Πολύγωνο συχνοτήτων και πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων 📈

Ο πίνακας συχνοτήτων δίνει την πλήρη πληροφορία για μια κατανομή, αλλά ένα γράφημα την κάνει αμέσως κατανοητή με μια ματιά: πού συγκεντρώνονται οι παρατηρήσεις, πώς αυξάνεται ο συνολικός αριθμός τους. Το πολύγωνο συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων είναι δύο τέτοιοι τρόποι απεικόνισης, καθένας χρήσιμος για διαφορετικό σκοπό: ο πρώτος δείχνει πού «συγκεντρώνεται» η κατανομή, ο δεύτερος δείχνει πόσες παρατηρήσεις έχουν συγκεντρωθεί μέχρι κάποιο σημείο.

Πολύγωνο συχνοτήτων για διακριτές παρατηρήσεις 🔹

Όταν οι παρατηρήσεις παίρνουν μεμονωμένες, διακριτές τιμές (π.χ. αριθμός παιδιών, αριθμός λαθών), το πολύγωνο συχνοτήτων κατασκευάζεται ως εξής:

Η ιδέα είναι απλή: κάθε τιμή της παρατήρησης γίνεται ένα σημείο στο επίπεδο, με ύψος ανάλογο του πόσες φορές εμφανίστηκε αυτή η τιμή. Όσο πιο ψηλά βρίσκεται ένα σημείο, τόσο πιο συχνή είναι η αντίστοιχη τιμή. Το σχήμα που προκύπτει δείχνει αμέσως πού «κορυφώνεται» η κατανομή και πού είναι πιο αραιή.

Παράδειγμα - Διακριτές παρατηρήσεις 💡

Ο αριθμός των παιδιών 25 οικογενειών που κατοικούν σε μια πολυκατοικία είναι:

Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων (μαζί με τις αθροιστικές συχνότητες, που θα χρειαστούν στη συνέχεια) είναι:

Για το πολύγωνο συχνοτήτων, στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε τον αριθμό των παιδιών $(0, 1, 2, 3, 4)$ και στον κατακόρυφο άξονα τη συχνότητα των αντίστοιχων τιμών $(3, 8, 7, 5, 2)$. Προκύπτουν τα σημεία $(0, 3)$, $(1, 8)$, $(2, 7)$, $(3, 5)$ και $(4, 2)$. Ενώνοντας διαδοχικά αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα παίρνουμε το πολύγωνο συχνοτήτων: ανεβαίνει απότομα από την τιμή 0 στην τιμή 1 (η πιο συχνή τιμή, με 8 οικογένειες), μετά κατεβαίνει σταδιακά προς την τιμή 4 (η πιο σπάνια, με μόλις 2 οικογένειες).

Πολύγωνο συχνοτήτων για ομαδοποιημένες παρατηρήσεις 🔹

Όταν οι παρατηρήσεις είναι πολλές και συνεχείς, τις χωρίζουμε σε ομάδες (κλάσεις) πριν φτιάξουμε τον πίνακα συχνοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει μία μοναδική τιμή για κάθε κλάση, γι' αυτό χρειάζεται μια σύμβαση: χρησιμοποιούμε το μέσο της κάθε κλάσης ως αντιπροσωπευτική της τιμή.

Γιατί το μέσο και όχι κάποιο άλλο σημείο της κλάσης; Επειδή, χωρίς περισσότερη πληροφορία, θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις μέσα σε μια κλάση κατανέμονται περίπου ομοιόμορφα γύρω από το κέντρο της· το μέσο είναι επομένως η πιο λογική «θέση» που μπορούμε να δώσουμε σε ολόκληρη την ομάδα πάνω στον άξονα.

Το μέσο μιας κλάσης $[α, β)$ υπολογίζεται με τον τύπο:

Για παράδειγμα, το μέσο της κλάσης $[40, 50)$ είναι $\frac{40+50}{2} = 45$.

Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων 📈

Το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων δεν δείχνει πόσες παρατηρήσεις έχει η κάθε τιμή ξεχωριστά, αλλά πόσες παρατηρήσεις έχουν συγκεντρωθεί «μέχρι και» μια συγκεκριμένη τιμή. Απαντά δηλαδή σε ερωτήματα του τύπου «πόσες οικογένειες έχουν το πολύ 2 παιδιά;» με μία ματιά στο γράφημα.

Για διακριτές παρατηρήσεις 🔹

Για ομαδοποιημένες παρατηρήσεις 🔹

Εδώ η σύμβαση αλλάζει σε σχέση με το πολύγωνο συχνοτήτων: δεν χρησιμοποιούμε το μέσο της κλάσης, αλλά το δεξί άκρο της.

Η επιλογή του δεξιού άκρου δεν είναι τυχαία: η αθροιστική συχνότητα μιας κλάσης μετράει όλες τις παρατηρήσεις που είναι μικρότερες από το πάνω όριο της κλάσης εκείνης. Άρα η τιμή αυτή «ολοκληρώνεται» ακριβώς στο δεξί άκρο — εκεί είναι το σημείο όπου το πλήθος αυτό έχει πράγματι συγκεντρωθεί.

Η βασική ιδιότητα: μη φθίνουσα καμπύλη

Αυτό δεν είναι σύμπτωση αλλά άμεση συνέπεια του τρόπου με τον οποίο ορίζεται η αθροιστική συχνότητα: κάθε νέα τιμή της είναι το άθροισμα της προηγούμενης αθροιστικής συχνότητας και της (πάντα μη αρνητικής) συχνότητας της επόμενης κλάσης ή τιμής. Αφού ποτέ δεν αφαιρούμε τίποτα, η γραμμή δεν μπορεί ποτέ να κατέβει· το πολύ να μείνει οριζόντια, αν κάποια τιμή έχει μηδενική συχνότητα.

Παράδειγμα - Διακριτές παρατηρήσεις 💡

Χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα των 25 οικογενειών, για το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε ξανά τον αριθμό των παιδιών $(0, 1, 2, 3, 4)$, αλλά στον κατακόρυφο άξονα βάζουμε τώρα την αθροιστική συχνότητα $(3, 11, 18, 23, 25)$. Προκύπτουν τα σημεία $(0, 3)$, $(1, 11)$, $(2, 18)$, $(3, 23)$ και $(4, 25)$. Ενώνοντάς τα με τεθλασμένη γραμμή παίρνουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων, το οποίο ανεβαίνει σταθερά μέχρι να φτάσει στο συνολικό πλήθος των παρατηρήσεων (25).

Παράδειγμα - Ομαδοποιημένες παρατηρήσεις 💡

Ο χρόνος σε λεπτά που χρειάζονται οι υπάλληλοι μιας επιχείρησης για να μεταβούν στην εργασία τους δίνεται στον πίνακα:

Πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων

Στην πρώτη γραμμή η αθροιστική συχνότητα ταυτίζεται με τη συχνότητα της ομάδας· σε κάθε επόμενη γραμμή προσθέτουμε τη συχνότητα της ομάδας στην αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης γραμμής:

Δύο τρόποι για το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων

Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι να κατασκευάσουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ομαδοποιημένων παρατηρήσεων:

Α' τρόπος (μέσω ιστογράμματος): Κατασκευάζουμε πρώτα το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων: ορθογώνια με βάση κάθε κλάση και ύψος ίσο με την αθροιστική συχνότητα της κλάσης εκείνης (εδώ τα ύψη είναι διαδοχικά 9, 27, 40, 50, 54, 58, 60 — πάντα αυξανόμενα). Στη συνέχεια ενώνουμε με τεθλασμένη γραμμή τα σημεία που βρίσκονται στην πάνω δεξιά γωνία κάθε ορθογωνίου.

Β' τρόπος (απευθείας, χωρίς ιστόγραμμα): Χωρίζουμε τον οριζόντιο άξονα στις κλάσεις και σημειώνουμε στον κατακόρυφο άξονα τις τιμές της αθροιστικής συχνότητας. Για κάθε κλάση σημειώνουμε το σημείο που έχει ως τετμημένη το δεξί άκρο της κλάσης και ως τεταγμένη την αθροιστική της συχνότητα: $(10, 9)$, $(20, 27)$, $(30, 40)$, $(40, 50)$, $(50, 54)$, $(60, 58)$, $(70, 60)$. Ενώνοντας αυτά τα σημεία με τεθλασμένη γραμμή σχηματίζεται το ίδιο πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων.