Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας σε κανονική θέση 📐

Από την οξεία γωνία σε κάθε γωνία 🔄

Μέχρι τώρα, το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη ήταν ορισμένα μόνο για οξείες γωνίες, μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο, ως λόγοι πλευρών. Αυτός ο ορισμός όμως έχει ένα όριο: δεν έχει νόημα για γωνία $150°$ ή $-40°$ , αφού δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με τέτοια γωνία.

Η ιδέα που ξεπερνά αυτό το εμπόδιο είναι να τοποθετήσουμε τη γωνία σε κανονική θέση μέσα σε ένα σύστημα αξόνων και να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μέσω των συντεταγμένων ενός σημείου της τελικής πλευράς, αντί μέσω πλευρών τριγώνου. Έτσι ο ορισμός δουλεύει για οποιαδήποτε γωνία — οξεία, αμβλεία, αρνητική, ή ακόμα και μεγαλύτερη από $360°$ .

Ο ορισμός μέσω τυχαίου σημείου 📌

Έστω γωνία $\theta$ σε κανονική θέση και $A(x, y)$ ένα τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της, διαφορετικό από την αρχή των αξόνων $O$ . Η απόσταση του $A$ από το $O$ είναι πάντα θετική και δίνεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \rho > 0

Ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας $\theta$ σε κανονική θέση, με $A(x,y)$ τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της και $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ , ορίζονται ως:

ημ\theta = \frac{y}{\rho}, \quad συν\theta = \frac{x}{\rho}, \quad εφ\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)

Παρατήρησε τι κάνει ουσιαστικά ο ορισμός: το ημίτονο συγκρίνει το «ύψος» $y$ του σημείου με την απόστασή του από το $O$ , το συνημίτονο συγκρίνει το «πλάτος» $x$ με την ίδια απόσταση, και η εφαπτομένη συγκρίνει το $y$ με το $x$ . Καμία από τις τρεις παραστάσεις δεν χρειάζεται πια τρίγωνο ή οξεία γωνία — χρειάζεται μόνο ένα σημείο πάνω στην τελική πλευρά.

Η εφαπτομένη δεν ορίζεται πάντα

Όταν $x = 0$ , δηλαδή όταν η τελική πλευρά συμπίπτει με τον άξονα $y'y$ (γωνίες $90°, 270°$ και οι ισοδύναμές τους), η εφαπτομένη $εφ\theta = \dfrac{y}{x}$ δεν ορίζεται, γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Το ημίτονο και το συνημίτονο, αντίθετα, ορίζονται για κάθε γωνία, αφού $\rho$ δεν είναι ποτέ μηδέν.

Γιατί ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου 🔍

Ο ορισμός λέει «τυχαίο σημείο» της τελικής πλευράς — αλλά αν διάλεγες άλλο σημείο $A'(x', y')$ πάνω στην ίδια ημιευθεία, θα έπαιρνες άλλους λόγους; Η απάντηση είναι όχι, και ο λόγος είναι τα όμοια τρίγωνα.

Αν φέρεις τις κάθετες προβολές δύο σημείων $A$ και $A'$ της ίδιας τελικής πλευράς πάνω στον άξονα $x'x$ , σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα με την ίδια γωνία $\theta$ στην κορυφή $O$ — άρα είναι όμοια τρίγωνα. Σε όμοια τρίγωνα, οι λόγοι αντίστοιχων πλευρών είναι ίσοι, οπότε:

\frac{y}{\rho} = \frac{y'}{\rho'}, \quad \frac{x}{\rho} = \frac{x'}{\rho'}, \quad \frac{y}{x} = \frac{y'}{x'}

Δηλαδή οι λόγοι $\frac{y}{\rho}$ , $\frac{x}{\rho}$ , $\frac{y}{x}$ είναι ίδιοι για κάθε σημείο της τελικής πλευράς, όσο μακριά ή κοντά στο $O$ κι αν βρίσκεται. Αυτό είναι που κάνει τον ορισμό συνεπή: το $ημ\theta$ , το $συν\theta$ και το $εφ\theta$ εξαρτώνται μόνο από τη γωνία $\theta$ , όχι από το ποιο σημείο διάλεξες για να τους υπολογίσεις.

Σύνδεση με τον ορισμό στο ορθογώνιο τρίγωνο

Όταν η γωνία $\theta$ είναι οξεία, το τρίγωνο που σχηματίζεται από το $A(x,y)$ , την προβολή του στον άξονα $x'x$ και το $O$ είναι ακριβώς το ορθογώνιο τρίγωνο που ήδη ήξερες: το $y$ παίζει τον ρόλο της απέναντι κάθετης πλευράς, το $x$ της προσκείμενης, και το $\rho$ της υποτείνουσας. Ο νέος ορισμός δεν αναιρεί τον παλιό — τον γενικεύει σε γωνίες που δεν χωράνε σε τρίγωνο.

Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο ➕➖

Το $\rho$ είναι πάντα θετικό, αλλά οι συντεταγμένες $x$ και $y$ του σημείου $A$ αλλάζουν πρόσημο ανάλογα με το πού βρίσκεται η τελική πλευρά. Αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο κάθε τριγωνομετρικού αριθμού καθορίζεται αποκλειστικά από τα πρόσημα του $x$ και του $y$ , δηλαδή από το τεταρτημόριο της τελικής πλευράς — όχι από το μέγεθος της γωνίας. Για παράδειγμα, αν η τελική πλευρά βρίσκεται σε τεταρτημόριο όπου το $y$ είναι αρνητικό, τότε $ημ\theta < 0$ , όσο κι αν η ίδια η γωνία «φαίνεται» μεγάλη ή μικρή.

Οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί 🔢

Πέρα από το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, ορίζονται με τον ίδιο τρόπο —μέσω του $A(x,y)$ και του $\rho$ — άλλοι τρεις τριγωνομετρικοί αριθμοί, λιγότερο συχνοί αλλά χρήσιμοι σε ορισμένους τύπους:

Συνεφαπτομένη

σφ\theta = \frac{x}{y}, \quad y \neq 0

Τέμνουσα

τεμ\theta = \frac{\rho}{x}, \quad x \neq 0

Συντέμνουσα

στεμ\theta = \frac{\rho}{y}, \quad y \neq 0

Παρατήρησε ότι καθένας από αυτούς τους τρεις προκύπτει απλώς από την αντιστροφή του κλάσματος ενός από τους τρεις βασικούς: η συνεφαπτομένη αντιστρέφει την εφαπτομένη, η τέμνουσα αντιστρέφει το συνημίτονο, η συντέμνουσα αντιστρέφει το ημίτονο.

Σχέσεις αντιστρόφων τριγωνομετρικών αριθμών 🔗

Επειδή κάθε ένας από τους τρεις νέους αριθμούς προκύπτει από την αντιστροφή ενός κλάσματος, ισχύει:

Αντίστροφοι τριγωνομετρικοί αριθμοί

σφ\theta = \frac{1}{εφ\theta}, \quad τεμ\theta = \frac{1}{συν\theta}, \quad στεμ\theta = \frac{1}{ημ\theta}

Δηλαδή:

Η $εφ\theta$ και η $σφ\theta$ , όταν και οι δύο ορίζονται, είναι αντίστροφοι αριθμοί (το γινόμενό τους είναι 1).
Το ίδιο ισχύει για το ζεύγος $τεμ\theta$ και $συν\theta$ , καθώς και για το ζεύγος $στεμ\theta$ και $ημ\theta$ .

Προσοχή στο ποιος αντιστρέφει ποιον

Ο πιο συχνός μπερδεμός είναι να θεωρήσει κανείς ότι η συνεφαπτομένη αντιστρέφει το συνημίτονο (λόγω του κοινού «συν»). Στην πραγματικότητα η συνεφαπτομένη αντιστρέφει την εφαπτομένη. Το συνημίτονο αντιστρέφεται από την τέμνουσα, όχι από κάτι με το πρόθεμα «συν».

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά ➰

Υπάρχουν άπειρες γωνίες σε κανονική θέση που έχουν την ίδια τελική πλευρά: αρκεί να διαφέρουν μεταξύ τους κατά ακέραιο πολλαπλάσιο των $360°$ . Αφού οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εξαρτώνται μόνο από τη θέση της τελικής πλευράς —και όχι από το πόσες περιστροφές χρειάστηκαν για να φτάσουμε εκεί— προκύπτει άμεσα ότι:

Ίδια τελική πλευρά, ίδιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά έχουν πάντα τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αφού καθορίζονται από το ίδιο σημείο $A(x,y)$ (ή από σημεία πάνω στην ίδια ημιευθεία, που δίνουν πάντα τους ίδιους λόγους).