Συστήματα δευτέρου βαθμού 🧮

Τι είναι ένα σύστημα δευτέρου βαθμού 🤔

Ένα σύστημα δευτέρου βαθμού αποτελείται από δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, όπου τουλάχιστον μία από τις δύο εξισώσεις είναι δευτέρου βαθμού. Η άλλη εξίσωση μπορεί να είναι είτε πρώτου βαθμού είτε κι αυτή δευτέρου βαθμού.

Λύση ενός τέτοιου συστήματος είναι κάθε ζεύγος τιμών $(x, y)$ που επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις. Επειδή τουλάχιστον μία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού, ένα σύστημα δευτέρου βαθμού μπορεί να έχει καμία, μία ή περισσότερες λύσεις — σε αντίθεση με ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού, που συνήθως έχει το πολύ μία.

Η μέθοδος της αντικατάστασης 🔄

Ο πιο βασικός τρόπος επίλυσης ενός συστήματος δευτέρου βαθμού είναι η μέθοδος της αντικατάστασης. Η ιδέα είναι απλή: αφού δεν μπορούμε να χειριστούμε εύκολα δύο αγνώστους ταυτόχρονα σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, μειώνουμε το πρόβλημα σε μία εξίσωση με έναν άγνωστο.

Τα βήματα της μεθόδου είναι τα εξής:

1. Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς μία μεταβλητή, εκφράζοντάς την συναρτήσει της άλλης. Κατά προτίμηση επιλέγουμε την πρωτοβάθμια εξίσωση, όταν υπάρχει, γιατί η επίλυσή της ως προς μια μεταβλητή είναι πιο απλή.
2. Αντικαθιστούμε την έκφραση που βρήκαμε στη θέση της ίδιας μεταβλητής, μέσα στην άλλη εξίσωση.
3. Η αντικατάσταση αυτή μετατρέπει τη δεύτερη εξίσωση σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με μία μόνο μεταβλητή — κάτι που ξέρουμε ήδη να λύνουμε.
4. Λύνουμε αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση, βρίσκοντας τις τιμές της πρώτης μεταβλητής.
5. Για κάθε τιμή που βρήκαμε, επιστρέφουμε στη σχέση του βήματος 1 και υπολογίζουμε την αντίστοιχη τιμή της δεύτερης μεταβλητής.

Λυμένο παράδειγμα: εύρεση δύο αριθμών 💡

Πρόβλημα: Να βρεθούν δύο πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 5 και άθροισμα τετραγώνων 13.

Μετάφραση του προβλήματος σε σύστημα

Έστω $x, y$ οι δύο ζητούμενοι αριθμοί. Το ότι το άθροισμά τους είναι 5 γράφεται $x + y = 5$, ενώ το ότι το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 13 γράφεται $x^2 + y^2 = 13$. Έτσι προκύπτει το σύστημα:

Επίλυση με αντικατάσταση

Λύνουμε την πρώτη (πρωτοβάθμια) εξίσωση ως προς $y$:

Αντικαθιστούμε αυτή την έκφραση στη θέση του $y$ μέσα στη δεύτερη εξίσωση:

Αναπτύσσουμε το $(5 - x)^2$ χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $(α - β)^2 = α^2 - 2αβ + β^2$:

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 2 και παραγοντοποιούμε το τριώνυμο που μένει:

Εύρεση των αντίστοιχων τιμών του y

Χρησιμοποιούμε τη σχέση $y = 5 - x$ για κάθε τιμή του $x$ ξεχωριστά:

• Για $x = 2$: $y = 5 - 2 = 3$
• Για $x = 3$: $y = 5 - 3 = 2$

Το σύστημα έχει επομένως δύο λύσεις: τα ζεύγη $(2, 3)$ και $(3, 2)$.

Επειδή το πρόβλημα ζητά δύο αριθμούς (χωρίς να τους ξεχωρίζει ως πρώτο και δεύτερο), και τα δύο ζεύγη αντιστοιχούν στην ίδια απάντηση: οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 2 και 3.