Δυνάμεις με ρητό εκθέτη 🔢

Μέχρι τώρα οι δυνάμεις που ξέρεις έχουν εκθέτη ακέραιο αριθμό: $a^3$ , $a^{-2}$ , $a^0$ . Τι σημαίνει όμως μια δύναμη σαν την $a^{\frac{1}{2}}$ , όπου ο εκθέτης είναι κλάσμα; Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να επεκτείνουμε την έννοια της δύναμης ώστε ο εκθέτης να μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ρητός αριθμός, με τρόπο που να συμφωνεί απόλυτα με όσα ήδη ξέρουμε για τις ρίζες.

Η ιδέα: η ρίζα είναι κρυμμένη δύναμη 💡

Θυμήσου τι σημαίνει η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού: το $\sqrt[v]{a}$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στην $v$ , δίνει πάλι το $a$ . Δηλαδή, εξ ορισμού:

\left(\sqrt[v]{a}\right)^{v} = a

Θέλουμε τώρα να βρούμε έναν εκθέτη $x$ τέτοιο ώστε το $a^x$ να ταυτίζεται με το $\sqrt[v]{a}$ . Αν υποθέσουμε ότι οι γνωστές ιδιότητες δυνάμεων —όπως η $(a^x)^v = a^{xv}$ — εξακολουθούν να ισχύουν και για μη ακέραιους εκθέτες, τότε πρέπει:

(a^{x})^{v} = a \Leftrightarrow xv = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{v}

Αυτό δεν είναι σύμπτωση· είναι ο λόγος για τον οποίο ορίζουμε τη δύναμη με εκθέτη $\frac{1}{v}$ ακριβώς έτσι ώστε να ταυτίζεται με τη ρίζα — μόνο έτσι οι ιδιότητες δυνάμεων που ήδη ξέρεις παραμένουν συνεπείς.

Πρόταση 1 — Σύνδεση ρίζας και δύναμης ✅

Πρόταση

Για $a \in \mathbb{R}$ , $a \geq 0$ και $v \in \mathbb{N}$ ισχύει:

a^{\frac{1}{v}} = \sqrt[v]{a}

Δηλαδή, η ν-οστή ρίζα ενός αριθμού μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως δύναμη με εκθέτη $\frac{1}{v}$ . Αυτές είναι απλώς δύο διαφορετικές γραφές για το ίδιο ακριβώς πράγμα.

Γιατί ισχύει 📝

Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού πραγματικού αριθμού, ο αριθμός $a^{\frac{1}{v}}$ πρέπει, υψωμένος στη δύναμη $v$ , να δίνει το $a$ . Πράγματι:

\left(a^{\frac{1}{v}}\right)^{v} = a \Leftrightarrow a^{\frac{1}{v}} = \sqrt[v]{a}

αφού και οι δύο πλευρές είναι μη αρνητικοί αριθμοί που υψωμένοι στην $v$ δίνουν το $a$ , άρα ταυτίζονται.

Ορισμός — Δύναμη με ρητό εκθέτη 📐

Αφού συμφωνήσαμε τι σημαίνει εκθέτης $\frac{1}{v}$ , το επόμενο βήμα είναι να ορίσουμε δύναμη με οποιονδήποτε ρητό εκθέτη $\frac{\mu}{v}$ , όχι μόνο $\frac{1}{v}$ .

Ορισμός

Αν ο εκθέτης μιας δύναμης είναι ο ρητός αριθμός $\frac{\mu}{v}$ , με $\mu, v \in \mathbb{Z}$ , $v > 0$ , και η βάση είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός $a > 0$ , τότε η παράσταση:

a^{\frac{\mu}{v}}

ονομάζεται δύναμη με ρητό εκθέτη.

Γιατί απαιτούμε $a > 0$ και όχι απλώς $a \geq 0$ όπως στην Πρόταση 1; Επειδή τώρα ο αριθμητής $\mu$ μπορεί να είναι και αρνητικός. Αν επιτρεπόταν $a = 0$ με αρνητικό $\mu$ , θα καταλήγαμε σε διαίρεση με το μηδέν (θα το δούμε αναλυτικά που ακολουθεί). Γι' αυτό ο ορισμός περιορίζεται σε θετική βάση.

Τον αριθμό $a^{\frac{\mu}{v}}$ μπορούμε να τον υπολογίσουμε με δύο ισοδύναμους τρόπους, ανάλογα με το ποια πράξη κάνουμε πρώτη — τη δύναμη ή τη ρίζα:

a^{\frac{\mu}{v}} = (a^{\mu})^{\frac{1}{v}} = \sqrt[v]{a^{\mu}}

a^{\frac{\mu}{v}} = \left(a^{\frac{1}{v}}\right)^{\mu} = \left(\sqrt[v]{a}\right)^{\mu}

Στην πράξη, ο δεύτερος τρόπος (πρώτα ρίζα, μετά δύναμη) είναι συνήθως πιο βολικός για υπολογισμούς με το χέρι, γιατί κρατά τους αριθμούς μικρότερους: υψώνεις πρώτα σε μικρή ρίζα και μετά σε δύναμη, αντί να υψώσεις πρώτα σε μεγάλη δύναμη και μετά να βγάλεις ρίζα από έναν πολύ μεγαλύτερο αριθμό.

Πρόταση 2 — Γενική μορφή δύναμης με ρητό εκθέτη ✅

Πρόταση

Για $a \in \mathbb{R}$ , $a \geq 0$ και $\mu, v \in \mathbb{Z}$ , $v > 0$ ισχύει:

a^{\frac{\mu}{v}} = \sqrt[v]{a^{\mu}} = \left(\sqrt[v]{a}\right)^{\mu}

Γιατί ισχύει 📝

Ακολουθούμε την ίδια λογική με την Πρόταση 1: από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού πραγματικού αριθμού, ο αριθμός $a^{\frac{\mu}{v}}$ πρέπει, υψωμένος στη δύναμη $v$ , να δίνει το $a^{\mu}$ :

\left(a^{\frac{\mu}{v}}\right)^{v} = a^{\mu} \Leftrightarrow a^{\frac{\mu}{v}} = \sqrt[v]{a^{\mu}}

Η ισότητα $\sqrt[v]{a^{\mu}} = \left(\sqrt[v]{a}\right)^{\mu}$ προκύπτει επειδή δεν έχει σημασία αν υψώσουμε πρώτα στη δύναμη $\mu$ και μετά βγάλουμε ρίζα, ή αν βγάλουμε πρώτα ρίζα και μετά υψώσουμε στη δύναμη $\mu$ — το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Τι γίνεται με αρνητικό εκθέτη; ⚡

Ξέρεις ήδη ότι για ακέραιο αρνητικό εκθέτη ισχύει $a^{-\kappa} = \frac{1}{a^{\kappa}}$ . Ο ίδιος κανόνας —«αρνητικός εκθέτης σημαίνει αντίστροφο»— επεκτείνεται φυσικά και στους ρητούς εκθέτες.

Ξεκινώντας από την περίπτωση $-\frac{1}{v}$ , και χρησιμοποιώντας ότι $a^{-1} = \frac{1}{a}$ :

a^{-\frac{1}{v}} = (a^{-1})^{\frac{1}{v}} = \left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{1}{v}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{v}}} = \frac{1}{\sqrt[v]{a}}

Γενικεύοντας με τον ίδιο τρόπο για οποιονδήποτε ακέραιο $\mu$ και θετικό ακέραιο $v$ , με $a > 0$ :

a^{-\frac{\mu}{v}} = (a^{-1})^{\frac{\mu}{v}} = \left(\frac{1}{a}\right)^{\frac{\mu}{v}} = \frac{1}{a^{\frac{\mu}{v}}} = \frac{1}{\sqrt[v]{a^{\mu}}}

Παρατήρησε ότι εδώ η προϋπόθεση $a > 0$ είναι απαραίτητη, όχι απλώς τυπική: αν $a$ ήταν $0$ , το κλάσμα $\frac{1}{a^{\frac{\mu}{v}}}$ θα σήμαινε διαίρεση με το μηδέν, κάτι που δεν ορίζεται.

Η ειδική περίπτωση της βάσης μηδέν 🔍

Προσοχή στο 0 και στους αρνητικούς εκθέτες

Όταν $\mu, v$ είναι θετικοί ακέραιοι, ισχύει:

0^{\frac{\mu}{v}} = 0

αφού το $0$ υψωμένο σε οποιαδήποτε θετική δύναμη παραμένει $0$ . Όμως το $0^{\frac{\mu}{v}}$ δεν ορίζεται όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός: θα σήμαινε $\frac{1}{0^{\frac{\mu}{v}}}$ , δηλαδή διαίρεση με το μηδέν. Να θυμάσαι λοιπόν: δύναμη με ρητό εκθέτη και αρνητική βάση δεν ορίζεται καθόλου (εκτός από την Πρόταση 1 όπου επιτρέπεται $a \geq 0$ μόνο για θετικό εκθέτη), και μηδενική βάση επιτρέπεται μόνο όταν ο εκθέτης είναι θετικός.

Ο λόγος που η βάση πρέπει να είναι θετική (και όχι αρνητική) στον γενικό ορισμό είναι ότι η ν-οστή ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται πάντα μέσα στους πραγματικούς αριθμούς όταν ο δείκτης $v$ είναι άρτιος (π.χ. $\sqrt{-4}$ δεν υπάρχει). Περιορίζοντας τη βάση σε θετικούς αριθμούς, αποφεύγουμε αυτό το πρόβλημα και ο ορισμός λειτουργεί ομοιόμορφα για κάθε $\mu$ και $v$ .