Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0, α ≠ 0 📐

Τι είναι μια εξίσωση δευτέρου βαθμού 🔑

Ο περιορισμός $\alpha \neq 0$ δεν είναι τυπικός: αν $\alpha = 0$, ο όρος $x^2$ εξαφανίζεται και η εξίσωση γίνεται πρωτοβάθμια ($\beta x + \gamma = 0$), με τελείως διαφορετική συμπεριφορά — το πολύ μία λύση αντί για δύο. Το $\alpha$ είναι αυτό που «κάνει» την εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Λύνοντας μια τέτοια εξίσωση, ψάχνουμε τις τιμές του $x$ που μηδενίζουν το τριώνυμο $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$. Αυτές οι τιμές λέγονται λύσεις ή ρίζες της εξίσωσης.

Η διακρίνουσα: το «κλειδί» της εξίσωσης 🗝️

Πριν καν λύσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, θέλουμε να ξέρουμε πόσες και τι είδους λύσεις έχει. Αυτή η πληροφορία κρύβεται σε μία και μόνο παράσταση.

Το γράμμα $\Delta$ (Δέλτα) χρησιμοποιείται σταθερά για τη διακρίνουσα. Η αξία της είναι ότι προκύπτει από τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου πάνω στο τριώνυμο: όταν προσπαθούμε να γράψουμε το $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ σαν άθροισμα ή διαφορά τετραγώνων, καταλήγουμε ακριβώς στην παράσταση $\beta^2 - 4\alpha\gamma$ κάτω από μια ρίζα. Το αν αυτή η ποσότητα είναι θετική, μηδέν ή αρνητική καθορίζει αν μπορούμε να πάρουμε πραγματική τετραγωνική ρίζα από αυτήν — και άρα αν υπάρχουν καν πραγματικές λύσεις.

Ο τύπος επίλυσης 🧮

Ο τύπος αυτός δίνει ταυτόχρονα και τις δύο λύσεις: το «$+$» δίνει τη μία λύση $x_1$ και το «$-$» την άλλη $x_2$. Για να τον εφαρμόσουμε σε μια συγκεκριμένη εξίσωση, ακολουθούμε πάντα την ίδια πορεία:

1. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ (αν δεν είναι ήδη έτσι).
2. Εντοπίζουμε τους συντελεστές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, προσέχοντας τα πρόσημά τους.
3. Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$.
4. Ανάλογα με το πρόσημο του $\Delta$, βρίσκουμε το είδος και τις λύσεις.

Το είδος των λύσεων ανάλογα με τη διακρίνουσα 🎯

Το πρόσημο του $\Delta$ καθορίζει πλήρως πόσες πραγματικές λύσεις έχει η εξίσωση:

Η περίπτωση $\Delta = 0$ εξηγεί γιατί η λύση $x_1 = x_2 = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$ προκύπτει άμεσα από τον γενικό τύπο: αφού $\sqrt{\Delta} = 0$, το «$\pm$» δεν αλλάζει τίποτα και οι δύο ρίζες συμπίπτουν.

Λυμένο παράδειγμα: εύρεση είδους και λύσεων

Δίνεται η εξίσωση $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Να βρεθούν το είδος και οι λύσεις της.

Βήμα 1 — Συντελεστές: $\alpha = 2$, $\beta = -5$, $\gamma = 2$.

Βήμα 2 — Διακρίνουσα:

Αφού $\Delta > 0$, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις.

Βήμα 3 — Λύσεις:

Άρα:

Γραφική επίλυση της εξίσωσης 📈

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ δεν λύνεται μόνο αλγεβρικά — έχει και μια καθαρή γεωμετρική εικόνα. Η συνάρτηση $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ παριστάνεται γραφικά από μια παραβολή, και οι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $f(x) = 0$ είναι ακριβώς οι τετμημένες των σημείων όπου αυτή η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ — γιατί εκεί, ακριβώς εκεί, είναι $y = f(x) = 0$.

Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των κοινών σημείων της παραβολής με τον άξονα $x'x$ αντιστοιχεί ένα προς ένα στο πλήθος των πραγματικών λύσεων:

Η ιδέα αυτή δουλεύει και αντίστροφα: αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση μιας παραβολής (π.χ. πού τέμνει τους άξονες, πού βρίσκεται η κορυφή της), μπορούμε να συμπεράνουμε στοιχεία της εξίσωσης $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ χωρίς καν να γνωρίζουμε τους συντελεστές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Λυμένο παράδειγμα: μελέτη παραβολής από τα χαρακτηριστικά της

Μια παραβολή $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, $\alpha \neq 0$, τέμνει τον άξονα $x'x$ στα σημεία $(-2, 0)$ και $(4, 0)$, έχει κορυφή στο σημείο $(1, 9)$ και τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο $(0, 8)$.

(α) Πρόσημο του $\alpha$: Η παραβολή έχει μέγιστη τιμή (η κορυφή $(1,9)$ είναι το ψηλότερο σημείο της), άρα είναι ανοιχτή προς τα κάτω, δηλαδή $\alpha < 0$.

(β) Τιμή του $\gamma$: Το $\gamma$ είναι πάντα η τιμή της συνάρτησης στο $x = 0$, δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα $y'y$. Άρα $\gamma = 8$.

(γ) Άξονας συμμετρίας: Είναι η κατακόρυφη ευθεία που περνά από την κορυφή, άρα έχει εξίσωση $x = 1$.

(δ) Κορυφή: Δίνεται ήδη: $(1, 9)$.

(ε) Σύνολο τιμών: Αφού η παραβολή έχει μέγιστη τιμή $y_{\max} = f(1) = 9$, το σύνολο τιμών της $f$ είναι το διάστημα $(-\infty, 9]$.

(στ) Λύσεις της εξίσωσης $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$: Είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα $x'x$, δηλαδή $x_1 = -2$ και $x_2 = 4$.

Εύρεση παραμέτρου από συνθήκες στις λύσεις 🔧

Ένας πολύ συνηθισμένος τύπος προβλήματος δίνει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού που περιέχει μια άγνωστη παράμετρο (συνήθως συμβολίζεται με $\kappa$ ή άλλο γράμμα) και ζητά να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου ώστε να ισχύει κάποια συνθήκη για τις λύσεις. Δύο είναι οι πιο συχνές συνθήκες:

• Η εξίσωση έχει γνωστή λύση (π.χ. «να έχει λύση το $-3$»): αντικαθιστούμε τη δοσμένη τιμή στη θέση του $x$ και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς την παράμετρο.
• Η εξίσωση έχει διπλή λύση: θέτουμε $\Delta = 0$ και λύνουμε ως προς την παράμετρο.

Το ίδιο σκεπτικό επεκτείνεται εύκολα: αν ζητείται η εξίσωση να έχει δύο άνισες πραγματικές λύσεις, θέτουμε $\Delta > 0$· αν ζητείται να μην έχει καμία πραγματική λύση, θέτουμε $\Delta < 0$.

Λυμένο παράδειγμα: παράμετρος με γνωστή λύση

Δίνεται η εξίσωση $x^2 + \kappa x + \kappa + 3 = 0$, $\kappa \in \mathbb{R}$. Να βρεθεί η τιμή του $\kappa$ ώστε η εξίσωση να έχει λύση το $-3$.

Αφού το $x = -3$ επαληθεύει την εξίσωση, την αντικαθιστούμε:

Λυμένο παράδειγμα: παράμετρος με διπλή λύση

Για την ίδια εξίσωση $x^2 + \kappa x + \kappa + 3 = 0$, να βρεθούν οι τιμές του $\kappa$ ώστε η εξίσωση να έχει δύο πραγματικές και ίσες λύσεις.

Έχουμε $\alpha = 1$, $\beta = \kappa$, $\gamma = \kappa + 3$. Θέτουμε $\Delta = 0$: