Πίνακας κατανομής συχνοτήτων και αθροιστική συχνότητα 📊

Βασικές έννοιες της Στατιστικής 🔄

Η Στατιστική μελετά τα στοιχεία ενός πληθυσμού ως προς κάποιο χαρακτηριστικό. Για να δουλέψουμε σωστά με δεδομένα, χρειαζόμαστε λίγες θεμελιώδεις έννοιες.

Η μεταβλητή είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός συνόλου αναφοράς. Για παράδειγμα, αν μελετάμε τους μαθητές μιας τάξης, μεταβλητή μπορεί να είναι το ύψος τους, ο αριθμός αδερφών τους ή το αγαπημένο τους μάθημα. Οι μεταβλητές χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες:

• Ποσοτικές μεταβλητές: παίρνουν τιμές που είναι αριθμοί και έχουν νόημα ως μετρήσεις ή καταμετρήσεις (π.χ. ύψος, ηλικία, αριθμός αδερφών).
• Ποιοτικές μεταβλητές: παίρνουν τιμές που περιγράφουν μια ιδιότητα ή κατηγορία και δεν είναι αριθμοί με αριθμητικό νόημα (π.χ. αγαπημένο μάθημα, χρώμα ματιών).

Οι παρατηρήσεις είναι οι τιμές της μεταβλητής που καταγράφουμε για καθένα από τα μέλη του πληθυσμού. Αν ρωτήσουμε 20 μαθητές πόσα αδέρφια έχουν, οι 20 απαντήσεις που θα πάρουμε είναι οι παρατηρήσεις μας.

Η συχνότητα μιας παρατήρησης είναι ο φυσικός αριθμός που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται η συγκεκριμένη παρατήρηση μέσα στο σύνολο των δεδομένων. Αν η τιμή "2 αδέρφια" εμφανίζεται σε 5 μαθητές, τότε η συχνότητά της είναι 5.

Όταν έχουμε πολλά δεδομένα, δεν αρκεί απλώς να τα καταγράψουμε — χρειαζόμαστε έναν τρόπο να τα παρουσιάσουμε ώστε να βγάζουμε νόημα από αυτά γρήγορα. Γι' αυτό χρησιμοποιούνται στατιστικά διαγράμματα, όπως το ραβδόγραμμα, το ιστόγραμμα και το κυκλικό διάγραμμα, αλλά και ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων, που είναι το κύριο εργαλείο αυτής της ενότητας.

Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων 📋

Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η παρουσίαση των παρατηρήσεων με συνοπτικό τρόπο, ώστε να έχουμε σαφή εικόνα της κατανομής των τιμών της μεταβλητής και να εξάγουμε εύκολα συμπεράσματα. Φαντάσου να έχεις καταγράψει τις ηλικίες 100 ανθρώπων μία-μία σε μια λίστα: θα ήταν πολύ δύσκολο να καταλάβεις με μια ματιά πώς κατανέμονται. Αν όμως μετρήσεις πόσες φορές εμφανίζεται κάθε ηλικία, η εικόνα γίνεται αμέσως ξεκάθαρη.

Αυτό ακριβώς κάνει ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων: αποτελείται από στήλες στις οποίες παρουσιάζονται οι διαφορετικές τιμές των παρατηρήσεων και οι αντίστοιχες συχνότητές τους $f$. Κάθε γραμμή του πίνακα αντιστοιχεί σε μία διαφορετική τιμή που εμφανίζεται στα δεδομένα, μαζί με το πόσες φορές εμφανίστηκε.

Αθροιστική συχνότητα 📈

Πέρα από τη συχνότητα κάθε τιμής ξεχωριστά, είναι συχνά χρήσιμο να ξέρουμε πόσες παρατηρήσεις βρίσκονται μέχρι και μια συγκεκριμένη τιμή. Εκεί χρησιμεύει η αθροιστική συχνότητα.

Η λογική πίσω από την αθροιστική συχνότητα είναι απλή: κάθε φορά που προχωράμε σε μια νέα τιμή, "μαζεύουμε" όλες τις παρατηρήσεις που έχουμε συναντήσει μέχρι εκείνο το σημείο. Έτσι, η αθροιστική συχνότητα μιας τιμής μάς λέει αμέσως πόσες παρατηρήσεις είναι μικρότερες ή ίσες από αυτήν, χωρίς να χρειάζεται να τις μετρήσουμε ξανά μία-μία.

Λυμένο παράδειγμα: πίνακας κατανομής συχνοτήτων

Δίνονται οι ηλικίες 20 σκύλων ενός καταφυγίου:

(α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων (συχνότητα, αθροιστική συχνότητα).

(β) Να βρεθεί ο αριθμός των σκύλων που η ηλικία τους είναι τουλάχιστον 7 έτη.

Λύση

(α) Οι διαφορετικές ηλικίες που εμφανίζονται είναι: $2, 3, 4, 5, 7, 8, 9$. Μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται καθεμιά (συχνότητα) και μετά υπολογίζουμε την αθροιστική συχνότητα προσθέτοντας διαδοχικά:

Παρατήρησε ότι η τελευταία τιμή της αθροιστικής συχνότητας είναι 20, όσο ακριβώς και το σύνολο των παρατηρήσεων — αυτό επιβεβαιώνει ότι ο πίνακας είναι σωστός.

(β) Ζητείται πόσοι σκύλοι έχουν ηλικία τουλάχιστον 7, δηλαδή 7, 8 ή 9 έτη. Προσθέτουμε τις αντίστοιχες συχνότητες:

Υπάρχει όμως και ένας πιο γρήγορος τρόπος, χρησιμοποιώντας την αθροιστική συχνότητα: αφού συνολικά έχουμε 20 παρατηρήσεις και η αθροιστική συχνότητα της τιμής 5 (η τελευταία τιμή πριν το 7) είναι 11, τότε οι παρατηρήσεις από το 7 και πάνω είναι όσες απομένουν:

Ομαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις 📦

Όταν το πλήθος των διαφορετικών τιμών είναι πολύ μεγάλο, ή όταν οι παρατηρήσεις έχουν μεγάλο εύρος τιμών, ένας πίνακας με μια γραμμή για κάθε διαφορετική τιμή γίνεται δυσανάγνωστος — θα είχε δεκάδες γραμμές και δεν θα βοηθούσε στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αντί να καταγράφουμε κάθε τιμή ξεχωριστά, τις ομαδοποιούμε σε κλάσεις ή ομάδες.

Κάθε κλάση είναι ένα διάστημα τιμών με κλειστό το αριστερό άκρο και ανοικτό το δεξί άκρο, όπως π.χ. $[10, 20)$. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή 10 ανήκει στην κλάση, ενώ η τιμή 20 δεν ανήκει σε αυτήν — ανήκει στην επόμενη κλάση, $[20, 30)$.

Λυμένο παράδειγμα: ομαδοποιημένες παρατηρήσεις

Η συγκέντρωση όζοντος ($O_3$), σε $\mu\text{gr/m}^3$, στην ατμόσφαιρα σε έναν κυκλοφοριακό σταθμό κατά τη διάρκεια ενός μήνα ήταν:

(α) Να ομαδοποιηθούν οι παρατηρήσεις σε κλάσεις πλάτους 10 και να κατασκευαστεί πίνακας κατανομής συχνοτήτων.

(β) Πόσες μέρες η συγκέντρωση ήταν τουλάχιστον $80 \; \mu\text{gr/m}^3$;

(γ) Πόσες μέρες η συγκέντρωση ήταν μικρότερη από $70 \; \mu\text{gr/m}^3$;

Λύση

(α) Η ελάχιστη παρατήρηση είναι $46$ και η μέγιστη είναι $102$. Επιλέγουμε κλάσεις πλάτους 10 που να καλύπτουν όλο αυτό το εύρος τιμών:

Μετράμε πόσες παρατηρήσεις πέφτουν σε κάθε κλάση και υπολογίζουμε την αθροιστική συχνότητα:

Η τελευταία τιμή της αθροιστικής συχνότητας είναι 28, ίση με το συνολικό πλήθος των παρατηρήσεων — ο πίνακας είναι σωστός.

(β) Η συγκέντρωση είναι τουλάχιστον $80 \; \mu\text{gr/m}^3$ στις τρεις τελευταίες κλάσεις: $[80, 90)$, $[90, 100)$ και $[100, 110)$. Προσθέτουμε τις συχνότητές τους:

Άρα υπήρχαν 8 μέρες με υψηλή συγκέντρωση όζοντος.

(γ) Η συγκέντρωση είναι μικρότερη από $70 \; \mu\text{gr/m}^3$ στις τρεις πρώτες κλάσεις: $[40, 50)$, $[50, 60)$ και $[60, 70)$. Μπορούμε να προσθέσουμε τις συχνότητές τους, $3 + 7 + 3 = 13$, αλλά υπάρχει και πιο σύντομος τρόπος: αυτό ακριβώς φαίνεται απευθείας από την αθροιστική συχνότητα της κλάσης $[60, 70)$, που είναι ήδη 13 — μας δίνει το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των κλάσεων μέχρι και αυτήν.