Πρόσημο τιμών τριωνύμου 🔍

Τι εννοούμε με «πρόσημο του τριωνύμου»

Ένα τριώνυμο $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, $\alpha \neq 0$, παίρνει διαφορετική τιμή για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Άλλες φορές αυτή η τιμή είναι θετική, άλλες αρνητική, και σε συγκεκριμένα σημεία μηδενίζεται. Το να «μελετήσουμε το πρόσημο» του τριωνύμου σημαίνει να βρούμε ακριβώς για ποιες τιμές του $x$ η παράσταση είναι θετική, για ποιες αρνητική και για ποιες μηδέν.

Αυτό δεν είναι απλή περιέργεια: το πρόσημο ενός τριωνύμου είναι το εργαλείο που λύνει τις ανισώσεις δευτέρου βαθμού, καθορίζει το πεδίο ορισμού παραστάσεων που περιέχουν ρίζα ή κλάσμα με τριώνυμο στον παρονομαστή, και εμφανίζεται σε πλήθος προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Το πρόσημο του τριωνύμου καθορίζεται πλήρως από δύο στοιχεία:

• τον συντελεστή $\alpha$ (το πρόσημό του),
• τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$.

Ο λόγος είναι γεωμετρικός: η γραφική παράσταση της $f$ είναι μια παραβολή, και το αν και πού αυτή η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ καθορίζει πού αλλάζει πρόσημο η συνάρτηση. Το $\alpha$ λέει αν η παραβολή «ανοίγει» προς τα πάνω ή προς τα κάτω, και η $\Delta$ λέει πόσες φορές (αν έστω) η παραβολή αγγίζει ή διασχίζει τον άξονα.

Παρακάτω εξετάζουμε τις τρεις περιπτώσεις που προκύπτουν ανάλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$.

Περίπτωση Δ > 0: δύο πραγματικές ρίζες

Όταν $\Delta > 0$, η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες $x_1$ και $x_2$, με $x_1 < x_2$. Η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x'x$ σε δύο σημεία, $(x_1, 0)$ και $(x_2, 0)$.

Ανάμεσα στις δύο ρίζες η παραβολή βρίσκεται στη μία πλευρά του άξονα, ενώ εκτός των ριζών βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά — αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το αν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω, γιατί η ίδια η φορά που ανοίγει καθορίζει ποια πλευρά είναι ποια.

Ο πίνακας προσήμου συνοψίζει τη συμπεριφορά αυτή:

Αν $\alpha > 0$ η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω, οπότε η $f$ είναι αρνητική ανάμεσα στις ρίζες (εκεί που η παραβολή «βυθίζεται» κάτω από τον άξονα) και θετική εκτός ριζών. Αν $\alpha < 0$ η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω, οπότε ισχύει το αντίστροφο: θετική ανάμεσα στις ρίζες, αρνητική εκτός.

Περίπτωση Δ = 0: διπλή ρίζα

Όταν $\Delta = 0$, η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ έχει μία μόνο πραγματική λύση, τη διπλή ρίζα $x_1 = x_2 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$. Γεωμετρικά, η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα $x'x$ σε δύο σημεία· απλώς τον εφάπτεται σε ένα και μοναδικό σημείο, $(x_1, 0)$, χωρίς να περνά στην άλλη πλευρά.

Αν $\alpha > 0$, η $f$ είναι θετική ή μηδέν σε όλο το $\mathbb{R}$ — δεν γίνεται ποτέ αρνητική. Αν $\alpha < 0$, η $f$ είναι αρνητική ή μηδέν παντού.

Περίπτωση Δ < 0: καμία πραγματική ρίζα

Όταν $\Delta < 0$, η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ δεν έχει καμία πραγματική λύση. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή δεν αγγίζει καθόλου τον άξονα $x'x$ — βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη μία πλευρά του.

| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|
| Πρόσημο $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ | | Ομόσημο του $\alpha$ | |

Αν $\alpha > 0$, η παραβολή βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα $x'x$, οπότε η $f$ είναι πάντα θετική. Αν $\alpha < 0$, βρίσκεται ολόκληρη κάτω, οπότε η $f$ είναι πάντα αρνητική.

Συνοπτικός πίνακας

Οι τρεις περιπτώσεις μαζί δίνουν έναν πλήρη χάρτη για το πρόσημο κάθε τριωνύμου, αρκεί να ξέρεις το πρόσημο του $\alpha$ και την τιμή της $\Delta$:

Δύο τρόποι εύρεσης του προσήμου

Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι να προσδιορίσεις το πρόσημο ενός τριωνύμου:

1. Μέσω της διακρίνουσας: υπολόγισε το $\alpha$ και τη $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$, βρες τις ρίζες (αν υπάρχουν), και εφάρμοσε τον αντίστοιχο πίνακα προσήμου από τις τρεις περιπτώσεις παραπάνω.
2. Μέσω συμπλήρωσης τετραγώνου: γράφεις το τριώνυμο στη μορφή $\alpha(x + \kappa)^2 + \lambda$. Επειδή $(x + \kappa)^2 \geq 0$ πάντα, το πρόσημο της παράστασης φαίνεται άμεσα από το πρόσημο του $\lambda$ (όταν $\alpha > 0$) χωρίς καν να χρειάζεται να υπολογίσεις τη $\Delta$.

Ο δεύτερος τρόπος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος όταν το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, γιατί αποδεικνύει το σταθερό πρόσημο χωρίς αναφορά σε ρίζες που δεν υπάρχουν.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1 — Μελέτη προσήμου από γραφική παράσταση

Εκφώνηση: Μια παραβολή με $\alpha > 0$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στα σημεία $(-1, 0)$ και $(3, 0)$. Να μελετηθεί το πρόσημο του τριωνύμου.

Λύση: Αφού $\alpha > 0$ και η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία, έχουμε $\Delta > 0$ με ρίζες $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Ο πίνακας προσήμου είναι:

Άρα $f(x) > 0$ όταν $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$, $f(x) < 0$ όταν $x \in (-1, 3)$, και $f(x) = 0$ όταν $x = -1$ ή $x = 3$.

Παράδειγμα 2 — Τριώνυμο χωρίς πραγματικές ρίζες

Εκφώνηση: Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου $x^2 + 2x + 10$.

α΄ τρόπος (μέσω διακρίνουσας): Έχουμε $\alpha = 1 > 0$ και $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 < 0$. Άρα το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, και ο πίνακας προσήμου είναι:

Επομένως $x^2 + 2x + 10 > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

β΄ τρόπος (συμπλήρωση τετραγώνου): Για κάθε $x \in \mathbb{R}$:

Ο δεύτερος τρόπος φτάνει στο ίδιο συμπέρασμα χωρίς καν να υπολογίσουμε τη $\Delta$.

Παράδειγμα 3 — Τριώνυμο σε μορφή γινομένου

Εκφώνηση: Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου $(x-2)(x+3)$.

Λύση: Το γινόμενο μηδενίζεται όταν $x = 2$ ή $x = -3$, άρα αυτές είναι οι ρίζες: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Ο συντελεστής του $x^2$ (αν αναπτύξουμε το γινόμενο) είναι $\alpha = 1 > 0$. Ο πίνακας προσήμου:

Άρα $(x-2)(x+3) > 0$ όταν $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$, και $(x-2)(x+3) < 0$ όταν $x \in (-3, 2)$.

Παράδειγμα 4 — Τριώνυμο με διπλή ρίζα

Εκφώνηση: Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου $-4x^2 + 12x - 9$.

α΄ τρόπος (μέσω διακρίνουσας): Έχουμε $\alpha = -4 < 0$ και $\Delta = 12^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-9) = 144 - 144 = 0$. Άρα υπάρχει διπλή ρίζα:

Ο πίνακας προσήμου:

Επομένως $-4x^2 + 12x - 9 < 0$ για κάθε $x \neq \dfrac{3}{2}$, και $-4x^2 + 12x - 9 = 0$ όταν $x = \dfrac{3}{2}$.

β΄ τρόπος (συμπλήρωση τετραγώνου): Για κάθε $x \in \mathbb{R}$:

με ισότητα μόνο όταν $x = \dfrac{3}{2}$, αφού τότε $(2x-3)^2 = 0$.