Σταθμισμένος Μέσος ⚖️

Υπενθύμιση: τα μέτρα θέσης που ήδη γνωρίζεις 🔄

Όταν μελετάμε ένα σύνολο παρατηρήσεων, χρειαζόμαστε αριθμούς που περιγράφουν πού «κεντράρονται» τα δεδομένα. Αυτά λέγονται μέτρα θέσης. Τρία από αυτά τα γνωρίζεις ήδη:

Μέση τιμή ή μέσος όρος $\bar{x}$ ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών τους διά του πλήθους τους. Αν $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ είναι οι $\nu$ παρατηρήσεις μιας μεταβλητής $X$, τότε:

Διάμεσος τιμή $x_\delta$ είναι η τιμή που χωρίζει τις παρατηρήσεις σε δύο ίσα μέρη, όταν αυτές είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά. Συγκεκριμένα:

• αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό, η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση,
• αν το πλήθος είναι άρτιο, η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

Επικρατούσα τιμή $x_\varepsilon$ είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα, δηλαδή αυτή που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές στα δεδομένα.

Και τα τρία αυτά μέτρα έχουν έναν κοινό περιορισμό: αντιμετωπίζουν όλες τις παρατηρήσεις εξίσου σημαντικές. Στην πράξη, όμως, αυτό δεν ισχύει πάντα.

Γιατί δεν αρκεί ο απλός μέσος όρος 🤔

Σκέψου μια κατάσταση όπου ο τελικός βαθμός σε ένα μάθημα προκύπτει από τον βαθμό της προφορικής αξιολόγησης, μιας γραπτής άσκησης και ενός διαγωνίσματος. Αν αυτές οι τρεις αξιολογήσεις δεν έχουν την ίδια σημασία —για παράδειγμα το διαγώνισμα μετράει περισσότερο από μια απλή άσκηση— τότε ο απλός μέσος όρος τους δεν αποδίδει σωστά την πραγματική εικόνα. Θα υπολόγιζε το διαγώνισμα με την ίδια «δύναμη» που υπολογίζει και τη γραπτή άσκηση, κάτι που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα.

Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να υπολογίζουμε έναν μέσο όρο όπου κάθε παρατήρηση συνεισφέρει ανάλογα με τη σπουδαιότητά της. Αυτό ακριβώς κάνει ο σταθμισμένος μέσος.

Ορισμός του σταθμισμένου μέσου 📝

Η διαφορετική σπουδαιότητα κάθε παρατήρησης εκφράζεται με έναν αριθμό, τον συντελεστή στάθμισης ή βάρος, που δείχνει πόσο «μετράει» η συγκεκριμένη παρατήρηση σε σχέση με τις υπόλοιπες. Όσο μεγαλύτερο είναι το βάρος μιας παρατήρησης, τόσο περισσότερο επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα.

Ο τύπος αυτός λέει κάτι απλό: κάθε παρατήρηση $x_i$ δεν προστίθεται «καθαρή» στον αριθμητή, αλλά πολλαπλασιασμένη με το δικό της βάρος $w_i$. Έτσι, μια παρατήρηση με μεγάλο βάρος συνεισφέρει περισσότερο στο άθροισμα, ενώ μια παρατήρηση με μικρό βάρος συνεισφέρει λιγότερο. Στον παρονομαστή δεν βάζουμε πλέον το πλήθος $\nu$ των παρατηρήσεων, αλλά το άθροισμα όλων των βαρών — αυτό εξασφαλίζει ότι το αποτέλεσμα παραμένει μια «μέση» τιμή, δηλαδή βρίσκεται ανάμεσα στη μικρότερη και τη μεγαλύτερη παρατήρηση.

Πώς υπολογίζεται βήμα-βήμα 🧮

Για να υπολογίσεις έναν σταθμισμένο μέσο ακολουθείς πάντα την ίδια λογική διαδικασία:

1. Εντοπίζεις τις παρατηρήσεις $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ και το βάρος $w_i$ που αντιστοιχεί στην καθεμία.
2. Πολλαπλασιάζεις κάθε παρατήρηση με το βάρος της, υπολογίζοντας τα γινόμενα $w_1 x_1, w_2 x_2, \ldots, w_\nu x_\nu$.
3. Προσθέτεις όλα αυτά τα γινόμενα, σχηματίζοντας τον αριθμητή του κλάσματος.
4. Προσθέτεις όλα τα βάρη, σχηματίζοντας τον παρονομαστή.
5. Διαιρείς τον αριθμητή διά του παρονομαστή· το πηλίκο είναι ο σταθμισμένος μέσος $\bar{x}$.

Λυμένο παράδειγμα — Βαθμός τετραμήνου

Ο τελικός βαθμός τετραμήνου σε ένα εξεταζόμενο μάθημα προκύπτει από τον βαθμό της προφορικής αξιολόγησης με βαρύτητα 60%, μιας γραπτής άσκησης με βαρύτητα 10% και ενός διαγωνίσματος με βαρύτητα 30%. Ένας μαθητής πήρε βαθμό 18 στην προφορική αξιολόγηση, βαθμό 14 στη γραπτή άσκηση και βαθμό 16 στο διαγώνισμα. Ποιος είναι ο τελικός του βαθμός;

Λύση. Τα βάρη εδώ είναι τα ποσοστά, γραμμένα ως δεκαδικοί αριθμοί: $w_1 = 0{,}6$, $w_2 = 0{,}1$, $w_3 = 0{,}3$, ενώ οι παρατηρήσεις είναι $x_1 = 18$, $x_2 = 14$, $x_3 = 16$. Εφαρμόζοντας τον τύπο:

Ο τελικός βαθμός τετραμήνου του μαθητή είναι 17.

Ένα δεύτερο παράδειγμα με βάρη που δεν αθροίζουν στο 1 🔢

Για να δεις καθαρά γιατί χρειάζεται πάντα η διαίρεση με το άθροισμα των βαρών, εξέτασε δύο παρατηρήσεις: $x_1 = 10$ με βάρος $w_1 = 3$ και $x_2 = 20$ με βάρος $w_2 = 1$. Εδώ τα βάρη δεν εκφράζουν ποσοστά — δείχνουν, για παράδειγμα, ότι η πρώτη παρατήρηση εμφανίστηκε ή μετράει τρεις φορές περισσότερο από τη δεύτερη.

Παρατήρησε ότι το αποτέλεσμα $12{,}5$ είναι πιο κοντά στο $10$ παρά στο $20$ — κι αυτό είναι λογικό, αφού η τιμή $10$ έχει μεγαλύτερο βάρος και άρα «τραβάει» τον σταθμισμένο μέσο προς το μέρος της. Αν είχαμε υπολογίσει απλό μέσο όρο, θα παίρναμε $\frac{10+20}{2}=15$, μια τιμή που αγνοεί εντελώς ότι η μία παρατήρηση μετράει περισσότερο από την άλλη.