Γωνία σε κανονική θέση 📐

Γιατί χρειαζόμαστε έναν νέο ορισμό της γωνίας

Μέχρι τώρα, μια γωνία ήταν πάντα το «άνοιγμα» ανάμεσα σε δύο ημιευθείες, με τιμή από $0°$ έως $180°$ . Στην Τριγωνομετρία όμως χρειαζόμαστε κάτι αυτό: θέλουμε να περιγράψουμε κίνηση — μια ημιευθεία που περιστρέφεται γύρω από την κορυφή της, ξεκινώντας από μια θέση και καταλήγοντας σε μια άλλη. Αυτή η ιδέα της περιστροφής μάς επιτρέπει να μιλάμε για γωνίες πολύ μεγαλύτερες από $180°$ (ακόμα και μεγαλύτερες από μία πλήρη περιστροφή, δηλαδή $360°$ ) και για γωνίες με φορά — κάτι που η παλιά έννοια της γωνίας δεν είχε.

Τριγωνομετρική γωνία

Στην Τριγωνομετρία, οι γωνίες στο επίπεδο δημιουργούνται από την περιστροφή μίας ημιευθείας γύρω από την κορυφή της, ξεκινώντας από την αρχική της θέση. Η αρχική θέση της ημιευθείας ονομάζεται αρχική πλευρά και η τελική θέση της ημιευθείας ονομάζεται τελική πλευρά. Οι γωνίες αυτές μπορούν να αναφέρονται και ως τριγωνομετρικές γωνίες.

Η ίδια αρχική και η ίδια τελική πλευρά μπορούν να προκύψουν με πολλούς διαφορετικούς τρόπους περιστροφής: λίγο, πολύ, ακόμα και με πολλές πλήρεις βόλτες γύρω γύρω. Γι' αυτό μια τριγωνομετρική γωνία δεν περιγράφεται μόνο από το «πού καταλήγει» η ημιευθεία, αλλά και από πώς έφτασε εκεί — δηλαδή από τη φορά και το πλήθος των περιστροφών της.

Φορά γωνίας

Ανάλογα με τη φορά που κινείται η αρχική πλευρά προς την τελική πλευρά, η γωνία διακρίνεται σε:

Θετική φορά (αριστερόστροφη) ↺
Αρνητική φορά (δεξιόστροφη) ↻

Η σύμβαση αυτή δεν είναι τυχαία: έχει επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον τρόπο που μετράμε τις γωνίες στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, όπου η αριστερόστροφη κίνηση θεωρείται η «φυσιολογική», θετική κατεύθυνση.

Προσανατολισμένη γωνία

Γωνία με καθορισμένη φορά λέγεται προσανατολισμένη.

Αλγεβρική τιμή τριγωνομετρικής γωνίας

Αφού η φορά είναι εξίσου σημαντική με το μέγεθος της γωνίας, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να τις εκφράσουμε και τις δύο με έναν μόνο αριθμό. Αυτό πετυχαίνεται με το πρόσημο.

Ορισμός

Αλγεβρική τιμή μιας τριγωνομετρικής γωνίας είναι ο αριθμός που προκύπτει, όταν μετρήσουμε τη γωνία με μια μονάδα μέτρησης (π.χ. μοίρα ή ακτίνιο) και βάλουμε στο εξαγόμενο πρόσημο:

Θετικό ( $+$ ), αν η φορά διαγραφής της γωνίας είναι θετική (αριστερόστροφη)
Αρνητικό ( $-$ ), αν η φορά διαγραφής της γωνίας είναι αρνητική (δεξιόστροφη)

Έτσι, ένας μόνο αριθμός (π.χ. $+65°$ ή $-65°$ ) μας δίνει ταυτόχρονα δύο πληροφορίες: πόσο μεγάλη είναι η γωνία (το μέτρο, $65°$ ) και προς ποια φορά έγινε η περιστροφή (το πρόσημο).

Προσοχή στο πρόσημο, όχι μόνο στο μέτρο

Αν μια γωνία $a$ έχει αλγεβρική τιμή $+65°$ , τότε η φορά της είναι θετική (αριστερόστροφη). Αν μια γωνία $\beta$ έχει αλγεβρική τιμή $-65°$ , τότε η φορά της είναι αρνητική (δεξιόστροφη). Οι δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο αλλά είναι διαφορετικές ως τριγωνομετρικές γωνίες, ακριβώς επειδή διαφέρει η φορά τους.

Γωνία σε κανονική θέση

Για να μπορούμε να συγκρίνουμε εύκολα διαφορετικές τριγωνομετρικές γωνίες μεταξύ τους, είναι βολικό να τις τοποθετούμε όλες με τον ίδιο τρόπο πάνω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων — σαν να τις «μηδενίζουμε» όλες από το ίδιο σημείο εκκίνησης. Αυτός είναι ο ρόλος της κανονικής θέσης.

Ορισμός

Μία τριγωνομετρική γωνία είναι σε κανονική θέση, όταν:

Η κορυφή της βρίσκεται στην αρχή των αξόνων του ορθοκανονικού συστήματος
Η αρχική πλευρά της συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων $Ox$

Με αυτόν τον κοινό τρόπο τοποθέτησης, η μόνη πληροφορία που χρειάζεται πλέον για να περιγράψουμε πλήρως μια γωνία σε κανονική θέση είναι η αλγεβρική της τιμή: αυτή καθορίζει ακριβώς πού θα καταλήξει η τελική πλευρά.

Όταν μια γωνία βρίσκεται σε κανονική θέση:

Η τελική πλευρά μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, ανάλογα με την τιμή και τη φορά της γωνίας
Μια θετική γωνία σε κανονική θέση έχει τελική πλευρά που προκύπτει από αριστερόστροφη περιστροφή
Μια αρνητική γωνία σε κανονική θέση έχει τελική πλευρά που προκύπτει από δεξιόστροφη περιστροφή

Γωνίες μεγαλύτερες μιας πλήρους περιστροφής 🔄

Επειδή η τριγωνομετρική γωνία περιγράφει κίνηση (περιστροφή) και όχι απλώς ένα άνοιγμα, τίποτα δεν εμποδίζει την ημιευθεία να συνεχίσει να περιστρέφεται και μετά από μία πλήρη βόλτα. Μια γωνία σε κανονική θέση μπορεί λοιπόν να έχει τιμή μεγαλύτερη από $360°$ (ή $2\pi$ rad). Σε αυτή την περίπτωση, η ημιευθεία πραγματοποιεί περισσότερες από μία πλήρεις περιστροφές πριν σταματήσει στην τελική της θέση.

Γωνίες με κοινή τελική πλευρά

Αφού η ημιευθεία μπορεί να κάνει όσες πλήρεις περιστροφές θέλει πριν σταματήσει, πολλές διαφορετικές γωνίες μπορούν τελικά να καταλήξουν στην ίδια ακριβώς τελική πλευρά — απλώς κάνοντας μία, δύο, τρεις (ή καθόλου) επιπλέον πλήρεις βόλτες. Κάθε πλήρης περιστροφή προσθέτει ή αφαιρεί $360°$ από τη γωνία χωρίς να αλλάζει καθόλου πού καταλήγει η τελική πλευρά.

Σημαντική ιδιότητα

Δύο γωνίες σε κανονική θέση έχουν την ίδια τελική πλευρά αν και μόνο αν διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο των $360°$ (ή $2\pi$ rad). Δηλαδή, αν η μία γωνία είναι $\theta$ , τότε κάθε γωνία της μορφής:

\theta + \kappa \cdot 360°, \quad \kappa \in \mathbb{Z}

έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία $\theta$ .

Σε ακτίνια:

\theta + \kappa \cdot 2\pi, \quad \kappa \in \mathbb{Z}

Προσοχή!

Υπάρχουν άπειρες γωνίες σε κανονική θέση που έχουν την ίδια τελική πλευρά — μία για κάθε ακέραιο $\kappa$ , θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Όλες αυτές οι γωνίες έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, γιατί —όπως θα δούμε στη συνέχεια— οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας εξαρτώνται αποκλειστικά από τη θέση της τελικής της πλευράς, όχι από το πόσες φορές «γύρισε» η ημιευθεία για να φτάσει εκεί.