Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ, α ≠ 0 📐

Τα βασικά στοιχεία της παραβολής

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, με $\alpha \neq 0$ και $x \in \mathbb{R}$, είναι πάντα μια παραβολή. Το σχήμα αυτής της καμπύλης δεν είναι τυχαίο· έχει έναν άξονα συμμετρίας, ένα ακριανό σημείο (την κορυφή) και ένα σταθερό σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα. Το ενδιαφέρον είναι ότι και τα τρία αυτά στοιχεία προκύπτουν απευθείας από τους συντελεστές $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσουμε τίποτα.

Ο λόγος που η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας είναι διαισθητικά απλός: η καμπύλη «διπλώνει» πάνω στον εαυτό της γύρω από μια κατακόρυφη ευθεία, δηλαδή δύο σημεία της που βρίσκονται στην ίδια απόσταση αριστερά και δεξιά από αυτή την ευθεία έχουν πάντα την ίδια τιμή $y$. Η κορυφή είναι ακριβώς το σημείο πάνω σε αυτόν τον άξονα συμμετρίας, το μοναδικό σημείο της παραβολής που δεν έχει «καθρέφτη» — είναι ο ίδιος του ο καθρέφτης.

Το σημείο τομής με τον άξονα $y'y$ είναι ακόμα πιο άμεσο: κάθε γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $y'y$ στο σημείο όπου $x = 0$. Αντικαθιστώντας $x = 0$ στον τύπο $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ παίρνουμε $f(0) = \gamma$. Γι' αυτό ο συντελεστής $\gamma$ δεν είναι απλώς ένας αριθμός στον τύπο — είναι ακριβώς η τεταγμένη του σημείου όπου η παραβολή κόβει τον άξονα $y'y$.

Γιατί ισχύουν αυτοί οι τύποι

Οι τύποι του άξονα συμμετρίας και της κορυφής δεν είναι κανόνες που απομνημονεύουμε τυφλά· προκύπτουν φυσικά αν ξεκινήσουμε από μια πιο «διαφανή» μορφή του τριωνύμου.

Θεωρούμε μια συνάρτηση της μορφής $f(x) = \alpha(x + \kappa)^2 + \lambda$, με $\alpha \neq 0$ και $\kappa, \lambda \in \mathbb{R}$. Σε αυτή τη μορφή, ο άξονας συμμετρίας και η κορυφή φαίνονται αμέσως: αφού το τετράγωνο $(x+\kappa)^2$ παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιμή του (το μηδέν) ακριβώς όταν $x = -\kappa$, η γραφική παράσταση έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x = -\kappa$ και κορυφή το σημείο $(-\kappa, \lambda)$.

Αναπτύσσοντας το τετράγωνο, γράφουμε:

Συγκρίνοντας αυτόν τον τύπο με τη γενική μορφή $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, βλέπουμε ότι:

Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς $\kappa$:

Επομένως, ο άξονας συμμετρίας $x = -\kappa$ γράφεται:

Και επειδή η κορυφή είναι το σημείο της παραβολής με αυτή ακριβώς την τετμημένη, η τεταγμένη της είναι:

Αυτός είναι και ο λόγος που η τεταγμένη της κορυφής δεν έχει «έτοιμο» τύπο με $\alpha, \beta, \gamma$ που να θυμόμαστε ξεχωριστά — απλούστερο και πιο αξιόπιστο είναι να την υπολογίζουμε κάθε φορά αντικαθιστώντας το $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$ στη συνάρτηση.

Τέλος, το σημείο τομής με τον άξονα $y'y$ προκύπτει θέτοντας $x = 0$ στη γενική μορφή, οπότε $f(0) = \gamma$, δηλαδή το σημείο $(0, \gamma)$.

Μέγιστη ή ελάχιστη τιμή και σύνολο τιμών

Το πρόσημο του συντελεστή $\alpha$ καθορίζει πλήρως το σχήμα της παραβολής — αν ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω — και αυτό με τη σειρά του καθορίζει αν η συνάρτηση έχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή.

Η διαίσθηση πίσω από αυτό είναι εικαστική: αν $\alpha > 0$, η παραβολή είναι ανοιχτή προς τα πάνω (σχήμα U) — τα «φτερά» της ανεβαίνουν απεριόριστα προς τα πάνω και προς τα δύο πλευρές, ενώ το χαμηλότερο σημείο της είναι ακριβώς η κορυφή. Γι' αυτό η κορυφή δίνει την ελάχιστη τιμή, και καμία άλλη τιμή της συνάρτησης δεν μπορεί να είναι μικρότερη. Αντίστροφα, αν $\alpha < 0$, η παραβολή είναι ανοιχτή προς τα κάτω (σχήμα ∩), τα φτερά της κατεβαίνουν απεριόριστα και η κορυφή είναι το ψηλότερο σημείο, άρα δίνει τη μέγιστη τιμή.

Το σύνολο τιμών προκύπτει άμεσα από αυτή την παρατήρηση: αφού η κορυφή δίνει την ελάχιστη (ή μέγιστη) τιμή και η συνάρτηση είναι ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$, οι τιμές που παίρνει η $f$ καλύπτουν όλο το διάστημα από την ακρότατη τιμή μέχρι το άπειρο, προς τη μεριά που ανοίγει η παραβολή.

Δύο τρόποι εύρεσης της ακρότατης τιμής

Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι για να προσδιορίσουμε αν μια συνάρτηση $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, και ποια είναι αυτή:

1. Χρήση του τύπου: υπολογίζουμε $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$ και αντικαθιστούμε στη συνάρτηση $f$.
2. Συμπλήρωση τέλειου τετραγώνου: μετατρέπουμε το τριώνυμο στη μορφή $\alpha(x + \kappa)^2 + \lambda$, οπότε η σταθερά $\lambda$ είναι απευθείας η ακρότατη τιμή.

Η μέθοδος της συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου αξίζει ιδιαίτερη προσοχή, γιατί δείχνει ξεκάθαρα «από πού βγαίνει» η ακρότατη τιμή, χωρίς να χρειάζεται να θυμόμαστε τον τύπο $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$.

Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1 — Μελέτη τριών παραβολών

Δίνονται οι παραβολές:

(α) $f(x) = x^2 + 3$, $x \in \mathbb{R}$
(β) $f(x) = -2x^2 + 6x - 1$, $x \in \mathbb{R}$
(γ) $f(x) = 2x^2 + 4x$, $x \in \mathbb{R}$

Σε κάθε περίπτωση θέλουμε την εξίσωση του άξονα συμμετρίας, τις συντεταγμένες της κορυφής, το σύνολο τιμών και το σημείο τομής με τον άξονα $y'y$.

(α) Έχουμε $\alpha = 1$, $\beta = 0$, $\gamma = 3$.

Η κορυφή είναι $(0, 3)$. Αφού $\alpha = 1 > 0$, η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή $y_{\min} = 3$ και σύνολο τιμών $[3, +\infty)$. Το σημείο τομής με τον $y'y$ είναι $(0, \gamma) = (0, 3)$ — παρατηρούμε ότι συμπίπτει με την κορυφή, επειδή ο άξονας συμμετρίας εδώ είναι ακριβώς ο άξονας $y'y$ (αφού $\beta = 0$).

(β) Έχουμε $\alpha = -2$, $\beta = 6$, $\gamma = -1$.

Η κορυφή είναι $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$. Αφού $\alpha = -2 < 0$, η συνάρτηση έχει μέγιστη τιμή $y_{\max} = \dfrac{7}{2}$ και σύνολο τιμών $\left(-\infty, \dfrac{7}{2}\right]$. Το σημείο τομής με τον $y'y$ είναι $(0, -1)$.

(γ) Έχουμε $\alpha = 2$, $\beta = 4$, $\gamma = 0$.

Η κορυφή είναι $(-1, -2)$. Αφού $\alpha = 2 > 0$, η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή $y_{\min} = -2$ και σύνολο τιμών $[-2, +\infty)$. Το σημείο τομής με τον $y'y$ είναι $(0, 0)$.

Παράδειγμα 2 — Ακρότατη τιμή με δύο τρόπους

Θέλουμε να εξετάσουμε αν η συνάρτηση $f(x) = 3 - 4x + x^2$, $x \in \mathbb{R}$, έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή και να την υπολογίσουμε.

Πρώτος τρόπος — με τον τύπο του άξονα συμμετρίας

Γράφουμε τη συνάρτηση σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων: $f(x) = x^2 - 4x + 3$, οπότε $\alpha = 1$, $\beta = -4$, $\gamma = 3$. Αφού $\alpha = 1 > 0$, η $f$ έχει ελάχιστη τιμή, στο σημείο:

Δεύτερος τρόπος — με συμπλήρωση τέλειου τετραγώνου

Σε αυτή τη μορφή, ο συντελεστής $\alpha = 1 > 0$ μας λέει ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή, και αυτή η ελάχιστη τιμή είναι ακριβώς η σταθερά που απομένει έξω από το τετράγωνο: $y_{\min} = -1$, η οποία επιτυγχάνεται όταν $(x-2)^2 = 0$, δηλαδή στο $x = 2$.

Και οι δύο τρόποι δίνουν φυσικά το ίδιο αποτέλεσμα — η επιλογή ανάμεσά τους είναι θέμα άνεσης: ο πρώτος τρόπος είναι πιο μηχανικός, ο δεύτερος δείχνει καλύτερα το «γιατί».