Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx², α ≠ 0 📐

Τι είναι η παραβολή 🎯

Μια συνάρτηση με τύπο

f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma, \quad a \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}

λέγεται παραβολή. Ο όρος $a \neq 0$ είναι απαραίτητος: αν $a = 0$ , ο όρος $ax^2$ εξαφανίζεται και η συνάρτηση γίνεται $f(x) = \beta x + \gamma$ , δηλαδή μια απλή ευθεία γραμμή — όχι πια παραβολή. Το $a$ είναι λοιπόν αυτό που «φτιάχνει» την καμπύλη.

Μην μπερδεύεις τους συντελεστές

Στον τύπο $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$ οι αριθμοί $a$ , $\beta$ , $\gamma$ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί (παράμετροι), ενώ το $x$ είναι η μεταβλητή. Μην αντικαθιστάς κατά λάθος το $a$ με το $x$ όταν υπολογίζεις τιμές της συνάρτησης.

Κάθε τετραγωνική συνάρτηση $f(x) = ax^2 + \beta x + \gamma$ μπορεί να ξαναγραφτεί, με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τέλειου τετραγώνου, στη μορφή

f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda, \quad a \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}.

Αυτή η δεύτερη μορφή είναι πολύ πιο χρήσιμη για τη μελέτη της συνάρτησης, γιατί οι αριθμοί $a$ , $\kappa$ και $\lambda$ αποκαλύπτουν αμέσως το σχήμα και τη θέση της παραβολής, χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσουμε σημείο-σημείο. Η κατανόηση του ρόλου καθενός από τους τρεις αυτούς αριθμούς είναι ο στόχος αυτού του κεφαλαίου, και ξεκινάμε από την πιο απλή δυνατή περίπτωση.

Η απλούστερη μορφή: f(x) = αx² ⭐

Όταν $\kappa = 0$ και $\lambda = 0$ , η γενική μορφή $f(x) = a(x + \kappa)^2 + \lambda$ «συρρικνώνεται» στην

f(x) = ax^2, \quad a \neq 0, \quad x \in \mathbb{R}.

Αυτή είναι η πιο βασική παραβολή που υπάρχει: δεν έχει καμία μετατόπιση, ούτε οριζόντια ούτε κάθετη. Μελετώντας πρώτα αυτήν την περίπτωση καταλαβαίνουμε καθαρά τι ρόλο παίζει μόνο ο συντελεστής $a$ στο σχήμα της καμπύλης, πριν περιπλέξουμε την εικόνα με τις μετατοπίσεις που φέρνουν τα $\kappa$ και $\lambda$ .

Η συνάρτηση $f(x) = ax^2$ έχει τρία σταθερά χαρακτηριστικά, ανεξάρτητα από το πρόσημο ή το μέγεθος του $a$ :

Τα σταθερά στοιχεία της f(x) = αx²

Πεδίο ορισμού: όλο το $\mathbb{R}$ . Όποια πραγματική τιμή κι αν πάρει το $x$ , το $ax^2$ υπολογίζεται κανονικά — δεν υπάρχει περιορισμός (όπως θα υπήρχε π.χ. σε παρονομαστή ή ρίζα).
Άξονας συμμετρίας: ο άξονας των τεταγμένων, δηλαδή η ευθεία $x = 0$ .
Κορυφή: το σημείο $(0, 0)$ , δηλαδή η αρχή των αξόνων.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Επειδή $f(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = f(x)$ για κάθε $x$ . Δηλαδή αντίθετες τιμές του $x$ δίνουν την ίδια τιμή της συνάρτησης. Αυτή η ιδιότητα ( $f(-x) = f(x)$ ) λέγεται ότι η συνάρτηση είναι άρτια, και γεωμετρικά σημαίνει ακριβώς ότι η καμπύλη είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y$ . Το σημείο $(0,0)$ είναι η κορυφή επειδή είναι το μοναδικό σημείο της παραβολής πάνω στον άξονα συμμετρίας.

Ο ρόλος του πρόσημου του α 🔍

Ενώ το πεδίο ορισμού, ο άξονας συμμετρίας και η κορυφή μένουν πάντα ίδια, το πρόσημο του $a$ καθορίζει προς ποια κατεύθυνση «ανοίγει» η παραβολή — και αυτό αλλάζει εντελώς τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Όταν α > 0: η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ☀️

Αν $a > 0$ , τότε για κάθε $x \neq 0$ ισχύει $x^2 > 0$ , άρα και $ax^2 > 0$ (θετικό επί θετικό). Μόνο όταν $x = 0$ έχουμε $ax^2 = 0$ . Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιμή της ακριβώς στο $x = 0$ , και όλες οι άλλες τιμές είναι μεγαλύτερες.

Ιδιότητες όταν α > 0

Σύνολο τιμών: $[0, +\infty)$
Ελάχιστη τιμή: $y_{\min} = 0$ , και επιτυγχάνεται στο σημείο $(0, 0)$
Η καμπύλη έχει σχήμα «U» — ανοίγει προς τα πάνω

Όταν α < 0: η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω 🌙

Αν $a < 0$ , τότε για κάθε $x \neq 0$ το $x^2$ είναι θετικό αλλά το $a$ είναι αρνητικό, οπότε το γινόμενο $ax^2$ είναι αρνητικό. Ξανά, μόνο στο $x = 0$ η τιμή είναι $0$ . Αυτή τη φορά, όμως, το $0$ είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η συνάρτηση, αφού όλες οι υπόλοιπες τιμές είναι αρνητικές, δηλαδή μικρότερες από το $0$ .

Ιδιότητες όταν α < 0

Σύνολο τιμών: $(-\infty, 0]$
Μέγιστη τιμή: $y_{\max} = 0$ , και επιτυγχάνεται στο σημείο $(0, 0)$
Η καμπύλη έχει σχήμα ανεστραμμένου «U» — ανοίγει προς τα κάτω

Θυμήσου το κριτήριο

Για να αποφασίσεις αν μια παραβολή $y = ax^2$ έχει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή, δεν χρειάζεται σχέδιο — αρκεί να δεις το πρόσημο του $a$ :

$a > 0$ → ελάχιστη τιμή $y_{\min} = 0$ (ανοίγει προς τα πάνω ⬆️)
$a < 0$ → μέγιστη τιμή $y_{\max} = 0$ (ανοίγει προς τα κάτω ⬇️)

Ένα λάθος που γίνεται συχνά: το $0$ είναι η ελάχιστη ή μέγιστη τιμή της συνάρτησης (δηλαδή του $y$ ), όχι μια τιμή του $x$ .

Ο ρόλος του μεγέθους του α: πλατιά ή στενή παραβολή 📏

Πέρα από το πρόσημο, και το μέγεθος του $a$ —πιο σωστά, η απόλυτη τιμή του $a$ , δηλαδή το $|a|$ — επηρεάζει το σχήμα της καμπύλης. Συγκεκριμένα, καθορίζει πόσο «κλειστή» ή πόσο «ανοιχτή» φαίνεται η παραβολή γύρω από τον άξονα συμμετρίας της.

Η διαίσθηση πίσω από αυτό είναι απλή: για την ίδια τιμή του $x$ , όσο μεγαλύτερο είναι το $|a|$ , τόσο μεγαλύτερη (σε απόλυτη τιμή) γίνεται η τιμή $ax^2$ . Η καμπύλη λοιπόν «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει» πιο απότομα καθώς απομακρυνόμαστε από το $0$ , και έτσι φαίνεται πιο στενή — σαν να «σφίγγεται» γύρω από τον άξονα $y$ . Αντίθετα, όσο μικρότερο είναι το $|a|$ , τόσο πιο αργά μεγαλώνει η τιμή $ax^2$ , και η καμπύλη μοιάζει πιο πλατιά, πιο «απλωμένη».

Πόσο επηρεάζει το |α| το σχήμα

Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή του $a$ , τόσο πιο στενή γίνεται η παραβολή. Όσο μικρότερη είναι η $|a|$ (πλησιάζοντας το $0$ , χωρίς ποτέ να το φτάνει), τόσο πιο πλατιά είναι η παραβολή. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το πρόσημο του $a$ — μια παραβολή με $a = -5$ είναι εξίσου στενή με μια με $a = 5$ , απλώς ανοίγει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Έτσι, ανάμεσα σε δύο παραβολές $y = a_1 x^2$ και $y = a_2 x^2$ , αυτή με το μεγαλύτερο $|a|$ είναι η πιο στενή, χωρίς να χρειάζεται να σχεδιάσουμε τίποτα.

Λυμένα παραδείγματα ✏️

Παράδειγμα 1: ανάγνωση στοιχείων από το πρόσημο

Εκφώνηση: Δίνεται η γραφική παράσταση μιας παραβολής με εξίσωση $f(x) = ax^2$ , $a \neq 0$ , η οποία παρουσιάζει μέγιστη τιμή. Να βρεθούν το πρόσημο του $a$ , το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών, ο άξονας συμμετρίας και η κορυφή.

Λύση:

Αφού η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή, γνωρίζουμε ότι η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω, άρα $a < 0$ .

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$ (μένει πάντα ίδιο, ανεξάρτητα από το πρόσημο του $a$ )
Σύνολο τιμών: $(-\infty, 0]$ , αφού η μέγιστη τιμή είναι $y_{\max} = 0$
Άξονας συμμετρίας: η ευθεία $x = 0$
Κορυφή: το σημείο $(0, 0)$

Παράδειγμα 2: εύρεση παραμέτρου από σημείο και από τύπο ακρότατου

Εκφώνηση: Να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου $\lambda \in \mathbb{R}$ ώστε η παραβολή με εξίσωση $y = (\lambda - 3)x^2$ , $x \in \mathbb{R}$ :

(α) να διέρχεται από το σημείο $(-1, 2)$

(β) να παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

Λύση:

(α) Το σημείο $(-1, 2)$ ανήκει στην παραβολή σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση, δηλαδή αν βάλουμε $x = -1$ παίρνουμε $y = 2$ :

2 = (\lambda - 3)(-1)^2 \Rightarrow 2 = (\lambda - 3) \cdot 1 \Rightarrow 2 = \lambda - 3 \Rightarrow \lambda = 5

(β) Στη μορφή $y = ax^2$ , εδώ ο ρόλος του $a$ παίζεται από την παράσταση $\lambda - 3$ . Ξέρουμε ότι μια παραβολή $y = ax^2$ έχει ελάχιστη τιμή μόνο όταν $a > 0$ . Άρα απαιτούμε:

\lambda - 3 > 0 \Leftrightarrow \lambda > 3

Παρατήρησε ότι τα δύο ερωτήματα οδηγούν σε διαφορετικές συνθήκες πάνω στο ίδιο $\lambda$ : το (α) δίνει μία συγκεκριμένη τιμή ( $\lambda = 5$ ), ενώ το (β) δίνει ένα σύνολο τιμών ( $\lambda > 3$ ) — που, σημειωτέον, η τιμή $\lambda = 5$ του (α) ικανοποιεί κιόλας.

Παράδειγμα 3: σύγκριση πλάτους παραβολών

Εκφώνηση: Ανάμεσα στις παραβολές $f(x) = 2x^2$ , $g(x) = -7x^2$ και $h(x) = \frac{1}{2}x^2$ , ποια είναι η πιο στενή και ποια η πιο πλατιά;

Λύση:

Συγκρίνουμε τις απόλυτες τιμές των συντελεστών: $|2| = 2$ , $|-7| = 7$ , $\left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$ .

Αφού $7 > 2 > \frac{1}{2}$ , η παραβολή $g(x) = -7x^2$ είναι η πιο στενή (μεγαλύτερο $|a|$ ), ενώ η $h(x) = \frac{1}{2}x^2$ είναι η πιο πλατιά (μικρότερο $|a|$ ). Σημείωσε ότι το πρόσημο του $a$ δεν παίζει κανέναν ρόλο σε αυτή τη σύγκριση — η $g$ ανοίγει προς τα κάτω ενώ οι άλλες δύο προς τα πάνω, αλλά αυτό δεν επηρεάζει πόσο «στενή» είναι.