Η έννοια της νιοστής ρίζας 🔢

Από την τετραγωνική στη νιοστή ρίζα 📐

Ξέρεις ήδη ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού $a \geq 0$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει το $a$ · και ότι η κυβική ρίζα λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο για τον κύβο. Η ιδέα αυτή δεν σταματά στο τετράγωνο και στον κύβο: μπορεί να γενικευτεί σε οποιαδήποτε δύναμη. Αυτή η γενίκευση ονομάζεται νιοστή ρίζα.

Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ , όπου $\nu$ θετικός ακέραιος, είναι ο μη αρνητικός αριθμός $\beta$ ο οποίος, όταν υψωθεί σε δύναμη με εκθέτη $\nu$ , δίνει τον αριθμό $a$ . Με άλλα λόγια, ρωτάμε: «ποιος αριθμός, υψωμένος στη δύναμη $\nu$ , μας δίνει το $a$ ;» — και η απάντηση σε αυτή την ερώτηση είναι η νιοστή ρίζα.

Συμβολίζεται με $\sqrt[\nu]{a}$ και ισχύει ο ακόλουθος ορισμός:

\sqrt[\nu]{a} = \beta \Leftrightarrow \beta^\nu = a \quad (a \geq 0 \text{ και } \beta \geq 0, \; \nu \in \mathbb{N})

Στο σύμβολο $\sqrt[\nu]{a}$ :

ο αριθμός $\nu$ ονομάζεται δείκτης ριζικού — μας λέει «πόσες φορές» πολλαπλασιάζουμε τον $\beta$ με τον εαυτό του για να φτάσουμε στο $a$ ·
το $a$ ονομάζεται υπόριζος ποσότητα·
ολόκληρη η έκφραση $\sqrt[\nu]{a}$ είναι η νιοστή ρίζα του $a$ .

Παρατήρησε ότι η γνωστή τετραγωνική ρίζα $\sqrt{a}$ είναι απλώς η νιοστή ρίζα με $\nu = 2$ (ο δείκτης 2 συνήθως παραλείπεται), και η κυβική ρίζα $\sqrt[3]{a}$ είναι η νιοστή ρίζα με $\nu = 3$ .

Γιατί απαιτούμε a ≥ 0 και β ≥ 0;

Η νιοστή ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικό υπόριζο ( $a \geq 0$ ) και επιστρέφει μόνο μη αρνητικό αποτέλεσμα ( $\beta \geq 0$ ). Αυτό γίνεται επίτηδες, ώστε κάθε μη αρνητικός αριθμός να έχει ακριβώς μία νιοστή ρίζα — αλλιώς το σύμβολο $\sqrt[\nu]{a}$ θα ήταν διφορούμενο. Για παράδειγμα, οι εκφράσεις $\sqrt[4]{-32}$ και $\sqrt[6]{-64}$ δεν ορίζονται, διότι ο υπόριζος είναι αρνητικός.

Τέσσερις άμεσες συνέπειες του ορισμού 📝

Επειδή η νιοστή ρίζα ορίζεται με βάση τη σχέση $\beta^\nu = a$ , κάποιες ιδιότητες προκύπτουν αμέσως αν σκεφτούμε τι σημαίνει αυτή η σχέση σε ειδικές περιπτώσεις. Για κάθε $a \geq 0$ :

$\sqrt[1]{a} = a$ — αφού «υψώνω στην πρώτη δύναμη» σημαίνει ότι αφήνω τον αριθμό όπως είναι.
$\sqrt[\nu]{a} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ — ο μόνος αριθμός που υψωμένος σε οποιαδήποτε δύναμη δίνει μηδέν είναι το ίδιο το μηδέν.
$\sqrt[\nu]{1} = 1$ — το 1 υψωμένο σε οποιαδήποτε δύναμη παραμένει 1.
$\sqrt[\nu]{a^\nu} = a$ — αν ξεκινήσουμε από τον $a$ , τον υψώσουμε στη δύναμη $\nu$ και μετά πάρουμε τη νιοστή ρίζα, επιστρέφουμε στον αρχικό αριθμό: οι δύο πράξεις αναιρούν η μία την άλλη.

Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην πράξη: κάθε φορά που ο υπόριζος γράφεται ως δύναμη με εκθέτη ακριβώς ίσο με τον δείκτη της ρίζας, ο υπολογισμός γίνεται άμεσος.

Ο συντομότερος δρόμος για να υπολογίσεις μια ρίζα

Όποτε αναγνωρίσεις τον υπόριζο ως δύναμη με τον ίδιο εκθέτη με τον δείκτη της ρίζας, η ρίζα «απλοποιείται» αμέσως χωρίς κανέναν άλλο υπολογισμό. Για παράδειγμα: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$ και $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$ . Το κόλπο είναι να αναγνωρίζεις γρήγορα δυνάμεις μικρών αριθμών (τετράγωνα, κύβους, κ.λπ.).

Η εξίσωση $x^\nu = a$ και η σύνδεσή της με τη νιοστή ρίζα 🔗

Η νιοστή ρίζα δεν είναι απλώς ένα σύμβολο — γεννιέται από μια πολύ φυσική ερώτηση: πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $x^\nu = a$ , όπου $a \in \mathbb{R}$ και $\nu \in \mathbb{N}$ ; Η απάντηση εξαρτάται αποφασιστικά από το αν ο εκθέτης $\nu$ είναι περιττός ή άρτιος, γιατί το πρόσημο μιας δύναμης συμπεριφέρεται διαφορετικά στις δύο περιπτώσεις: μια περιττή δύναμη διατηρεί το πρόσημο της βάσης της, ενώ μια άρτια δύναμη είναι πάντα μη αρνητική.

Περίπτωση: ο εκθέτης $\nu$ είναι περιττός

Επειδή μια περιττή δύναμη ενός αρνητικού αριθμού παραμένει αρνητική, κάθε πραγματικός αριθμός a — θετικός, αρνητικός ή μηδέν — έχει ακριβώς μία $\nu$ -οστή ρίζα σε αυτή την περίπτωση. Η εξίσωση $x^\nu = a$ έχει επομένως πάντα μία και μόνο μία πραγματική λύση:

$x = \sqrt[\nu]{a}$ , όταν $a > 0$
$x = -\sqrt[\nu]{-a}$ , όταν $a < 0$ (εδώ ο $-a$ είναι θετικός, οπότε η έκφραση $\sqrt[\nu]{-a}$ ορίζεται κανονικά)
$x = 0$ , όταν $a = 0$

Το δεύτερο σκέλος αξίζει λίγη προσοχή: όταν $a$ είναι αρνητικός, δεν μπορούμε να γράψουμε απευθείας $\sqrt[\nu]{a}$ αφού ο ορισμός απαιτεί μη αρνητικό υπόριζο. Γι' αυτό «γυρίζουμε» πρώτα το πρόσημο, δουλεύουμε με τον θετικό αριθμό $-a$ , και μετά προσθέτουμε το πρόσημο μείον μπροστά στο αποτέλεσμα.

Περίπτωση: ο εκθέτης $\nu$ είναι άρτιος

Εδώ τα πράγματα είναι διαφορετικά, γιατί μια άρτια δύναμη οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι πάντα $\geq 0$ . Αυτό σημαίνει ότι, αν ο $a$ είναι αρνητικός, δεν υπάρχει κανένας πραγματικός αριθμός $x$ του οποίου η άρτια δύναμη να βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα. Συνολικά:

Δεν υπάρχει πραγματική λύση, όταν $a < 0$
Υπάρχουν δύο πραγματικές λύσεις, οι $x_{1,2} = \pm\sqrt[\nu]{a}$ , όταν $a > 0$
Υπάρχει μία μόνο πραγματική λύση, η $x = 0$ , όταν $a = 0$

Οι δύο λύσεις στην περίπτωση $a > 0$ εμφανίζονται επειδή τόσο ο θετικός όσο και ο αρνητικός αριθμός με την ίδια απόλυτη τιμή δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα όταν υψωθούν σε άρτια δύναμη (π.χ. $3^4 = 81$ αλλά και $(-3)^4 = 81$ ).

Η ρίζα δίνει μία τιμή, η εξίσωση μπορεί να έχει δύο

Μην μπερδεύεις τη ρίζα με την εξίσωση: όταν $\nu$ άρτιος και $a > 0$ , η εξίσωση $x^\nu = a$ έχει δύο λύσεις ( $\pm\sqrt[\nu]{a}$ ), αλλά το σύμβολο της νιοστής ρίζας $\sqrt[\nu]{a}$ αναφέρεται εξ ορισμού μόνο στη θετική από τις δύο. Για παράδειγμα, η εξίσωση $x^4 = 81$ έχει λύσεις $x_{1,2} = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$ , όμως $\sqrt[4]{81}$ από μόνο του ισούται μόνο με $3$ , ποτέ με $-3$ .

Όταν η ρίζα δεν βγαίνει «στρογγυλή» 🧮

Στα προηγούμενα παραδείγματα ο υπόριζος ήταν πάντα μια ακριβής δύναμη (όπως $81 = 3^4$ ), οπότε η ρίζα έβγαινε ακέραιος αριθμός. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα: σε πολλές περιπτώσεις η νιοστή ρίζα ενός αριθμού δεν είναι ρητός αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως ακέραιος ή ως απλό κλάσμα.

Σε τέτοιες περιπτώσεις έχουμε δύο επιλογές:

αφήνουμε τη λύση εκφρασμένη με το σύμβολο της ρίζας (π.χ. $x = \sqrt[3]{5}$ ), κρατώντας έτσι την ακριβή τιμή της·
ή, όταν χρειαζόμαστε αριθμητική προσέγγιση, υπολογίζουμε την τιμή με υπολογιστική μηχανή, στρογγυλοποιημένη στα δεκαδικά ψηφία που ζητούνται.

Το ότι μια ρίζα δεν «βγαίνει στρογγυλή» δεν σημαίνει ότι κάτι πήγε στραβά στον υπολογισμό — είναι απλώς η φύση του συγκεκριμένου αριθμού, όπως ακριβώς η $\sqrt{2}$ δεν είναι ρητός αριθμός.