντεταγμένες του.

	$30°$	$45°$	$60°$
$ημ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$συν$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\varepsilon\varphi$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Απόδειξη για τις 30° και 60°

Για τη γωνία 60°: Η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $B(a, \beta)$ , το οποίο προβάλλεται στο σημείο $Γ$ πάνω στον άξονα $x'x$ . Το τρίγωνο $OBΓ$ είναι ορθογώνιο με γωνία $\hat{Γ} = 90°$ , $Γ\hat{O}B = 60°$ και μήκος υποτείνουσας $OB = 1$ . Σε ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία $30°$ (η γωνία στο $B$ , αφού οι οξείες γωνίες συμπληρώνουν $90°$ ), η απέναντι πλευρά της γωνίας $30°$ είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Η πλευρά $OΓ$ είναι ακριβώς απέναντι από αυτή τη γωνία $30°$ , άρα:

(OΓ) = \frac{(OB)}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow συν 60° = \frac{1}{2}

Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο ίδιο τρίγωνο:

(OB)^2 = (OΓ)^2 + (BΓ)^2 \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + \beta^2 \Rightarrow \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} = ημ 60°

\varepsilon\varphi 60° = \frac{\beta}{a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

Για τη γωνία 30°: Η κατασκευή είναι συμμετρική στην προηγούμενη· εδώ η γωνία $30°$ βρίσκεται στο $O$ , οπότε τώρα είναι η πλευρά $BΓ$ (απέναντι στη γωνία $30°$ στο $O$ ) που ισούται με το μισό της υποτείνουσας: $(BΓ) = \frac{(OB)}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = \frac{1}{2} = ημ 30°$ . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα: $a = \frac{\sqrt{3}}{2} = συν 30°$ .

\varepsilon\varphi 30° = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Απόδειξη για τις 45°

Η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $B(a, \beta)$ , προβαλλόμενο στο σημείο $Γ$ πάνω στον άξονα $x'x$ . Το τρίγωνο $OΓB$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με $(OΓ) = (BΓ)$ — ισοσκελές επειδή οι δύο οξείες γωνίες του ( $45°$ η καθεμία, αφού συμπληρώνουν $90°$ ) είναι ίσες, άρα και οι απέναντι πλευρές τους είναι ίσες. Επομένως:

(OΓ) = (BΓ) \Rightarrow a = \beta \Rightarrow \varepsilon\varphi 45° = \frac{\beta}{a} = 1

Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

(OB)^2 = (OΓ)^2 + (BΓ)^2 \Rightarrow 1 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Άρα: $συν 45° = ημ 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Λάθος που γίνεται συχνά

Πολλοί μαθητές μπερδεύουν ποια τιμή αντιστοιχεί στο $30°$ και ποια στο $60°$ : το ημίτονο αυξάνεται καθώς η γωνία μεγαλώνει από $0°$ προς $90°$ (γιατί η τεταγμένη $y$ του σημείου ανεβαίνει), ενώ το συνημίτονο μειώνεται (γιατί η τετμημένη $x$ πλησιάζει το $0$ ). Γι' αυτό $ημ 30° < ημ 60°$ αλλά $συν 30° > συν 60°$ — τα δύο πινακάκια είναι «καθρέφτης» το ένα του άλλου.

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά 🔁

Το ίδιο σημείο $M$ του κύκλου αντιστοιχεί σε άπειρες γωνίες, όχι μόνο σε μία: αρκεί να «γυρίσουμε» έναν ή περισσότερους πλήρεις γύρους ( $360°$ ) γύρω από τον κύκλο και καταλήγουμε στο ίδιο ακριβώς σημείο, άρα με τις ίδιες συντεταγμένες.

Ιδιότητα

Δύο γωνίες που έχουν την ίδια τελική πλευρά διαφέρουν κατά $360°\kappa$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ , ή ισοδύναμα κατά $2\pi\kappa$ rad.

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αφού καταλήγουν στο ίδιο σημείο $M(x,y)$ του τριγωνομετρικού κύκλου.

Γενικότερα, για κάθε $\kappa \in \mathbb{Z}$ :

ημ\theta = ημ(\theta + 360°\kappa)

Αυτό εξηγεί γιατί λέμε ότι το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις: οι τιμές τους επαναλαμβάνονται κάθε $360°$ , επειδή ο τριγωνομετρικός κύκλος «κλείνει» πάνω στον εαυτό του μετά από κάθε πλήρη γύρο.