Όμοια Ευθύγραμμα Σχήματα 📐

Η ιδέα της ομοιότητας

Δύο σχήματα μπορούν να έχουν ακριβώς την ίδια «μορφή» χωρίς να έχουν το ίδιο μέγεθος: μια φωτογραφία και η μεγέθυνσή της, ένας χάρτης και η περιοχή που απεικονίζει, ένα αρχιτεκτονικό σχέδιο και το κτήριο που περιγράφει. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις το ένα σχήμα είναι σαν «σμίκρυνση» ή «μεγέθυνση» του άλλου, χωρίς να αλλάζει η αναλογία των μερών του. Αυτή ακριβώς τη σχέση —ίδια μορφή, ενδεχομένως διαφορετικό μέγεθος— την περιγράφουν με ακρίβεια τα μαθηματικά μέσα από την έννοια της ομοιότητας.

Η ομοιότητα είναι πιο γενική έννοια από την ισότητα σχημάτων: δύο ίσα σχήματα είναι πάντα όμοια (με λόγο 1), αλλά δύο όμοια σχήματα δεν χρειάζεται να είναι ίσα.

Ορισμός όμοιων πολυγώνων

Ορισμός

Δύο πολύγωνα λέγονται όμοια όταν:

Έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, και
Έχουν τις γωνίες που σχηματίζονται από αντίστοιχες πλευρές ίσες, μία προς μία.

Οι δύο συνθήκες πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα. Καμία από τις δύο μόνη της δεν αρκεί: υπάρχουν σχήματα με ίσες γωνίες αλλά άνισες αναλογίες πλευρών (π.χ. ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο έχουν όλες τις γωνίες ορθές, αλλά δεν είναι όμοια αν οι πλευρές τους δεν είναι ανάλογες), όπως υπάρχουν και σχήματα με ανάλογες πλευρές αλλά άνισες γωνίες.

Η σχέση ομοιότητας συμβολίζεται με $\approx$ . Αν τα πολύγωνα $AB\Gamma\Delta$ και $A'B'\Gamma'\Delta'$ είναι όμοια, γράφουμε $AB\Gamma\Delta \approx A'B'\Gamma'\Delta'$ και ισχύουν συγχρόνως:

\frac{AB}{A'B'} = \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \frac{\Gamma\Delta}{\Gamma'\Delta'} = \frac{A\Delta}{A'\Delta'}

\hat{A} = \hat{A}', \quad \hat{B} = \hat{B}', \quad \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}', \quad \hat{\Delta} = \hat{\Delta}'

Αντίστοιχες κορυφές και ομόλογες πλευρές

Όταν γράφουμε την ομοιότητα δύο πολυγώνων, η σειρά με την οποία γράφουμε τις κορυφές έχει σημασία: δείχνει ποια κορυφή αντιστοιχεί σε ποια.

Αντίστοιχες κορυφές δύο όμοιων πολυγώνων λέγονται οι κορυφές των ίσων γωνιών.
Ομόλογες πλευρές λέγονται οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες (δηλαδή οι πλευρές που ενώνουν αντίστοιχες κορυφές).

Η σειρά των γραμμάτων δεν είναι τυχαία

Στη γραφή $AB\Gamma\Delta \approx A'B'\Gamma'\Delta'$ , το $A$ αντιστοιχεί υποχρεωτικά στο $A'$ , το $B$ στο $B'$ κ.ο.κ. Αν αλλάξει η σειρά αντιστοίχισης, αλλάζουν και οι ομόλογες πλευρές — γι' αυτό η αντιστοιχία κορυφών πρέπει πάντα να δηλώνεται με σαφήνεια.

Λόγος ομοιότητας

Ορισμός

Λόγος ομοιότητας δύο όμοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο ομόλογων πλευρών τους. Συμβολίζεται συνήθως με $\lambda$ .

Αν τα πολύγωνα $AB\Gamma\Delta$ και $A'B'\Gamma'\Delta'$ είναι όμοια, ο λόγος ομοιότητας του πρώτου ως προς το δεύτερο είναι

\lambda = \frac{AB}{A'B'} = \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \frac{\Gamma\Delta}{\Gamma'\Delta'} = \frac{A\Delta}{A'\Delta'}

Επειδή όλα τα πολύγωνα ομόλογων πλευρών δίνουν τον ίδιο λόγο (αυτό ακριβώς λέει ο ορισμός της ομοιότητας), αρκεί να υπολογίσουμε μία μόνο από αυτές τις σχέσεις για να βρούμε το $\lambda$ .

Ο λόγος αλλάζει αν αλλάξει η σειρά σύγκρισης

Ο λόγος ομοιότητας εξαρτάται από το ποιο πολύγωνο θεωρούμε πρώτο. Αν ο λόγος του πρώτου πολυγώνου ως προς το δεύτερο είναι $\lambda$ , τότε ο λόγος του δεύτερου ως προς το πρώτο δεν είναι $\lambda$ αλλά ο αντίστροφός του, $\dfrac{1}{\lambda}$ . Πρόκειται για λάθος πολύ συχνό: το να θεωρηθεί ότι ο λόγος ομοιότητας είναι «ο ίδιος και ανάποδα».

Όταν $\lambda = 1$ , οι ομόλογες πλευρές είναι ίσες μία προς μία — τα δύο πολύγωνα είναι στην πραγματικότητα ίσα. Η ισότητα σχημάτων είναι επομένως η ειδική περίπτωση ομοιότητας με λόγο 1.

Περίμετρος και εμβαδόν όμοιων πολυγώνων

Το ενδιαφέρον της ομοιότητας δεν σταματά στις πλευρές και τις γωνίες: όταν δύο σχήματα είναι όμοια, ξέρουμε αμέσως πώς σχετίζονται και οι υπόλοιπες μετρικές τους ιδιότητες.

Πρόταση

Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda$ , τότε:

(α) Ο λόγος των περιμέτρων τους ισούται με τον λόγο ομοιότητας $\lambda$ .

(β) Ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας, $\lambda^2$ .

\frac{\Pi_1}{\Pi_2} = \lambda \qquad\qquad \frac{E_1}{E_2} = \lambda^2

Γιατί συμβαίνει αυτό; Η περίμετρος είναι ένα άθροισμα μηκών: κάθε πλευρά του πρώτου πολυγώνου είναι $\lambda$ φορές η ομόλογή της στο δεύτερο, άρα και το άθροισμα όλων των πλευρών (η περίμετρος) είναι $\lambda$ φορές η περίμετρος του δεύτερου. Πρόκειται για μια σχέση γραμμική ως προς $\lambda$ , αφού το μήκος μετριέται σε μία μόνο διάσταση.

Το εμβαδόν όμως μετριέται σε δύο διαστάσεις — είναι, ουσιαστικά, ένα γινόμενο δύο μηκών (π.χ. μήκος επί πλάτος σε ένα ορθογώνιο, ή βάση επί ύψος σε ένα τρίγωνο). Αφού κάθε μήκος πολλαπλασιάζεται επί $\lambda$ , το γινόμενο δύο μηκών πολλαπλασιάζεται επί $\lambda \cdot \lambda = \lambda^2$ . Αυτός είναι ο λόγος που το εμβαδόν «μεγαλώνει» πολύ πιο γρήγορα από την περίμετρο όταν μεγεθύνουμε ένα σχήμα.

Απόδειξη για ορθογώνια παραλληλόγραμμα

Θεωρούμε δύο όμοια ορθογώνια παραλληλόγραμμα $AB\Gamma\Delta$ και $A'B'\Gamma'\Delta'$ , με λόγο ομοιότητας $\lambda$ .

(α) Περίμετροι. Αφού τα πολύγωνα είναι όμοια, όλοι οι λόγοι ομόλογων πλευρών ισούνται με $\lambda$ :

\lambda = \frac{AB}{A'B'} = \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \frac{\Gamma\Delta}{\Gamma'\Delta'} = \frac{A\Delta}{A'\Delta'}

Μια βασική ιδιότητα των ίσων λόγων είναι ότι ισούνται και με τον λόγο του αθροίσματος των όρων τους:

\lambda = \frac{AB + B\Gamma + \Gamma\Delta + A\Delta}{A'B' + B'\Gamma' + \Gamma'\Delta' + A'\Delta'} = \frac{\Pi_{AB\Gamma\Delta}}{\Pi_{A'B'\Gamma'\Delta'}}

(β) Εμβαδά. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο δύο διαδοχικών πλευρών του. Έχουμε λοιπόν:

\lambda^2 = \lambda \cdot \lambda = \frac{AB}{A'B'} \cdot \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \frac{AB \cdot B\Gamma}{A'B' \cdot B'\Gamma'} = \frac{E_{AB\Gamma\Delta}}{E_{A'B'\Gamma'\Delta'}}

Μην συγχέεις τις δύο σχέσεις

Πολλοί μαθητές θυμούνται ότι «υπάρχει τετράγωνο κάπου» αλλά το εφαρμόζουν λάθος πλευρά: το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας αφορά μόνο το εμβαδόν, ποτέ την περίμετρο. Αν $\lambda = 3$ , η περίμετρος γίνεται 3 φορές μεγαλύτερη, όχι 9 φορές· το εμβαδόν γίνεται 9 φορές μεγαλύτερο, όχι 3 φορές.

Ομοιότητα και κλίμακα σχεδίων

Η έννοια της ομοιότητας βρίσκεται πίσω από κάθε κλίμακα που συναντάμε σε χάρτες, αρχιτεκτονικά σχέδια ή τεχνικά σχέδια. Ένα σχέδιο με κλίμακα $1:100$ σημαίνει ότι το σχέδιο είναι όμοιο με την πραγματική κατασκευή, με λόγο ομοιότητας

\lambda = \frac{\text{μήκος στο σχέδιο}}{\text{πραγματικό μήκος}} = \frac{1}{100}

Δηλαδή κάθε μήκος στο σχέδιο είναι το $\frac{1}{100}$ του αντίστοιχου πραγματικού μήκους. Γνωρίζοντας την κλίμακα, μπορούμε να περάσουμε από τις διαστάσεις του σχεδίου στις πραγματικές διαστάσεις (και αντίστροφα), καθώς και από το εμβαδόν του σχεδίου στο πραγματικό εμβαδόν, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις περιμέτρου και εμβαδού που είδαμε παραπάνω.

Λυμένο παράδειγμα: έλεγχος ομοιότητας

Εκφώνηση. Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma\Delta$ με πλευρές $a$ και $2a$ , και τετράγωνο $EZH\Theta$ με πλευρά $a$ . Είναι τα δύο πολύγωνα όμοια;

Λύση. Οι γωνίες και των δύο σχημάτων είναι όλες ορθές, άρα ίσες μία προς μία. Ελέγχουμε τώρα αν οι πλευρές είναι ανάλογες, συγκρίνοντας τους λόγους ομόλογων πλευρών:

\lambda_1 = \frac{A\Delta}{E\Theta} = \frac{B\Gamma}{ZH} = \frac{a}{a} = 1, \qquad \lambda_2 = \frac{AB}{EZ} = \frac{\Delta\Gamma}{\Theta H} = \frac{2a}{a} = 2

Οι δύο λόγοι δεν είναι ίσοι ( $1 \neq 2$ ), άρα οι πλευρές δεν είναι ανάλογες. Παρόλο που οι γωνίες είναι ίσες, τα πολύγωνα $AB\Gamma\Delta$ και $EZH\Theta$ δεν είναι όμοια.

Το συμπέρασμα του παραδείγματος

Το παράδειγμα δείχνει καθαρά γιατί οι ίσες γωνίες δεν αρκούν: χρειάζεται οπωσδήποτε και ο έλεγχος των λόγων των πλευρών.

Λυμένο παράδειγμα: κλίμακα και πραγματικές διαστάσεις

Εκφώνηση. Ένα δωμάτιο σε αρχιτεκτονικό σχέδιο με κλίμακα $1:100$ έχει διαστάσεις $3{,}480$ cm και $3{,}550$ cm. Να βρεθούν οι πραγματικές διαστάσεις του δωματίου, και το πραγματικό του εμβαδόν αν το εμβαδόν στο σχέδιο είναι $37{,}4334$ cm².

Λύση.

Ο λόγος ομοιότητας σχεδίου προς πραγματικότητα είναι $\lambda = \dfrac{1}{100}$ . Συμβολίζουμε με $a_\Sigma, \beta_\Sigma$ τις διαστάσεις στο σχέδιο και με $a_\Pi, \beta_\Pi$ τις πραγματικές διαστάσεις. Τότε:

\lambda = \frac{a_\Sigma}{a_\Pi} \Rightarrow \frac{1}{100} = \frac{3{,}480}{a_\Pi} \Rightarrow a_\Pi = 100 \cdot 3{,}480 = 348 \text{ cm} = 3{,}48 \text{ m}

\lambda = \frac{\beta_\Sigma}{\beta_\Pi} \Rightarrow \frac{1}{100} = \frac{3{,}550}{\beta_\Pi} \Rightarrow \beta_\Pi = 100 \cdot 3{,}550 = 355 \text{ cm} = 3{,}55 \text{ m}

Για το εμβαδόν χρησιμοποιούμε ότι ο λόγος εμβαδών ισούται με $\lambda^2$ :

\frac{E_\Sigma}{E_\Pi} = \lambda^2 \Rightarrow \frac{37{,}4334}{E_\Pi} = \left(\frac{1}{100}\right)^2 = \frac{1}{10000} \Rightarrow E_\Pi = 37{,}4334 \cdot 10000 = 374334 \text{ cm}^2 = 37{,}4334 \text{ m}^2

Συντομότερος δρόμος

Στο εμβαδόν θα μπορούσαμε εναλλακτικά να υπολογίσουμε πρώτα τις πραγματικές διαστάσεις και μετά να τις πολλαπλασιάσουμε μεταξύ τους — το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, γιατί και οι δύο δρόμοι εκφράζουν την ίδια σχέση ομοιότητας.

Κανονικά πολύγωνα και ομοιότητα

Μια ειδική περίπτωση εγγυημένης ομοιότητας

Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι πάντα όμοια μεταξύ τους, ανεξάρτητα από το μήκος της πλευράς τους.

Αυτό συμβαίνει επειδή σε ένα κανονικό πολύγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους εξ ορισμού, και το μέγεθός τους καθορίζεται αποκλειστικά από τον αριθμό των πλευρών (όχι από το μήκος τους). Άρα δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών έχουν αυτόματα ίσες γωνίες μία προς μία. Επιπλέον, σε ένα κανονικό πολύγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε ο λόγος οποιασδήποτε πλευράς του ενός προς την αντίστοιχη πλευρά του άλλου είναι πάντα ο ίδιος αριθμός — δηλαδή οι πλευρές είναι πάντα ανάλογες. Δύο κανονικά εξάγωνα, για παράδειγμα, είναι πάντα όμοια μεταξύ τους, όσο διαφορετικό κι αν είναι το μήκος της πλευράς τους.

Αντίθετα, δύο πολύγωνα που δεν είναι κανονικά (όπως το ορθογώνιο και το τετράγωνο του πρώτου παραδείγματος) μπορεί να έχουν ίσες γωνίες χωρίς να είναι όμοια — η κανονικότητα είναι αυτή που εγγυάται αυτόματα και τη δεύτερη συνθήκη, την αναλογία των πλευρών.