Άθροισμα και Γινόμενο των Λύσεων 🧮

Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ , $\alpha \neq 0$ , με λύσεις $x_1, x_2$ κρύβει μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα: το άθροισμα και το γινόμενο των δύο λύσεων της συνδέονται με τους συντελεστές $\alpha, \beta, \gamma$ μέσω δύο απλών τύπων, χωρίς να χρειάζεται καν να υπολογίσουμε τις ίδιες τις λύσεις. Αυτό ανοίγει τον δρόμο για να απαντάμε γρήγορα σε ερωτήματα που φαινομενικά απαιτούν πλήρη επίλυση της εξίσωσης.

Οι τύποι του Vietta 🏛️

Αν $x_1, x_2$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ , $\alpha \neq 0$ , συμβολίζουμε με $S$ το άθροισμα και με $P$ το γινόμενο των λύσεων.

Τύποι του Vietta

S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha}, \qquad P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha}

Η δύναμη αυτών των τύπων είναι ότι δίνουν το άθροισμα και το γινόμενο απευθείας από τους συντελεστές της εξίσωσης, χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουμε τη διακρίνουσα ή τις ίδιες τις λύσεις.

Γιατί ισχύουν οι τύποι

Ξεκινάμε από τον γνωστό τύπο επίλυσης της εξίσωσης δευτέρου βαθμού:

x_1 = \dfrac{-\beta + \sqrt{\Delta}}{2\alpha}, \qquad x_2 = \dfrac{-\beta - \sqrt{\Delta}}{2\alpha}

Το άθροισμα. Προσθέτοντας τις δύο λύσεις, η ρίζα $\sqrt{\Delta}$ απαλείφεται:

S = x_1 + x_2 = \dfrac{-\beta + \sqrt{\Delta}}{2\alpha} + \dfrac{-\beta - \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-2\beta}{2\alpha} = -\dfrac{\beta}{\alpha}

Το γινόμενο. Πολλαπλασιάζοντας τις δύο λύσεις, εμφανίζεται μια διαφορά τετραγώνων:

P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-\beta + \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \cdot \dfrac{-\beta - \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{(-\beta)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4\alpha^2} = \dfrac{\beta^2 - \Delta}{4\alpha^2}

Αντικαθιστώντας $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ :

P = \dfrac{\beta^2 - (\beta^2 - 4\alpha\gamma)}{4\alpha^2} = \dfrac{4\alpha\gamma}{4\alpha^2} = \dfrac{\gamma}{\alpha}

Οι τύποι ισχύουν ακόμα κι όταν Δ < 0

Παρατήρησε ότι στην απόδειξη η ποσότητα $\sqrt{\Delta}$ απλοποιείται εντελώς όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε τις λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι οι τύποι $S = -\dfrac{\beta}{\alpha}$ και $P = \dfrac{\gamma}{\alpha}$ ισχύουν ακόμα και όταν $\Delta < 0$ , δηλαδή ακόμα κι όταν η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις. Πολλοί μαθητές ξεχνούν αυτή τη λεπτομέρεια και νομίζουν ότι οι τύποι απαιτούν $\Delta \geq 0$ .

Παράδειγμα: υπολογισμός S και P όταν γνωρίζουμε τις λύσεις

Δίνεται εξίσωση δευτέρου βαθμού με λύσεις τις $x_1 = 5$ και $x_2 = 4$ . Να υπολογιστεί το άθροισμα $S$ και το γινόμενο $P$ .

S = x_1 + x_2 = 5 + 4 = 9

P = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 4 = 20

Παράδειγμα: υπολογισμός S και P χωρίς επίλυση της εξίσωσης

Δίνεται η εξίσωση $2x^2 - 5x + 2 = 0$ . Να υπολογιστούν το άθροισμα και το γινόμενο των λύσεών της, χωρίς να λυθεί η εξίσωση.

Εντοπίζουμε τους συντελεστές: $\alpha = 2, \; \beta = -5, \; \gamma = 2$ . Στη συνέχεια:

S = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5}{2}

P = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{2}{2} = 1

Υπολογισμός παραστάσεων μέσω S και P 🔧

Ο πραγματικός λόγος που οι τύποι του Vietta είναι τόσο χρήσιμοι είναι ότι επιτρέπουν να υπολογίσουμε κάθε συμμετρική παράσταση των $x_1, x_2$ — δηλαδή κάθε παράσταση που δεν αλλάζει αν εναλλάξουμε τα $x_1$ και $x_2$ μεταξύ τους — χωρίς να λύσουμε καθόλου την εξίσωση.

Τεχνική

Για να υπολογίσουμε μια παράσταση που περιέχει τις λύσεις $x_1, x_2$ χωρίς να λύσουμε την εξίσωση, μετασχηματίζουμε την παράσταση αλγεβρικά ώστε να εκφραστεί αποκλειστικά μέσω του αθροίσματος $S = x_1 + x_2$ και του γινομένου $P = x_1 \cdot x_2$ . Μόλις η παράσταση γραφτεί μόνο με $S$ και $P$ , αντικαθιστούμε τις τιμές τους.

Ορισμένοι μετασχηματισμοί εμφανίζονται τόσο συχνά που αξίζει να τους αναγνωρίζουμε άμεσα:

Παράσταση	Έκφραση μέσω S, P
$x_1^2 + x_2^2$	$S^2 - 2P$
$(x_1 - x_2)^2$	$S^2 - 4P$
$a x_1 + b x_1 x_2 + a x_2$	$aS + bP$
$(x_1 + a)(x_2 + a)$	$P + aS + a^2$

Παράδειγμα: υπολογισμός παραστάσεων

Αν $x_1, x_2$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $2x^2 - 4x - 3 = 0$ , να υπολογιστεί, χωρίς επίλυση της εξίσωσης, η τιμή των παραστάσεων:

(α) $x_1 + x_2$ , (β) $x_1 x_2$ , (γ) $2x_1 - 5x_1 x_2 + 2x_2$ , (δ) $(x_1 + 2)(x_2 + 2)$

Πρώτα εντοπίζουμε τους συντελεστές: $\alpha = 2, \; \beta = -4, \; \gamma = -3$ , και υπολογίζουμε:

S = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-4}{2} = 2, \qquad P = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{-3}{2}

(α) $x_1 + x_2 = S = 2$

(β) $x_1 x_2 = P = -\dfrac{3}{2}$

(γ) Ομαδοποιούμε τους όρους ώστε να εμφανιστούν το άθροισμα και το γινόμενο:

2x_1 - 5x_1 x_2 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) - 5x_1 x_2 = 2S - 5P = 2 \cdot 2 - 5 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 4 + \dfrac{15}{2} = \dfrac{23}{2}

(δ) Αναπτύσσουμε το γινόμενο και ομαδοποιούμε:

(x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = P + 2S + 4 = -\dfrac{3}{2} + 2 \cdot 2 + 4 = \dfrac{13}{2}

Αντίθετες και αντίστροφες λύσεις 🔄

Οι τύποι του Vietta μας επιτρέπουν επίσης να βρίσκουμε την τιμή μιας παραμέτρου ώστε οι λύσεις μιας εξίσωσης να έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα, χωρίς να τις υπολογίσουμε.

Δύο αριθμοί $x_1, x_2$ λέγονται αντίθετοι όταν $x_1 = -x_2$ , δηλαδή όταν το άθροισμά τους μηδενίζεται:

x_1 = -x_2 \Leftrightarrow x_1 + x_2 = 0 \Leftrightarrow S = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\beta}{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \beta = 0

Δύο αριθμοί $x_1, x_2$ (με $x_2 \neq 0$ ) λέγονται αντίστροφοι όταν $x_1 = \dfrac{1}{x_2}$ , δηλαδή όταν το γινόμενό τους ισούται με 1:

x_1 = \dfrac{1}{x_2} \Leftrightarrow x_1 x_2 = 1 \Leftrightarrow P = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\gamma}{\alpha} = 1 \Leftrightarrow \alpha = \gamma

Μην τα μπερδεύεις

Οι δύο ιδιότητες εξετάζουν διαφορετικές ποσότητες: οι αντίθετες λύσεις αφορούν το άθροισμα ( $S = 0$ ), ενώ οι αντίστροφες λύσεις αφορούν το γινόμενο ( $P = 1$ ). Μια συχνή σύγχυση είναι να αναζητούνται αντίθετες λύσεις μέσω του γινομένου ή αντίστροφες μέσω του αθροίσματος.

Παράδειγμα: εύρεση παραμέτρου για αντίθετες και αντίστροφες λύσεις

Δίνεται η εξίσωση $2x^2 + (\lambda - 1)x + 2\lambda - 8 = 0$ , με λύσεις $x_1, x_2$ . Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$ ώστε η εξίσωση να έχει: (α) δύο αντίθετες λύσεις, (β) δύο αντίστροφες λύσεις.

Εντοπίζουμε τους συντελεστές: $\alpha = 2, \; \beta = \lambda - 1, \; \gamma = 2\lambda - 8$ .

(α) Για αντίθετες λύσεις απαιτούμε $S = 0$ :

-\dfrac{\beta}{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \beta = 0 \Leftrightarrow \lambda - 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1

(β) Για αντίστροφες λύσεις απαιτούμε $P = 1$ :

\dfrac{\gamma}{\alpha} = 1 \Leftrightarrow \alpha = \gamma \Leftrightarrow 2 = 2\lambda - 8 \Leftrightarrow \lambda = 5

Παραγοντοποίηση τριωνύμου μέσω των ριζών του 🧩

Οι τύποι του Vietta οδηγούν σε έναν πολύ χρήσιμο τρόπο παραγοντοποίησης κάθε τριωνύμου που έχει πραγματικές ρίζες.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Κάθε τριώνυμο $P(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ , $\alpha \neq 0$ , με δύο πραγματικές ρίζες $x_1, x_2$ αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων:

P(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha(x - x_1)(x - x_2)

Γιατί ισχύει η παραγοντοποίηση

Ξεκινάμε βγάζοντας τον $\alpha$ κοινό παράγοντα και χρησιμοποιούμε τους τύπους του Vietta:

P(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\left(x^2 + \dfrac{\beta}{\alpha}x + \dfrac{\gamma}{\alpha}\right) = \alpha\left(x^2 - Sx + P\right)

αφού $-\dfrac{\beta}{\alpha} = S$ συνεπάγεται $\dfrac{\beta}{\alpha} = -S$ , και $\dfrac{\gamma}{\alpha} = P$ . Αντικαθιστώντας $S = x_1 + x_2$ και $P = x_1 \cdot x_2$ :

P(x) = \alpha\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2\right)

Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο μέσα στην παρένθεση, αναζητούμε δύο παράγοντες με άθροισμα $-(x_1 + x_2)$ και γινόμενο $x_1 \cdot x_2$ : αυτοί είναι ακριβώς οι $-x_1$ και $-x_2$ . Άρα:

P(x) = \alpha(x - x_1)(x - x_2)

Παράδειγμα: παραγοντοποίηση τριωνύμου

Να μετατραπεί σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων το τριώνυμο $2x^2 - x - 1$ .

Εντοπίζουμε $\alpha = 2, \; \beta = -1, \; \gamma = -1$ , και υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9

Οι ρίζες είναι:

x_{1,2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = -\dfrac{1}{2}

Άρα:

2x^2 - x - 1 = 2(x - 1)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) = 2(x - 1) \cdot \dfrac{2x + 1}{2} = (x - 1)(2x + 1)

Χρησιμότητα στην απλοποίηση κλασμάτων

Η παραγοντοποίηση μέσω των ριζών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την απλοποίηση αλγεβρικών κλασμάτων: αφού γράψουμε αριθμητή και παρονομαστή ως γινόμενα πρωτοβάθμιων παραγόντων, οι κοινοί παράγοντες απλοποιούνται.

Κατασκευή εξίσωσης δευτέρου βαθμού από το άθροισμα και το γινόμενο των λύσεών της 🔨

Οι τύποι του Vietta μπορούν να χρησιμοποιηθούν και αντίστροφα: αν γνωρίζουμε το άθροισμα $S$ και το γινόμενο $P$ δύο αριθμών, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που τους έχει ως λύσεις.

Κατασκευή εξίσωσης από το άθροισμα και το γινόμενο

Αν $S$ είναι το άθροισμα και $P$ το γινόμενο δύο αριθμών, τότε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με λύσεις αυτούς τους αριθμούς είναι η:

x^2 - Sx + P = 0

Αυτή η εξίσωση προκύπτει άμεσα αν λύσουμε τους τύπους $S = -\dfrac{\beta}{\alpha}$ και $P = \dfrac{\gamma}{\alpha}$ ως προς $\beta$ και $\gamma$ για $\alpha = 1$ : παίρνουμε $\beta = -S$ και $\gamma = P$ , οπότε η εξίσωση $x^2 + \beta x + \gamma = 0$ γίνεται $x^2 - Sx + P = 0$ .

Παράδειγμα: κατασκευή εξίσωσης

Να γραφεί μία εξίσωση δευτέρου βαθμού με λύσεις τις $x_1 = 3$ και $x_2 = -5$ .

Υπολογίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο:

S = x_1 + x_2 = 3 + (-5) = -2, \qquad P = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-5) = -15

Αντικαθιστούμε στον τύπο $x^2 - Sx + P = 0$ :

x^2 - (-2)x + (-15) = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 15 = 0

Δεν είναι μοναδική

Η εξίσωση $x^2 - Sx + P = 0$ είναι μόνο μία εξίσωση με τις δεδομένες λύσεις — όχι η μοναδική. Κάθε πολλαπλάσιό της, π.χ. $2x^2 + 4x - 30 = 0$ , έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις, αφού ο κοινός παράγοντας $\alpha$ δεν επηρεάζει το άθροισμα ούτε το γινόμενο των ριζών.