Ανισώσεις δευτέρου βαθμού 📐

📌 Τι είναι μια ανίσωση δευτέρου βαθμού

Μια ανίσωση δευτέρου βαθμού είναι μια ανίσωση μίας από τις μορφές

f(x) > 0, \quad f(x) < 0, \quad f(x) \geq 0, \quad f(x) \leq 0

όπου $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ , με $\alpha \neq 0$ . Το ζητούμενο δεν είναι μια συγκεκριμένη τιμή του $x$ , όπως σε μια εξίσωση, αλλά όλες οι τιμές του $x$ για τις οποίες η παράσταση $f(x)$ παίρνει πρόσημο σύμφωνα με την ανισότητα.

Η λύση μιας τέτοιας ανίσωσης δεν είναι ένας αριθμός αλλά ένα σύνολο τιμών — συνήθως ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Το βασικό εργαλείο για να βρούμε αυτό το σύνολο είναι η μελέτη του προσήμου του τριωνύμου $f(x)$ : αν ξέρουμε πού το $f(x)$ είναι θετικό, πού αρνητικό και πού μηδενίζεται, τότε η ανίσωση λύνεται αυτόματα — αρκεί να διαβάσουμε το κομμάτι του πίνακα προσήμου που μας ενδιαφέρει.

Γιατί δουλεύει αυτή η μέθοδος

Το τριώνυμο είναι μια συνεχής συνάρτηση, άρα δεν μπορεί να αλλάξει πρόσημο «απότομα»: για να περάσει από θετικό σε αρνητικό (ή αντίστροφα) πρέπει να περάσει από το μηδέν. Γι' αυτό οι ρίζες του τριωνύμου είναι ακριβώς τα σημεία όπου το πρόσημο μπορεί να αλλάξει, και ο πίνακας προσήμου καταγράφει πλήρως τη συμπεριφορά του σε όλο το $\mathbb{R}$ .

🔧 Η μέθοδος επίλυσης

Κάθε ανίσωση δευτέρου βαθμού λύνεται με τα ίδια δύο βήματα.

Βήμα 1 — Μελετούμε το πρόσημο του τριωνύμου $f(x)$ :

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ .
Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου, αν υπάρχουν.
Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο του $\alpha$ .

Βήμα 2 — Διαβάζουμε τη λύση από τον πίνακα: επιλέγουμε τις τιμές του $x \in \mathbb{R}$ για τις οποίες το $f(x)$ έχει το πρόσημο (ή είναι μηδέν) που ζητά η ανίσωση.

Προσοχή στο είδος της ανισότητας

Το σύμβολο της ανίσωσης καθορίζει αν οι ρίζες περιλαμβάνονται στη λύση ή όχι:

Τα $\geq$ και $\leq$ συμπεριλαμβάνουν τις ρίζες (αν υπάρχουν) στο σύνολο λύσεων — γράφουμε κλειστά άκρα $[\,]$ .
Τα $>$ και $<$ αποκλείουν τις ρίζες — γράφουμε ανοιχτά άκρα $(\,)$ .

Ο λόγος είναι απλός: στις ρίζες το τριώνυμο ισούται με μηδέν, όχι με θετικό ή αρνητικό αριθμό. Αν η ανίσωση δέχεται και την περίπτωση της ισότητας με το μηδέν ( $\geq$ , $\leq$ ), η ρίζα ανήκει στη λύση· αν ζητά αυστηρή ανισότητα ( $>$ , $<$ ), η ρίζα αποκλείεται.

✏️ Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1 — Δύο άνισες ρίζες, ανοιχτό διάστημα

Να λυθεί η ανίσωση $x^2 + 2x - 15 < 0$ .

Έχουμε $\alpha = 1 > 0$ . Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο: $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3)$ , οπότε οι ρίζες είναι $x_1 = -5$ και $x_2 = 3$ (πραγματικές και άνισες, αφού $\Delta > 0$ ).

Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου:

$x$	$-\infty$		$-5$		$3$		$+\infty$
$x^2 + 2x - 15$		$+$	0	$-$	0	$+$

Ζητάμε πού το τριώνυμο είναι αρνητικό, άρα η λύση είναι το διάστημα ανάμεσα στις ρίζες:

x \in (-5, 3)

Τα άκρα είναι ανοιχτά επειδή η ανίσωση είναι αυστηρή ( $<$ ) και οι ρίζες αποκλείονται.

Παράδειγμα 2 — Δύο άνισες ρίζες, κλειστό σύνολο εκτός ριζών

Να λυθεί η ανίσωση $(-x+1)(x-4) \leq 0$ .

Ο συντελεστής του $x^2$ προκύπτει αν αναπτύξουμε: $(-x+1)(x-4) = -x^2 + 5x - 4$ , άρα $\alpha = -1 < 0$ . Οι ρίζες φαίνονται ήδη από την παραγοντοποιημένη μορφή: $x_1 = 1$ και $x_2 = 4$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$4$		$+\infty$
$(-x+1)(x-4)$		$-$	0	$+$	0	$-$

Ζητάμε πού το τριώνυμο είναι αρνητικό ή μηδέν. Από τον πίνακα, αυτό συμβαίνει εκτός του διαστήματος $[1, 4]$ :

x \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty)

Τα άκρα $1$ και $4$ είναι κλειστά επειδή η ανίσωση είναι $\leq$ και δέχεται την ισότητα με το μηδέν.

Μην μπερδεύεις το πρόσημο του α όταν το τριώνυμο είναι σε γινόμενο

Στο παράδειγμα αυτό, το $\alpha$ δεν φαίνεται άμεσα σαν αριθμός μπροστά σε $x^2$ · πρέπει πρώτα να αναπτύξουμε το γινόμενο ή να σκεφτούμε πρόσημα: το $-x+1$ έχει αρνητικό συντελεστή στο $x$ και το $x-4$ θετικό, άρα το γινόμενο έχει $\alpha < 0$ . Παράλειψη αυτού του βήματος είναι μια πολύ συχνή πηγή λάθους.

Παράδειγμα 3 — Διπλή ρίζα

Να λυθεί η ανίσωση $x^2 - 12x + 36 > 0$ .

Έχουμε $\alpha = 1 > 0$ και $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$ , άρα η διπλή ρίζα είναι $x_1 = x_2 = 6$ ( $\Delta = 0$ ).

$x$	$-\infty$		$6$		$+\infty$
$(x-6)^2$		$+$	0	$+$

Το τετράγωνο $(x-6)^2$ είναι πάντα μη αρνητικό, και μηδενίζεται μόνο στο $x = 6$ . Ζητάμε αυστηρά θετικό, άρα αποκλείουμε ακριβώς το σημείο όπου η τιμή είναι μηδέν:

x \in \mathbb{R} \setminus \{6\}

Ο ρόλος της διπλής ρίζας

Όταν $\Delta = 0$ , το τριώνυμο δεν αλλάζει ποτέ πρόσημο — είναι ομόσημο του $\alpha$ παντού εκτός από τη διπλή ρίζα, όπου μηδενίζεται χωρίς να αλλάξει πρόσημο (η γραφική παράσταση απλώς «ακουμπάει» τον άξονα $x$ σε εκείνο το σημείο).

Παράδειγμα 4 — Ανίσωση με παράμετρο

Για ποιες τιμές του $\kappa \in \mathbb{R}$ , $\kappa \neq 2$ , η εξίσωση $(\kappa - 2)x^2 - 2\kappa x + 2\kappa - 3 = 0$ έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις;

Αφού $\kappa \neq 2$ , η εξίσωση είναι όντως δευτέρου βαθμού ως προς $x$ . Για δύο πραγματικές και άνισες λύσεις χρειαζόμαστε $\Delta > 0$ , όπου $\Delta$ υπολογίζεται με συντελεστές $\alpha = \kappa - 2$ , $\beta = -2\kappa$ , $\gamma = 2\kappa - 3$ :

\Delta > 0 \Leftrightarrow (-2\kappa)^2 - 4(\kappa-2)(2\kappa-3) > 0 \Leftrightarrow -4\kappa^2 + 28\kappa - 24 > 0

\Leftrightarrow -4(\kappa^2 - 7\kappa + 6) > 0 \Leftrightarrow -4(\kappa-1)(\kappa-6) > 0

Αυτή είναι πλέον μια ανίσωση δευτέρου βαθμού ως προς $\kappa$ , με $\alpha = -4 < 0$ και ρίζες $\kappa_1 = 1$ , $\kappa_2 = 6$ .

$\kappa$	$-\infty$		$1$		$2$		$6$		$+\infty$
$-4(\kappa-1)(\kappa-6)$		$-$	0	$+$		$+$	0	$-$

Ζητάμε θετικό πρόσημο, άρα $\kappa \in (1, 6)$ — αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε την τιμή $\kappa = 2$ που είχαμε αποκλείσει εξαρχής:

\kappa \in (1, 2) \cup (2, 6)

Μην ξεχνάς τους αρχικούς περιορισμούς

Όταν μια παράμετρος έχει έναν περιορισμό (εδώ $\kappa \neq 2$ ) πριν καν ξεκινήσουμε τη μελέτη προσήμου, αυτός ο περιορισμός δεν εξαφανίζεται — πρέπει να εφαρμοστεί ξανά στο τέλος, πάνω στο τελικό σύνολο λύσεων. Γι' αυτό εδώ το διάστημα $(1,6)$ «σπάει» σε δύο κομμάτια.

🎯 Ειδικές περιπτώσεις: όταν δεν υπάρχει λύση ή η λύση είναι όλο το $\mathbb{R}$

Δεν έχουν όλες οι ανισώσεις δευτέρου βαθμού λύση που να είναι ένα «κανονικό» διάστημα. Όταν $\Delta < 0$ , το τριώνυμο δεν μηδενίζεται ποτέ και διατηρεί σταθερό πρόσημο — το πρόσημο του $\alpha$ — σε όλο το $\mathbb{R}$ . Αυτό οδηγεί σε δύο ακραίες περιπτώσεις:

Αν ζητάμε πρόσημο ίδιο με του $\alpha$ , η ανίσωση ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Αν ζητάμε πρόσημο αντίθετο από του $\alpha$ , η ανίσωση είναι αδύνατη — δεν έχει καμία λύση.

Για παράδειγμα:

Η ανίσωση $x^2 + 1 < 0$ δεν έχει λύση, γιατί $x^2 + 1 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (το $\alpha = 1 > 0$ και $\Delta = 0 - 4 = -4 < 0$ ).
Η ανίσωση $-(x-3)^2 > 0$ δεν έχει λύση, γιατί $-(x-3)^2 \leq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (εδώ $\Delta = 0$ , όχι $\Delta < 0$ , αλλά η λογική είναι ανάλογη: το τριώνυμο δεν γίνεται ποτέ θετικό).
Η ανίσωση $x^2 + x + 1 > 0$ ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , αφού $\alpha = 1 > 0$ και $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ .

Μια ανίσωση χωρίς λύση είναι σωστή απάντηση

Πολλοί μαθητές, όταν δεν βρίσκουν διάστημα λύσης, υποθέτουν ότι έκαναν λάθος στις πράξεις. Όμως το «δεν υπάρχει λύση» (ή, αντίστροφα, «ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ») είναι μια απολύτως έγκυρη και συχνή απάντηση — ειδικά όταν $\Delta \leq 0$ .

🗺️ Συγκεντρωτικός οδηγός λύσεων

Η λύση μιας ανίσωσης δευτέρου βαθμού καθορίζεται πλήρως από δύο στοιχεία: το πρόσημο του $\alpha$ και το πρόσημο του $\Delta$ . Ο παρακάτω οδηγός συνοψίζει όλες τις περιπτώσεις.

Αν $\Delta > 0$ (δύο άνισες ρίζες $x_1 < x_2$ ):

Ανίσωση	Αν $\alpha > 0$	Αν $\alpha < 0$
$f(x) > 0$	$x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$	$x \in (x_1, x_2)$
$f(x) \geq 0$	$x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$	$x \in [x_1, x_2]$
$f(x) < 0$	$x \in (x_1, x_2)$	$x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
$f(x) \leq 0$	$x \in [x_1, x_2]$	$x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$

Αν $\Delta = 0$ (διπλή ρίζα $x_1$ ):

Ανίσωση	Αν $\alpha > 0$	Αν $\alpha < 0$
$f(x) > 0$	$x \in \mathbb{R} \setminus \{x_1\}$	Αδύνατο
$f(x) \geq 0$	$x \in \mathbb{R}$	$x = x_1$ μόνο
$f(x) < 0$	Αδύνατο	$x \in \mathbb{R} \setminus \{x_1\}$
$f(x) \leq 0$	$x = x_1$ μόνο	$x \in \mathbb{R}$

Αν $\Delta < 0$ (καμία πραγματική ρίζα):

Ανίσωση	Αν $\alpha > 0$	Αν $\alpha < 0$
$f(x) > 0$	$x \in \mathbb{R}$	Αδύνατο
$f(x) \geq 0$	$x \in \mathbb{R}$	Αδύνατο
$f(x) < 0$	Αδύνατο	$x \in \mathbb{R}$
$f(x) \leq 0$	Αδύνατο	$x \in \mathbb{R}$

Δύο αριθμοί αρκούν για όλα

Αν γνωρίζεις μόνο το πρόσημο του $\alpha$ και το πρόσημο του $\Delta$ , μπορείς να προβλέψεις αμέσως τη μορφή της λύσης κάθε ανίσωσης δευτέρου βαθμού — πριν καν υπολογίσεις τις ρίζες. Αυτό κάνει τον έλεγχο της απάντησής σου πολύ γρήγορο: υπολόγισε πρώτα $\alpha$ και $\Delta$ , και ήδη ξέρεις τι είδους σύνολο να περιμένεις.