Τεταρτημόρια 📊

Τι είναι τα τεταρτημόρια

Όταν διατάξουμε ένα σύνολο παρατηρήσεων σε αύξουσα σειρά, μπορούμε να το χωρίσουμε σε τέσσερα ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία περιέχει το ένα τέταρτο των δεδομένων. Τα σημεία που κάνουν αυτόν τον χωρισμό ονομάζονται τεταρτημόρια.

Ορισμός

Τα τεταρτημόρια είναι τρεις αριθμοί, οι $Q_1$ , $Q_2$ και $Q_3$ , που χωρίζουν τα διατεταγμένα δεδομένα σε τέσσερις ομάδες. Κάθε ομάδα περιέχει περίπου το 25% των παρατηρήσεων.

Η ιδέα είναι απλή: αν η διάμεσος χωρίζει τα δεδομένα στη μέση (σε δύο μισά), τα τεταρτημόρια πάνε ένα βήμα παραπέρα και χωρίζουν κάθε μισό ξανά στη μέση, δίνοντας συνολικά τέσσερα κομμάτια:

\text{Μικρότερη τιμή} \longrightarrow Q_1 \longrightarrow Q_2 \longrightarrow Q_3 \longrightarrow \text{Μεγαλύτερη τιμή}

Ανάμεσα σε δύο διαδοχικά τεταρτημόρια (ή ανάμεσα σε ένα άκρο και το κοντινότερο τεταρτημόριο) βρίσκεται πάντα το 25% των παρατηρήσεων. Αυτή η ιδιότητα κάνει τα τεταρτημόρια πολύ χρήσιμα: μας δείχνουν πόσο απλωμένα ή πόσο συγκεντρωμένα είναι τα δεδομένα γύρω από συγκεκριμένες τιμές, κάτι που ένας μόνος αριθμός (όπως ο μέσος όρος) δεν μπορεί να δείξει.

Τα τρία τεταρτημόρια ξεχωριστά

Κάθε τεταρτημόριο έχει το δικό του ρόλο, ανάλογα με το πόσο «μέσα» στα δεδομένα βρίσκεται.

Πρώτο τεταρτημόριο (Q1)

Το $Q_1$ είναι η τιμή που χωρίζει τα δεδομένα έτσι ώστε το πολύ 25% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες από αυτή, και το πολύ 75% να είναι μεγαλύτερες.

Δεύτερο τεταρτημόριο (Q2)

Το $Q_2$ είναι η τιμή που χωρίζει τα δεδομένα στη μέση: το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτή και το πολύ 50% μεγαλύτερες. Επειδή χωρίζει τα δεδομένα ακριβώς στα δύο, το $Q_2$ ταυτίζεται πάντα με τη διάμεσο των παρατηρήσεων: $Q_2 = x_\delta$ .

Τρίτο τεταρτημόριο (Q3)

Το $Q_3$ είναι η τιμή που χωρίζει τα δεδομένα έτσι ώστε το πολύ 75% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες από αυτή, και το πολύ 25% να είναι μεγαλύτερες.

Το Q2 δεν είναι απλώς ένα ακόμα τεταρτημόριο

Πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν τα $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ σαν τρεις εντελώς ανεξάρτητες έννοιες. Στην πραγματικότητα το $Q_2$ είναι ήδη γνωστό: είναι η διάμεσος που έχει ήδη υπολογιστεί με τον δικό της τρόπο. Ό,τι είναι νέο εδώ είναι τα $Q_1$ και $Q_3$ , που «τεμαχίζουν» περαιτέρω το κάτω και το πάνω μισό των δεδομένων.

Υπολογισμός τεταρτημορίων από πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων

Όταν τα δεδομένα είναι οργανωμένα σε πίνακα συχνοτήτων και έχει σχεδιαστεί το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων, μπορούμε να διαβάσουμε τα τεταρτημόρια απευθείας από το γράφημα, χωρίς να χρειάζεται να καταγράψουμε όλες τις επιμέρους παρατηρήσεις.

Η λογική στηρίζεται στο ότι ο κατακόρυφος άξονας του πολυγώνου δείχνει πλήθος παρατηρήσεων (αθροιστική συχνότητα), ενώ ο οριζόντιος δείχνει τις τιμές των δεδομένων. Αφού ξέρουμε πόσες παρατηρήσεις θέλουμε να αφήσουμε πίσω μας (π.χ. το 25% του συνόλου για το $Q_1$ ), εντοπίζουμε αυτό το πλήθος στον κατακόρυφο άξονα και «διαβάζουμε» ποια τιμή του αντιστοιχεί στον οριζόντιο άξονα.

Βήματα υπολογισμού

Υπολογίζουμε το 25%, το 50% και το 75% του συνολικού αριθμού παρατηρήσεων $n$ — αυτές είναι οι τιμές αθροιστικής συχνότητας που αντιστοιχούν στα $Q_1$ , $Q_2$ , $Q_3$ .
Εντοπίζουμε κάθε τιμή στον κατακόρυφο άξονα (άξονα αθροιστικής συχνότητας).
Από εκεί φέρνουμε οριζόντια ευθεία μέχρι να τέμνει το πολύγωνο.
Από το σημείο τομής φέρνουμε κάθετη ευθεία προς τον οριζόντιο άξονα.
Η τιμή που «προσγειώνεται» στον οριζόντιο άξονα είναι το αντίστοιχο τεταρτημόριο.

Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2–5 τρεις φορές: μία για το 25% (δίνει το $Q_1$ ), μία για το 50% (δίνει το $Q_2$ ) και μία για το 75% (δίνει το $Q_3$ ).

Προσοχή στον άξονα εκκίνησης

Ένα συχνό λάθος είναι να ξεκινήσει κανείς την ανάγνωση από τον οριζόντιο άξονα αντί από τον κατακόρυφο. Θυμήσου: ξεκινάμε πάντα από το ποσοστό/πλήθος παρατηρήσεων (κατακόρυφος άξονας), γιατί αυτό είναι το δεδομένο που ξέρουμε εκ των προτέρων (25%, 50%, 75%). Το τεταρτημόριο είναι η τιμή που ψάχνουμε, και αυτή βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα.

Λυμένο παράδειγμα

Ένα πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων δείχνει τον χρόνο (σε λεπτά) που χρειάζονται οι υπάλληλοι μιας επιχείρησης για να μεταβούν στην εργασία τους, περνώντας από τα σημεία $(10, 9)$ , $(20, 27)$ , $(30, 40)$ , $(40, 50)$ , $(50, 54)$ , $(60, 58)$ , $(70, 60)$ . Θέλουμε να υπολογίσουμε τα τρία τεταρτημόρια.

Λύση

Από το τελευταίο σημείο του πολυγώνου προκύπτει ότι το σύνολο των παρατηρήσεων είναι $n = 60$ .

Υπολογισμός του $Q_1$ : Βρίσκουμε το 25% του 60:

0{,}25 \times 60 = 15

Εντοπίζουμε την τιμή 15 στον κατακόρυφο άξονα, φέρνουμε οριζόντια ευθεία μέχρι να τμήσει το πολύγωνο σε ένα σημείο $A$ , και από το $A$ φέρνουμε κάθετη ευθεία στον οριζόντιο άξονα. Η τιμή που διαβάζουμε είναι $Q_1 \approx 13$ .

Υπολογισμός του $Q_2$ : Βρίσκουμε το 50% του 60:

0{,}50 \times 60 = 30

Με την ίδια διαδικασία, η οριζόντια ευθεία από την τιμή 30 τέμνει το πολύγωνο σε σημείο $B$ , και η κάθετη από το $B$ δίνει $Q_2 \approx 22$ .

Υπολογισμός του $Q_3$ : Βρίσκουμε το 75% του 60:

0{,}75 \times 60 = 45

Η οριζόντια ευθεία από την τιμή 45 τέμνει το πολύγωνο σε σημείο $\Gamma$ , και η κάθετη από το $\Gamma$ δίνει $Q_3 \approx 35$ .

Ερμηνεία των αποτελεσμάτων

Τα τεταρτημόρια δεν είναι απλώς αριθμοί — έχουν νόημα μόνο όταν τους ερμηνεύσουμε:

$Q_1 \approx 13$ : περίπου το 25% των υπαλλήλων χρειάζονται μέχρι 13 λεπτά για να φτάσουν στην εργασία τους.
$Q_2 \approx 22$ : περίπου το 50% χρειάζονται μέχρι 22 λεπτά (αυτή είναι και η διάμεσος του χρόνου μετάβασης).
$Q_3 \approx 35$ : περίπου το 75% χρειάζονται μέχρι 35 λεπτά.

Παρατήρησε ότι το 25% των υπαλλήλων (αυτοί με τους πιο μεγάλους χρόνους) χρειάζονται πάνω από 35 λεπτά — πληροφορία που δεν θα φαινόταν αν κοιτούσαμε μόνο τη διάμεσο.