Μελέτη της συνάρτησης f(x) = α(x + κ)² + λ 🎯

Η οριζόντια μετατόπιση της παραβολής ⬅️➡️

Ξεκινάμε από τη γνωστή παραβολή $f(x) = ax^2$, $a \neq 0$, με κορυφή στην αρχή των αξόνων. Τι συμβαίνει αν, αντί για $x$, βάλουμε στον τύπο το $x + \kappa$;

Η νέα συνάρτηση

έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με την $f(x) = ax^2$ — ίδιο άνοιγμα, ίδια κατεύθυνση κλάδων, αφού το $a$ δεν άλλαξε. Το μόνο που αλλάζει είναι η θέση της πάνω στο επίπεδο: ολόκληρη η γραφική παράσταση της $f$ «γλιστράει» οριζόντια, αριστερά ή δεξιά, κατά μήκος του άξονα $x$. Αυτή η μετακίνηση λέγεται οριζόντια μετατόπιση.

Το ίδιο μοτίβο θα το συναντήσεις ξανά όποτε δεις έκφραση της μορφής $x + \kappa$ μέσα σε οποιαδήποτε συνάρτηση: το πρόσημο «αντιστρέφεται» όταν σκέφτεσαι την κατεύθυνση της μετατόπισης.

Στοιχεία της γραφικής παράστασης g(x) = α(x + κ)² 📊

Επειδή η $g$ είναι απλώς η $f$ μετατοπισμένη οριζόντια, όλα τα χαρακτηριστικά της $f$ «ταξιδεύουν» μαζί της.

Το σύνολο τιμών και το ακρότατο εξαρτώνται, όπως πάντα, από το πρόσημο του $a$:

Παράδειγμα. Η συνάρτηση $g(x) = (x + 4)^2$ προκύπτει από τη μετατόπιση της $f(x) = x^2$ κατά 4 μονάδες προς τα αριστερά, αφού $\kappa = 4 > 0$. Τα στοιχεία της είναι:

• Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$
• Σύνολο τιμών: $[0, +\infty)$
• Ελάχιστη τιμή: $y_{\min} = 0$
• Κορυφή: $(-4, 0)$
• Άξονας συμμετρίας: $x = -4$

Αντιστοίχιση γραφικών παραστάσεων ✏️

Ένας τύπος άσκησης που εμφανίζεται συχνά είναι να αναγνωρίσεις ποια γραφική παράσταση αντιστοιχεί σε ποια συνάρτηση, όταν βλέπεις πολλές παραβολές μαζί.

Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x) = -x^2$, $g(x) = -(x+3)^2$ και $h(x) = -(x-1)^2$. Πώς ξεχωρίζουμε ποια γραφική παράσταση ανήκει σε ποια;

Πρώτα παρατηρούμε ότι και οι τρεις έχουν $a = -1 < 0$, άρα όλες ανοίγουν προς τα κάτω — το σχήμα τους είναι ίδιο, διαφέρει μόνο η θέση της κορυφής.

• Η γραφική παράσταση με κορυφή στο $(0, 0)$ αντιστοιχεί στην $f(x) = -x^2$, αφού δεν έχει κανένα $\kappa$.
• Η γραφική παράσταση που είναι μετατοπισμένη 3 μονάδες αριστερά αντιστοιχεί στην $g(x) = -(x + 3)^2$, αφού $\kappa = 3 > 0$.
• Η γραφική παράσταση που είναι μετατοπισμένη 1 μονάδα δεξιά αντιστοιχεί στην $h(x) = -(x - 1)^2$, αφού εδώ $\kappa = -1 < 0$.

Η μέθοδος είναι πάντα η ίδια: εντόπισε την κορυφή κάθε γραφικής παράστασης και σύγκρινέ την με το $-\kappa$ κάθε τύπου.

Η γενική μορφή g(x) = α(x + κ)² + λ 🎯

Τι γίνεται αν συνδυάσουμε την οριζόντια μετατόπιση με μια κατακόρυφη; Προκύπτει η πιο γενική μορφή αυτής της οικογένειας συναρτήσεων:

Οι δύο μετατοπίσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους: το $\kappa$ καθορίζει μόνο την οριζόντια κίνηση (αριστερά αν $\kappa > 0$, δεξιά αν $\kappa < 0$) και το $\lambda$ καθορίζει μόνο την κατακόρυφη κίνηση (πάνω αν $\lambda > 0$, κάτω αν $\lambda < 0$) — δεν επηρεάζει το ένα το άλλο.

Στοιχεία της γραφικής παράστασης g(x) = α(x + κ)² + λ 📋

Το σύνολο τιμών μετατοπίζεται κατακόρυφα κατά $\lambda$ σε σχέση με τη βασική περίπτωση:

Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση $g(x) = 2(x-4)^2 - 3$. Να βρεθούν ο άξονας συμμετρίας, η κορυφή και το σύνολο τιμών.

Γράφουμε τον τύπο ως $g(x) = 2(x + (-4))^2 + (-3)$, οπότε $a = 2$, $\kappa = -4$, $\lambda = -3$.

• Άξονας συμμετρίας: $x = -\kappa = -(-4) = 4$.
• Κορυφή: $(-\kappa, \lambda) = (4, -3)$.
• Σύνολο τιμών: αφού $a = 2 > 0$, είναι $[-3, +\infty)$, με ελάχιστη τιμή $y_{\min} = -3$.

Δεύτερο παράδειγμα. Η συνάρτηση $g(x) = -(x-4)^2 + 3$ έχει $a = -1$, $\kappa = -4$, $\lambda = 3$. Επειδή $\kappa = -4 < 0$, η μετατόπιση από την $f(x) = -x^2$ είναι 4 μονάδες προς τα δεξιά, και επειδή $\lambda = 3 > 0$, είναι επιπλέον 3 μονάδες προς τα πάνω. Τα στοιχεία της:

• Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$
• Σύνολο τιμών: $(-\infty, 3]$
• Μέγιστη τιμή: $y_{\max} = 3$
• Κορυφή: $(4, 3)$
• Άξονας συμμετρίας: $x = 4$

Η μέθοδος συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου 💡

Πολλές φορές μια τετραγωνική συνάρτηση δεν δίνεται έτοιμη στη μορφή $a(x + \kappa)^2 + \lambda$, αλλά αναπτυγμένη, όπως $k(x) = x^2 + 2x + 3$. Για να βρούμε την κορυφή και τον άξονα συμμετρίας χωρίς να σχεδιάσουμε τίποτα, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να την ξαναγράψουμε στη γνωστή μορφή. Αυτή η τεχνική λέγεται συμπλήρωση τέλειου τετραγώνου.

Η ιδέα βασίζεται στην ταυτότητα $(x + \mu)^2 = x^2 + 2\mu x + \mu^2$: αν καταφέρουμε να «φτιάξουμε» μέσα στην παράσταση έναν όρο $\mu^2$ που λείπει, τα τρία πρώτα κομμάτια θα σχηματίζουν τέλειο τετράγωνο.

Παράδειγμα. Να γραφεί η $k(x) = x^2 + 2x + 3$ στη μορφή $(x + \kappa)^2 + \lambda$.

Ο συντελεστής του $x$ είναι $b = 2$, οπότε $\dfrac{b}{2} = 1$ και $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 = 1$. Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 1:

Άρα $\kappa = 1$ και $\lambda = 2$. Η γραφική παράσταση της $k$ προκύπτει από την $f(x) = x^2$ με μετατόπιση 1 μονάδα προς τα αριστερά (αφού $\kappa = 1 > 0$) και 2 μονάδες προς τα πάνω (αφού $\lambda = 2 > 0$). Η κορυφή της είναι $(-1, 2)$.

Ανάγνωση των μετατοπίσεων από τον τύπο ✏️

Πριν καν σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση, μπορούμε να «διαβάσουμε» απευθείας από τον τύπο πόσες μονάδες και προς ποια κατεύθυνση μετατοπίζεται σε σχέση με την $f(x) = x^2$.

Παράδειγμα. Πόσες μονάδες οριζόντια ή/και κατακόρυφα πρέπει να μετατοπιστεί η $f(x) = x^2$ ώστε να προκύψουν οι πιο κάτω συναρτήσεις;

(α) $g(x) = x^2 + 2$: εδώ δεν υπάρχει $\kappa$ (μόνο $\lambda = 2$), άρα η μετατόπιση είναι 2 μονάδες προς τα πάνω, αφού $\lambda = 2 > 0$.

(β) $h(x) = (x + 5)^2$: εδώ $\kappa = 5$ και δεν υπάρχει $\lambda$, άρα η μετατόπιση είναι 5 μονάδες προς τα αριστερά, αφού $\kappa = 5 > 0$.

(γ) $k(x) = x^2 + 2x + 3$: ο τύπος δεν είναι στη μορφή $a(x+\kappa)^2 + \lambda$, οπότε πρώτα συμπληρώνουμε τετράγωνο, όπως είδαμε πιο πάνω: $k(x) = (x + 1)^2 + 2$. Άρα η μετατόπιση είναι 1 μονάδα προς τα αριστερά (αφού $\kappa = 1 > 0$) και 2 μονάδες προς τα πάνω (αφού $\lambda = 2 > 0$).

Συνοπτικός πίνακας 📋

Ο παρακάτω πίνακας συγκεντρώνει όλες τις περιπτώσεις που μελετήσαμε, από την πιο απλή έως την πιο γενική:

Σε κάθε περίπτωση, το σχήμα της παραβολής (πόσο «ανοιχτή» ή «κλειστή» είναι, και αν ανοίγει πάνω ή κάτω) καθορίζεται αποκλειστικά από το $a$· οι μετατοπίσεις με $\kappa$ και $\lambda$ αλλάζουν μόνο τη θέση της, ποτέ το σχήμα της.