Μέτρα Διασποράς 📊

Γιατί δεν αρκούν τα μέτρα θέσης

Η μέση τιμή και η διάμεσος δείχνουν πού «κεντράρονται» τα δεδομένα ενός συνόλου, αλλά δεν λένε τίποτα για το πόσο σκορπισμένες είναι οι τιμές γύρω από αυτό το κέντρο. Δύο σύνολα δεδομένων μπορεί να έχουν ακριβώς την ίδια μέση τιμή και ταυτόχρονα να διαφέρουν ριζικά ως προς το πόσο ομοιόμορφες είναι οι παρατηρήσεις τους.

Σκέψου δύο τμήματα μαθητών που πήραν και τα δύο μέσο όρο 15 σε ένα διαγώνισμα. Στο πρώτο τμήμα όλοι έγραψαν κάπου ανάμεσα σε 13 και 17. Στο δεύτερο τμήμα μισοί έγραψαν κάτω από 8 και οι άλλοι μισοί πάνω από 18. Ο μέσος όρος είναι ίδιος, όμως η εικόνα της επίδοσης είναι εντελώς διαφορετική. Για να συλλάβουμε αυτή τη διαφορά χρειαζόμαστε τα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας: μέτρα που εκφράζουν πόσο απέχουν οι τιμές μιας μεταβλητής από τα κεντρικά μέτρα θέσης.

Θα δούμε τρία τέτοια μέτρα: το εύρος, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. Κάθε ένα δίνει διαφορετική πληροφορία και έχει τα δικά του πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα.

Το εύρος (Range)

Το πιο απλό μέτρο διασποράς είναι το εύρος. Ορίζεται ως η διαφορά της μέγιστης από την ελάχιστη παρατήρηση ενός συνόλου δεδομένων. Συμβολίζεται με $R$ :

R = x_{\max} - x_{\min}

Το εύρος απαντά σε ένα απλό ερώτημα: πόσο «φαρδύ» είναι το διάστημα μέσα στο οποίο κινούνται όλες οι τιμές; Είναι εύκολο στον υπολογισμό, όμως έχει ένα σοβαρό μειονέκτημα.

Το εύρος βλέπει μόνο τα άκρα

Το εύρος χρησιμοποιεί μόνο τις δύο ακραίες τιμές και αγνοεί εντελώς πώς κατανέμονται όλες οι υπόλοιπες παρατηρήσεις ανάμεσά τους. Δύο σύνολα μπορεί να έχουν το ίδιο εύρος, ενώ το ένα έχει τις περισσότερες τιμές συγκεντρωμένες στο κέντρο και το άλλο τις έχει σκορπισμένες παντού. Γι' αυτό το εύρος επηρεάζεται πολύ εύκολα από μία και μόνο ακραία τιμή, χωρίς να λέει τίποτα για τη γενική εικόνα.

Η διακύμανση (διασπορά)

Για να πάρουμε μια πληρέστερη εικόνα, χρειαζόμαστε ένα μέτρο που να λαμβάνει υπόψη όλες τις παρατηρήσεις, όχι μόνο τις ακραίες. Η ιδέα είναι απλή: για κάθε παρατήρηση υπολογίζουμε πόσο απέχει από τη μέση τιμή (την απόκλισή της), και μετά συνδυάζουμε όλες αυτές τις αποκλίσεις σε έναν αριθμό.

Το πρόβλημα είναι ότι αν απλώς αθροίσουμε τις αποκλίσεις $x_i - \bar{x}$ , το αποτέλεσμα είναι πάντα μηδέν: οι θετικές αποκλίσεις (τιμές πάνω από τον μέσο όρο) αναιρούν τις αρνητικές (τιμές κάτω από τον μέσο όρο), αφού ο μέσος όρος είναι ακριβώς το «κέντρο ισορροπίας» των δεδομένων. Η λύση είναι να υψώσουμε κάθε απόκλιση στο τετράγωνο πριν την αθροίσουμε· έτσι όλες οι αποκλίσεις γίνονται θετικές (ή μηδέν) και δεν αναιρούνται μεταξύ τους, ενώ ταυτόχρονα οι μεγάλες αποκλίσεις «βαραίνουν» περισσότερο από τις μικρές.

Ορισμός — Διακύμανση

Η διακύμανση ή διασπορά $\nu$ παρατηρήσεων $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ με μέση τιμή $\bar{x}$ είναι ο μέσος όρος των τετραγώνων των αποκλίσεων των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή. Συμβολίζεται με $s^2$ :

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}

Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση, τόσο πιο σκορπισμένες είναι οι τιμές γύρω από τη μέση τιμή. Μια διακύμανση κοντά στο μηδέν σημαίνει ότι σχεδόν όλες οι παρατηρήσεις συμπίπτουν με τη μέση τιμή.

Το μειονέκτημα της διακύμανσης είναι ότι, επειδή προκύπτει από τετράγωνα, εκφράζεται σε τετραγωνικές μονάδες ως προς τις αρχικές παρατηρήσεις. Αν οι παρατηρήσεις είναι σε ευρώ, η διακύμανση βγαίνει σε «τετραγωνικά ευρώ» — ένα μέγεθος χωρίς άμεση πρακτική ερμηνεία.

Η τυπική απόκλιση (Standard Deviation)

Για να επιστρέψουμε στις αρχικές μονάδες μέτρησης, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Έτσι προκύπτει η τυπική απόκλιση.

Ορισμός — Τυπική απόκλιση

Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και συμβολίζεται με $s$ :

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu}}

Πώς διαβάζουμε την τυπική απόκλιση

Η τυπική απόκλιση πλεονεκτεί έναντι της διακύμανσης, γιατί εκφράζεται στην ίδια μονάδα μέτρησης με τις αρχικές παρατηρήσεις — αν οι παρατηρήσεις είναι σε ευρώ, και η τυπική απόκλιση είναι σε ευρώ.
Μια μικρή τυπική απόκλιση δηλώνει ότι οι τιμές της μεταβλητής είναι κοντά στη μέση τιμή — τα δεδομένα είναι ομοιόμορφα.
Μια μεγάλη τυπική απόκλιση δηλώνει ότι οι τιμές είναι απομακρυσμένες από τη μέση τιμή — τα δεδομένα είναι διασκορπισμένα.

Υπολογισμός βήμα προς βήμα

Για να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση ενός συνόλου παρατηρήσεων ακολουθούμε πάντα την ίδια πορεία:

Υπολογίζουμε τη μέση τιμή $\bar{x}$ των παρατηρήσεων.
Βρίσκουμε την απόκλιση $x_i - \bar{x}$ κάθε παρατήρησης από τη μέση τιμή.
Υψώνουμε κάθε απόκλιση στο τετράγωνο.
Υπολογίζουμε τον μέσο όρο των τετραγώνων — αυτή είναι η διακύμανση $s^2$ .
Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης — αυτή είναι η τυπική απόκλιση $s$ .

Λυμένο παράδειγμα

Τα χρήματα σε ευρώ που ξόδεψαν πέντε μαθητές σε μία εβδομάδα ήταν:

2, \ 3, \ 4, \ 7, \ 9

Ας υπολογίσουμε τη διάμεσο, τη μέση τιμή, το εύρος και την τυπική απόκλιση.

Οι παρατηρήσεις είναι ήδη διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά και το πλήθος τους είναι περιττό ( $\nu = 5$ ), οπότε η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, δηλαδή η τρίτη: η διάμεσος είναι 4.

Η μέση τιμή είναι:

\bar{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5

Το εύρος είναι:

R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 2 = 7

Για τη διακύμανση, υπολογίζουμε πρώτα τις αποκλίσεις από τη μέση τιμή $\bar{x}=5$ , τις υψώνουμε στο τετράγωνο και βρίσκουμε τον μέσο όρο τους:

s^2 = \frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5}

= \frac{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{9+4+1+4+16}{5} = \frac{34}{5} = 6{,}8

Άρα η τυπική απόκλιση είναι:

s = \sqrt{6{,}8} \approx 2{,}61

Υπολογισμός όταν οι τιμές επαναλαμβάνονται

Όταν κάποιες παρατηρήσεις εμφανίζονται περισσότερες από μία φορά, είναι πιο βολικό να οργανώσουμε τα δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων και να χρησιμοποιήσουμε τη συχνότητα $f_i$ κάθε τιμής $x_i$ στον υπολογισμό:

s^2 = \frac{\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{\nu}

Ο τύπος είναι στην ουσία ο ίδιος με πριν· απλώς αντί να προσθέτουμε το ίδιο τετράγωνο απόκλισης πολλές φορές ξεχωριστά, το πολλαπλασιάζουμε μία φορά με τη συχνότητά του.

Λυμένο παράδειγμα

Σε μια πολυκατοικία με δέκα οικογένειες, ο αριθμός των παιδιών ανά οικογένεια είναι:

5, \ 2, \ 2, \ 0, \ 3, \ 2, \ 1, \ 0, \ 1, \ 4

Το $x_{\min}=0$ και το $x_{\max}=5$ , άρα το εύρος είναι:

R = x_{\max} - x_{\min} = 5 - 0 = 5

Διατάσσοντας τις παρατηρήσεις παίρνουμε $0,0,1,1,2,2,2,3,4,5$ : η τιμή 0 εμφανίζεται 2 φορές, η τιμή 1 εμφανίζεται 2 φορές, η τιμή 2 εμφανίζεται 3 φορές, και οι τιμές 3, 4, 5 από μία φορά η καθεμία. Η μέση τιμή είναι:

\bar{x} = \frac{2\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 1\cdot3 + 1\cdot4 + 1\cdot5}{10} = \frac{20}{10} = 2

Οργανώνουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης σε πίνακα:

Αριθμός παιδιών $(x_i)$	Αριθμός οικογενειών $(f_i)$	$f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2$
0	2	$2 \cdot (0-2)^2 = 8$
1	2	$2 \cdot (1-2)^2 = 2$
2	3	$3 \cdot (2-2)^2 = 0$
3	1	$1 \cdot (3-2)^2 = 1$
4	1	$1 \cdot (4-2)^2 = 4$
5	1	$1 \cdot (5-2)^2 = 9$
Σύνολο	10	24

Επομένως:

s^2 = \frac{24}{10} = 2{,}4, \qquad s = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55

Πώς επηρεάζουν οι ακραίες τιμές τα μέτρα διασποράς

Μια μεγάλη αλλαγή σε μία τιμή αλλάζει και τα δύο μέτρα

Αν σε ένα σύνολο δεδομένων μία παρατήρηση αυξηθεί σημαντικά — για παράδειγμα, αν στο προηγούμενο παράδειγμα μια οικογένεια με 5 παιδιά καταγραφεί κατά λάθος με 15 — τότε αυξάνεται τόσο η μέση τιμή (αφού το άθροισμα των παρατηρήσεων μεγαλώνει) όσο και η τυπική απόκλιση (αφού η νέα τιμή απέχει πολύ περισσότερο από τον μέσο όρο, μεγαλώνοντας τις τετραγωνικές αποκλίσεις). Οι ακραίες τιμές επηρεάζουν δυσανάλογα τα μέτρα διασποράς — πολύ περισσότερο απ' όσο θα περίμενε κανείς από μία λανθασμένη καταγραφή.

Σύγκριση συνόλων δεδομένων με τα μέτρα διασποράς

Τα μέτρα διασποράς είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο σύνολα δεδομένων που έχουν την ίδια (ή παρόμοια) μέση τιμή, αλλά θέλουμε να ξέρουμε ποιο από τα δύο είναι πιο ομοιόμορφο ή πιο αξιόπιστο.

Λυμένο παράδειγμα

Ένας δήμος συγκρίνει δύο είδη λαμπτήρων για τον οδικό φωτισμό:

	Είδος Α	Είδος Β
Μέσος όρος διάρκειας ζωής	1200 ώρες	1200 ώρες
Τυπική απόκλιση διάρκειας ζωής	15 ώρες	75 ώρες
Εύρος διάρκειας ζωής	100 ώρες	400 ώρες

Και τα δύο είδη έχουν τον ίδιο μέσο όρο διάρκειας ζωής, όμως το είδος Α έχει πολύ μικρότερη τυπική απόκλιση και μικρότερο εύρος.

Ποιο είδος συμφέρει τον δήμο

Ο δήμος θα προτιμήσει το είδος Α, γιατί η μικρότερη τυπική απόκλιση και το μικρότερο εύρος σημαίνουν ότι η διάρκεια ζωής των λαμπτήρων αυτού του είδους είναι πιο συγκεντρωμένη γύρω από τον μέσο όρο. Αυτό κάνει τη συμπεριφορά τους πιο προβλέψιμη: ο δήμος μπορεί να προγραμματίσει την αντικατάστασή τους με μεγαλύτερη σιγουριά. Οι λαμπτήρες Β, αντίθετα, μπορεί να καούν πολύ νωρίτερα ή να αντέξουν πολύ περισσότερο — άγνωστο ποιο θα συμβεί.

Ο γενικός κανόνας που προκύπτει από αυτό το παράδειγμα ισχύει πάντα:

Γενικός κανόνας σύγκρισης

Όταν συγκρίνουμε δύο σύνολα δεδομένων με τον ίδιο μέσο όρο, εκείνο με τη μικρότερη τυπική απόκλιση θεωρείται πιο αξιόπιστο και πιο ομοιόμορφο, γιατί οι τιμές του βρίσκονται πιο κοντά στον μέσο όρο. Προσοχή όμως: αν οι δύο μέσοι όροι διαφέρουν σημαντικά, η σύγκριση μόνο των τυπικών αποκλίσεων δεν αρκεί για να βγάλουμε συμπέρασμα — πρέπει πρώτα να λάβουμε υπόψη και τη διαφορά στις μέσες τιμές.