Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + λ, α ≠ 0 📐

Από την f(x) = αx² στην g(x) = αx² + λ 🔗

Η βασική παραβολή $f(x) = ax^2$ , με $a \neq 0$ , έχει πάντα κορυφή στην αρχή των αξόνων $(0, 0)$ . Τι συμβαίνει όμως αν στον τύπο προσθέσουμε μια σταθερά; Μελετάμε τη συνάρτηση

g(x) = ax^2 + \lambda, \quad a \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \lambda \in \mathbb{R}

Η προσθήκη του $\lambda$ δεν αλλάζει το «άνοιγμα» της παραβολής ούτε την κατεύθυνσή της — αυτά εξαρτώνται αποκλειστικά από το $a$ , που παραμένει ίδιο. Αυτό που αλλάζει είναι η θέση ολόκληρης της γραφικής παράστασης πάνω στο επίπεδο: για κάθε $x$ , η τιμή $g(x)$ είναι κατά $\lambda$ μεγαλύτερη (ή μικρότερη, αν $\lambda$ αρνητικό) από την αντίστοιχη τιμή $f(x)$ . Το αποτέλεσμα είναι μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της $f(x) = ax^2$ κατά μήκος του άξονα $y$ .

Γιατί μετατοπίζεται κατακόρυφα

Κάθε σημείο $(x, ax^2)$ της αρχικής παραβολής αντιστοιχεί στο σημείο $(x, ax^2 + \lambda)$ της νέας. Η τετμημένη $x$ μένει ίδια, μόνο η τεταγμένη αλλάζει κατά $\lambda$ — γι' αυτό η μετατόπιση είναι αποκλειστικά κατακόρυφη.

Ο κανόνας της κατακόρυφης μετατόπισης ⬆️⬇️

Το πρόσημο του $\lambda$ καθορίζει την κατεύθυνση της μετατόπισης:

Κανόνας κατακόρυφης μετατόπισης

Αν $\lambda > 0$ , η μετατόπιση είναι $\lambda$ μονάδες προς τα πάνω ⬆️.
Αν $\lambda < 0$ , η μετατόπιση είναι $|\lambda|$ μονάδες προς τα κάτω ⬇️.

Με απλά λόγια: προσθέτοντας τη σταθερά $\lambda$ στον τύπο $ax^2$ , «σηκώνουμε» ή «κατεβάζουμε» ολόκληρη την παραβολή κατά $\lambda$ μονάδες, χωρίς να αλλάζει το σχήμα της.

Προσοχή στο πρόσημο του λ όταν είναι αρνητικό

Όταν $\lambda < 0$ , η μετατόπιση γίνεται κατά $|\lambda|$ μονάδες προς τα κάτω, όχι κατά $\lambda$ μονάδες. Για παράδειγμα, αν $\lambda = -3$ , η παραβολή κατεβαίνει 3 μονάδες — δεν «ανεβαίνει κατά -3». Πολλοί μαθητές μπερδεύουν το πρόσημο του $\lambda$ με την κατεύθυνση της μετατόπισης.

Κορυφή, άξονας συμμετρίας και πεδίο ορισμού 📊

Η μετατόπιση επηρεάζει άμεσα τη θέση της κορυφής, αλλά όχι τον άξονα συμμετρίας ούτε το πεδίο ορισμού:

Ιδιότητες της g(x) = ax² + λ

Η γραφική παράσταση έχει κορυφή το σημείο $(0, \lambda)$ .
Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία $x = 0$ (δηλαδή ο άξονας των τεταγμένων).
Το πεδίο ορισμού είναι πάντα το $\mathbb{R}$ , αφού το $ax^2 + \lambda$ ορίζεται για κάθε πραγματικό $x$ .

Η κορυφή της αρχικής παραβολής $(0, 0)$ «μετακινείται» μαζί με όλη τη γραφική παράσταση και καταλήγει στο $(0, \lambda)$ . Επειδή η μετατόπιση είναι μόνο κατακόρυφη, η τετμημένη της κορυφής παραμένει $x = 0$ — γι' αυτό ο άξονας συμμετρίας δεν αλλάζει ποτέ.

Ο άξονας συμμετρίας δεν κουνιέται

Ο άξονας συμμετρίας παραμένει πάντα η ευθεία $x = 0$ , ανεξάρτητα από την τιμή του $\lambda$ . Η κατακόρυφη μετατόπιση αλλάζει μόνο τη θέση της κορυφής κατά τον άξονα $y$ , όχι κατά τον άξονα $x$ . Μην υποθέσεις ποτέ ότι μια αλλαγή στον τύπο της συνάρτησης μετακινεί αυτόματα και τον άξονα συμμετρίας.

Σύνολο τιμών και ακρότατο ανάλογα με το πρόσημο του α 🔍

Το πρόσημο του $a$ καθορίζει αν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω, και αυτό με τη σειρά του καθορίζει αν η κορυφή είναι το χαμηλότερο ή το ψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης.

Περίπτωση α > 0 ☀️

Όταν $a > 0$ , η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω και η κορυφή είναι το χαμηλότερο σημείο της:

Ιδιότητες όταν a > 0

Το σύνολο τιμών είναι το $[\lambda, +\infty)$ .
Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστη τιμή $y_{\min} = \lambda$ , στο σημείο $(0, \lambda)$ .

Περίπτωση α < 0 🌙

Όταν $a < 0$ , η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω και η κορυφή είναι το ψηλότερο σημείο της:

Ιδιότητες όταν a < 0

Το σύνολο τιμών είναι το $(-\infty, \lambda]$ .
Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή $y_{\max} = \lambda$ , στο σημείο $(0, \lambda)$ .

Και στις δύο περιπτώσεις, το ακρότατο (ελάχιστη ή μέγιστη τιμή) είναι πάντα ίσο με $\lambda$ — δηλαδή με την τεταγμένη της κορυφής. Αυτό έχει νόημα: η κορυφή είναι το σημείο όπου η συνάρτηση «γυρίζει», άρα εκεί εμφανίζεται το ακρότατο.

Πώς σχεδιάζουμε γρήγορα τη γραφική παράσταση ✏️

Για να σχεδιάσουμε την $g(x) = ax^2 + \lambda$ χωρίς να υπολογίσουμε σημείο προς σημείο, ακολουθούμε μια απλή διαδικασία:

Βήματα σχεδιασμού

Σχεδιάζουμε πρώτα τη βασική παραβολή $f(x) = ax^2$ με κορυφή στο $(0, 0)$ .
Ελέγχουμε το πρόσημο του $\lambda$ : αν $\lambda > 0$ μετακινούμε $\lambda$ μονάδες πάνω, αν $\lambda < 0$ μετακινούμε $|\lambda|$ μονάδες κάτω.
Η νέα κορυφή βρίσκεται στο $(0, \lambda)$ , και το σχήμα της παραβολής μένει ακριβώς το ίδιο.

Παράδειγμα 1 — Αντιστοίχιση γραφικών παραστάσεων

Πρόβλημα: Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2$ , $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3$ και $h(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2$ , $x \in \mathbb{R}$ , και τρεις γραφικές παραστάσεις τους. Πώς αντιστοιχίζουμε κάθε γραφική παράσταση με τη σωστή συνάρτηση;

Λύση: Και στις τρεις συναρτήσεις ο συντελεστής είναι $a = \dfrac{1}{2} > 0$ , άρα όλες οι παραβολές ανοίγουν προς τα πάνω και έχουν τον ίδιο άξονα συμμετρίας $x = 0$ . Αυτό που τις ξεχωρίζει είναι το ύψος της κορυφής, δηλαδή η τιμή του $\lambda$ :

Η γραφική παράσταση με κορυφή $(0, 0)$ αντιστοιχεί στην $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2$ (δεν έχει καμία μετατόπιση, αφού $\lambda = 0$ ).
Η γραφική παράσταση που βρίσκεται 3 μονάδες πάνω από αυτή της $f$ αντιστοιχεί στην $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 3$ , αφού $\lambda = 3 > 0$ .
Η γραφική παράσταση που βρίσκεται 2 μονάδες κάτω από αυτή της $f$ αντιστοιχεί στην $h(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2$ , αφού $\lambda = -2 < 0$ .

Παράδειγμα 2 — Εύρεση στοιχείων τριών συναρτήσεων

Πρόβλημα: Να βρεθούν το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, η κορυφή, ο άξονας συμμετρίας και το ακρότατο των συναρτήσεων:
(α) $f(x) = x^2$ , (β) $g(x) = x^2 + 4$ , (γ) $h(x) = -x^2 - 2$

Λύση:

(α) Η $f(x) = x^2$ είναι η βασική παραβολή, με $a = 1 > 0$ και $\lambda = 0$ :

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$
Σύνολο τιμών: $[0, +\infty)$
Ελάχιστη τιμή: $y_{\min} = 0$
Κορυφή: $(0, 0)$
Άξονας συμμετρίας: $x = 0$

(β) Η $g(x) = x^2 + 4$ προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση 4 μονάδων προς τα πάνω της $f(x) = x^2$ , αφού $\lambda = 4 > 0$ :

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$
Σύνολο τιμών: $[4, +\infty)$
Ελάχιστη τιμή: $y_{\min} = 4$
Κορυφή: $(0, 4)$
Άξονας συμμετρίας: $x = 0$

(γ) Η $h(x) = -x^2 - 2$ έχει $a = -1 < 0$ και $\lambda = -2$ , άρα προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση 2 μονάδων προς τα κάτω της $f(x) = -x^2$ :

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$
Σύνολο τιμών: $(-\infty, -2]$
Μέγιστη τιμή: $y_{\max} = -2$
Κορυφή: $(0, -2)$
Άξονας συμμετρίας: $x = 0$

Παρατήρησε ότι στο (γ) το πρόσημο του $a$ καθόρισε το είδος του ακρότατου (μέγιστη αντί για ελάχιστη τιμή), ενώ το $\lambda$ καθόρισε την τιμή του ακρότατου και τη θέση της κορυφής — οι δύο σταθερές παίζουν εντελώς διαφορετικό ρόλο.